Первый и второй законы Вина

Первый закон Вина записывают в виде формулы:

u ν
ν - частота излучения,
T

f - функция, зависящая только от частоты и температуры. Вид этой функции невозможно установить, исходя только из термодинамических соображений.

Это формула для расчета плотности излучения любой частоты.

Второй закон Вина записывают в виде формулы:

u ν - плотность энергии излучения,
ν - частота излучения,
T - температура излучающего тела,

C 1 ,C 2 - константы.

По этой формуле рассчитывают плотность энергии излучения волн малой длины.

Ультрафиоле́товая катастро́фа - физический термин, описывающий парадокс классической физики, состоящий в том, что полная мощность теплового излучения любого нагретого тела должна быть бесконечной. Название парадокс получил из-за того, что спектральная плотность мощности излучения должна была неограниченно расти по мере сокращения длины волны.По сути этот парадокс показал если не внутреннюю противоречивость классической физики, то во всяком случае крайне резкое (абсурдное) расхождение с элементарными наблюдениями и экспериментом.Так как это не согласуется с экспериментальным наблюдением, в конце 19 века возникали трудности в описании фотометрических характеристик тел.Проблема была решена при помощи квантовой теории излучения Макса Планка в 1900 году.
30. Гипотеза Планка. Выход из ультрафиолетовой катастрофы.

Гипо́теза Пла́нка - гипотеза, выдвинутая 14 декабря 1900 года Максом Планком и заключающаяся в том, что при тепловом излучении энергия испускается и поглощается не непрерывно, а отдельными квантами (порциями). Каждая такая порция-квант имеет энергию, пропорциональной частоте ν излучения:где h или - коэффициент пропорциональности, названный впоследствии постоянной Планка. На основе этой гипотезы он предложил теоретический вывод соотношения между температурой тела и испускаемым этим телом излучением - формулу Планка.Позднее гипотеза Планка была подтверждена экспериментально.Выдвижение этой гипотезы считается моментом рождения квантовой механики.

Так, ультрафиолетовый свет может излучаться либо большими квантами, если температура тела высокая, например, поверхность Солнца, либо вообще не излучаться, если энергии теплового движения атомов тела недостаточно, чтобы оно могло испустить квант излучения. Таково качественное объяснение падения интенсивности излучения при λ → 0 и разрешение ультрафиолетовой катастрофы. Планк, используя квантовые представления, теоретически получил формулу, описывающую зависимость r λ = f(λ , T) , названную формулой Планка:

Эта формула дает очень хорошее соответствие экспериментальным данным на всех частотах и при любых температурах. Путем интегрирования уравнения можно получить закон Стефана - Больцмана, а путем дифференцирования - закон смещения Вина. Гипотеза Планка о дискретном характере электромагнитного излучения положила начало квантовой теории света.

Раздел 4: Квантовая физика

Тепловое излучение. Внешний фотоэффект.

Давление света. Эффект Комптона

1. Тепловое излучение. Абсолютно чёрное тело

2. Законы теплового излучения

2.1. Закон Кирхгофа

2.2. Законы Вина

2.3. Закон Стефана-Больцмана

3. Ультрафиолетовая катастрофа

4. Квантовая гипотеза и формула Планка

5. Оптическая пирометрия

6. Внешний фотоэффект. Уравнение Эйнштейна

7. Фотоны: энергия, импульс

8. Давление света

9. Эффект Комптона

1. Тепловое излучение. Абсолютно чёрное тело

Излучение тела, обусловленное тепловым движением молекул, называется тепловым , так как происходит за счёт энергии теплового движения молекул (атомов). Любое тело с температурой Т≠0, излучает, причём спектр излучения – сплошной. Тепловое излучение – единственное излучение, способное находиться в термодинамическом равновесии с веществом. Если уменьшение энергии тела при излучении восполняется за счёт поглощения излучения, падающего на тело из окружающей среды, то излучение называется равновесным.

Тепловое излучение тел может быть охарактеризовано следующими величинами:

1) Интегральная интенсивность излучения http://pandia.ru/text/78/094/images/image002_12.gif" width="115 height=52" height="52"> . (20.1)

Эту величину называют также полной энергетической светимостью . Она зависит от абсолютной температуры тела. Размерность :

6. Внешний фотоэффект. Уравнение Эйнштейна

Ещё одно явление, имеющее объяснение только на основании квантовых представлений, это – фотоэлектрический эффект. Свет, попадая на тело (твёрдое или жидкое), выбивает с его поверхности электроны. Внешний фотоэффект – это испускание электронов веществом под действием света .

Фотоэффект открыт Г. Герцем в 1887 г.: при освещении ультрафиолетовым светом отрицательного электрода газовый разряд между электродами происходит при ме ньшем напряжении. исследовал фотоэффект в гг. и получил, что при освещении металлический катод теряет отрицательные заряды. Основные законы фотоэффекта были экспериментально открыты Столетовым ещё ДО ОТРЫТИЯ ЭЛЕКТРОНА Дж. Томсоном в 1897 году. Систематические исследования фотоэффекта были выполнены в 1900 г. Ф. Леннардом на установке, схема которой дана на рис. 20.7. Свет попадает на катод через кварцевое окошко. Вылетевшие из катода в результате фотоэффекта электроны достигают анода . Напряжение между катодом и анодом можно менять по величине, а также менять его полярность с помощью переключателя.

На рис. 20.8 показаны вольтамперные характеристики фотоэлемента. При отсутствии напряжения ток в цепи есть, поскольку наиболее энергичные электроны достигают анода. При увеличении напряжения ток в цепи фотоэлемента сначала растёт: на анод оттягиваются электрическим полем также и менее энергичные электроны..gif" width="20" height="19 src="> сила тока насыщения увеличивается.

При обратном включении (на катоде – плюс, на аноде – минус) электрическое поле между катодом и анодом «загоняет» электроны обратно к катоду, и только самые энергичные способны преодолеть это задерживающее поле и достичь анода..gif" width="65" height="28">. Фотон, попадая на катод, поглощается электроном и передаёт ему свою энергию.

1) Сила тока насыщения прямо пропорциональна световому потоку и не зависит от частоты света :

Объяснение: чем больше фотонов падало на катод, тем больше будет выбито электронов, и все они при достаточном напряжении попадут на катод, независимо от первоначальной скорости электронов. Сила тока насыщения не зависит от энергии электронов, а только от их количества.

2) Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов линейно зависит от частоты света и не зависит от его интенсивности . Энергия фотона передаётся электрону. Часть энергии электрон тратит на работу выхода, часть остаётся у него в виде кинетической энергии, и часть может быть передана кристаллической решётке. Поэтому электроны вылетают из катода с разными скоростями, и только для тех, которые не передали часть энергии решётке, можно записать закон сохранения энергии:

. (20.22)

Из (20.22) линейная зависимость очевидна. Скорость (и энергия) фотоэлектрона не зависит от интенсивности света, поскольку определяется энергией одного фотона, а не количеством фотонов.

Задерживающее напряжение не позволяет даже самым энергичным электронам достигать анода, то есть фотоэлектроны тратят всю энергию на преодоление задерживающего напряжения:

(20.23)

http://pandia.ru/text/78/094/images/image071_1.gif" width="21" height="25 src="> , при которой начинается фотоэффект: при http://pandia.ru/text/78/094/images/image073_1.gif" width="51" height="25"> фотоэффекта нет . Красная граница – своя для каждого вещества катода.

Фотоэффект возможен только в том случае, если энергии фотона хватит электрону на работу выхода. Минимальная энергия фотона, вызывающего фотоэффект, равна

откуда красная граница:

. (20.24)

Длина волны красной границы:

; (20.25)

причём фотоэффект есть при и отсутствует при .

Уравнение Эйнштейна можно записать ещё и так:

http://pandia.ru/text/78/094/images/image080_1.gif" width="128" height="25 src=">

http://pandia.ru/text/78/094/images/image082_1.gif" width="117" height="52 src=">

4) Фотоэффект безинерционен . Это было замечено ещё Столетовым.

Законы фотоэффекта не могут быть объяснены волновой теорией. Например, существование красной границы не укладывается в волновую теорию: световая волна малой частоты (энергии) тоже могла бы «раскачать» электрон (только за более продолжительное время) и он мог бы вылететь из металла. Безинерционность также необъяснима волновой теорией (для «раскачки» электрона волной нужно время), а с точки зрения квантовой теории процесс взаимодействия фотона с электроном происходит практически мгновенно. Если свет поглощается как волна, то необъяснима независимость энергии фотоэлектрона от её амплитуды, то есть интенсивности света.

Компьютерная модель фотоэффекта:

http://www. *****/images/9/9f/Fot_7.swf

7. Фотоны: энергия, импульс

Таким образом, свет:

а) излучается дискретными порциями – квантами, фотонами (к этому привело объяснение законов теплового излучения);

б) поглощается тоже квантами (фотоэффект).

Энергия фотона равна

http://pandia.ru/text/78/094/images/image084_1.gif" width="69" height="48 src=">. (20.26а)

Фотоны – безмассовые частицы:

http://pandia.ru/text/78/094/images/image086_1.gif" width="147" height="32 src=">.

Отсюда для фотона:

http://pandia.ru/text/78/094/images/image088_1.gif" width="73" height="28 src=">;

DIV_ADBLOCK62">

http://pandia.ru/text/78/094/images/image091_0.gif" align="left" width="221 height=288" height="288">Поскольку фотоны обладают импульсом, то при падении света на поверхность она получает импульс, то есть на поверхность действует сила давления. Впервые измерил давление света около 1900 г. русский физик. Чтобы исключить влияние потоков воздуха на движение лёгких крылышек, в сосуде создаётся вакуум (рис.20.10). Световое давление рассчитывалось по углу закручивания кварцевой нити очень чувствительных крутильных весов, к которым были подвешены крылышки. Количественный результат, полученный в опытах Лебедева, совпал с точностью до 2% с предсказанным теорией Максвелла для электромагнитного поля.

Выражение для светового давления здесь будет получено, исходя из квантовых представлений.

Пусть на поверхность с коэффициентом отражения ρ нормально падает свет (рис.20.11). За промежуток времени Δt на площадку S попадает N фотонов. Из них отражается число фотонов, равное N 1=ρN , и поглощается N 2=(1–ρ)N фотонов. Импульс одного фотона равен

http://pandia.ru/text/78/094/images/image094_0.gif" width="113" height="28 src=">

направлено по нормали к площадке и равно по величине

http://pandia.ru/text/78/094/images/image096_0.gif" width="23" height="25 src=">– импульс падающего фотона, – отражённого).

Изменение импульса поглощённого фотона равно величине самого импульса:

.

По закону сохранения импульса суммарное изменение импульса фотонов равно величине импульса, полученного площадкой.

Тепловым называют электромагнитное излучение, которое испускают нагретые тела за счет своей внутренней энергии. Тепловое излучение уменьшает внутреннюю энергию тела, и, следовательно, его температуру. Спектральной характеристикой теплового излучения является спектральная плотность энергетической светимости.

2. Какое тело называют абсолютно черным? Приведите примеры абсолютно черных тел.

Абсолютно черное тело - это тело, которое поглощает всю энергию падающего на него излучения любой частоты при произвольной температуре (черная дыра).

3. Что такое ультрафиолетовая катастрофа? Сформулируйте квантовую гипотезу Планка.

Ультрафиолетовой катастрофой называют расхождение результатов эксперимента с классической волновой теорией. Квантовая гипотеза Планка: энергия и частота излучения связаны друг с другом. Излучение молекулами и атомами вещества происходит отдельными порциями - квантами.

4. Какую микрочастицу называют фотоном? Перечислите основные физические характеристики фотона.

Фотон - квант электромагнитного излучения.

1) его энергия пропорциональна частоте электромагнитного излучения.

3) его скорость во всех системах отсчета равна скорости света в вакууме.

4) его масса покоя равна 0.

5) импульс фотона равен:

6) Давление электромагнитного излучения.

Вы помните, как в своей замечательной сказке «Маленький принц» Антуан де Сент-Экзюпери искренне удивляется: лишенные воображения взрослые совершенно не могут понять, что нарисованная мальчиком шляпа представляет собой на самом деле удава, проглотившего слона? Взрослые, особенно физики, всегда такие: им необходимо единство формы и содержания…

«Ультрафиолетовой катастрофой» назвали исследователи . Расхождение, которое никак не удавалось устранить. А ведь среди ученых, бившихся над разрешением данной проблемы, были очень известные физики - лорд Рэлей, Вильгельм Вин, Джеймс Джине, московский профессор В. А. Михельсон. И основывались они на многократно проверенном положении классической физики, которое гласит: в любом направлении всякий излучатель, находящийся в тепловом равновесии с окружающей средой, непрерывно испускает одинаковое количество энергии.

Этим положением с успехом пользовались в своих работах Максвелл и Больцман, авторитет которых в науке заслуженно велик. Ведь недаром в наши дни известнейший физик-теоретик Роберт Фейнман отметит в своих лекциях: «В истории человечества (если посмотреть на нее, скажем, через десять тысяч лет) самым значительным событием XIX столетия, несомненно, будет открытие Максвеллом законов электродинамики. На фоне этого важного научного открытия гражданская война в Америке в том же десятилетии будет выглядеть мелким провинциальным происшествием».

Для физиков конца XIX века не существовало сомнений в правильности классических положений.

Но… дальнейшие логичные и обоснованные математические расчеты неизменно приводили к формулам, выводы из которых совершенно расходились с экспериментом. Из этих формул следовало, что раскаленная печь должна с течением времени отдавать все больше тепла в окружающее пространство и яркость ее свечения должна все больше возрастать!

Современник «ультрафиолетовой катастрофы», физик Лоренц грустно заметил: «Уравнения классической физики оказались неспособными объяснить, почему угасающая печь не испускает желтых лучей наряду с излучением больших длин волн…»

Рэлей и Джинс сделали попытку определить испускательную способность абсолютно черного тела исходя из теоремы классической статистики о равнораспределении энергии по степеням свободы. Согласно этой теореме, на каждое электромагнитное колебание приходится в среднем энергия равная – по на электрическую и магнитную энергию волны. В конечном итоге ими была получена формула

, (1.20)

. (1.21)

Эта формула удовлетворительно согласуется с экспериментальной кривой лишь для больших длин волн и резко расходится с ней для малых длин волн (Рис. 1.6). Кроме того, интегрирование выражения (1.21) по в пределах от 0 до дает для энергетической светимости бесконечно большое значение.

(1.22)

Этот результат получил название ультрафиолетовой катастрофы. Резкое расхождение между теорией и экспериментом указывало на то, что при выводе формулы Рэлея Джинса были использованы какие то неверные предпосылки.

Формула Планка для испускательной способности абсолютно черного тела.

Правильную зависимость испускательной способности черного тела от частоты получил Планк. Для этого ему пришлось сделать предположение, совершенно чуждое классическим представлениям, а именно допустить, что электромагнитное излучение испускается в виде отдельных порций энергии – квантов, величина которых пропорциональна частоте излучения

, (1.23)

где – постоянная Планка, и .

Обсудим подробнее различие между классическим непрерывным излучением и излучением квантами. Энергия классического осциллятора определяется двумя параметрами амплитудой колебания и частотой. Это означает, что для данной частоты энергия осциллятора может меняться плавно от нуля до сколь угодно большого значения при плавном увеличении амплитуды колебания. В этом смысле говорят о том, что энергия классического осциллятора излучается непрерывно. Согласно формуле (1.23), энергия излучения в квантовом случае зависит только от частоты и – это минимальная порция энергии, которая может быть испущена осциллятором. Если энергия колеблющейся системы становится больше, то она может принимать лишь значения, кратные этой величине

где - целые числа.

Расчет показывает, что при дискретном характере излучения средняя энергия, приходящаяся на каждое электромагнитное колебание, уже не будет равна , как в случае непрерывного излучения. Среднюю энергию излучения, находящегося в состоянии теплового равновесия при температуре , можно вычислить следующим образом.

где – вероятность того, что энергия колебания имеет значение .

Эта вероятность, очевидно, равна

где – число осцилляторов, имеющих энергию , – полное число осцилляторов.

В состоянии теплового равновесия распределение колебаний по энергиям подчиняется закону Больцмана

где – нормировочный множитель, удовлетворяющий условию

. (1.28)

Отсюда находим нормировочный множитель

. (1.29)

Подставляя выражение (1.29) в (1.27), получаем

. (1.30)

Тогда среднее значение энергии получим, подставляя вероятность в выражение (1.25)

. (1.31)

Суммирование в (1.31) может быть выполнено, в результате получается выражение для средней энергии теплового излучения при температуре

(1.32)

Заметим, что если , то формула (1.32) переходит в классическое выражение . Действительно, используя соотношение , справедливое при , получаем

(1.33)

Таким образом, если бы энергия излучалась непрерывно, то ее среднее значение совпадало бы с классическим результатом.