Урок и презентация на тему: "Степенные функции. Отрицательный целый показатель. График степенной функции"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 9 класса
Интерактивное пособие "Правила и упражнения по алгебре" для 9 класса
Мультимедийное учебное пособие для 9 класса "Алгебра за 10 минут"

Вид степенной функции с отрицательным показателем

Ребята, мы продолжаем изучать числовые функции. Темой сегодняшнего урока будут также степенные функции, но уже не с натуральным показателем, а целым отрицательным.
имеет такой вид: $y=x^{-n}=\frac{1}{x^n}$.
Одну из таких функций мы прекрасно знаем – это гипербола. Ребята, вы помните график гиперболы? Постройте его самостоятельно.

Давайте посмотрим одну из функций подходящих нам и определим для нее свойства. $y=x^{-2}=\frac{1}{x^2}$.
Начнем исследование с четности. Стоит заметить, что свойство четности значительно упрощает построение графиков функции, т.к. мы можем построить половинку графика и потом просто ее отразить.
Область определения нашей функции – множество действительных чисел, кроме нуля, все мы прекрасно знаем, что на ноль делить нельзя. Область определения – симметричное множество, переходим к вычислению значения функции от отрицательного аргумента.
$f(-x)=\frac{1}{(-x)^2}=\frac{1}{x^2}=f(x)$.
Наша функция четная. Значит, мы можем построить график при $х≥0$, а потом его отразить относительно оси ординат.
Ребята, в этот раз предлагаю вместе построить график функции, как делают это во "взрослой" математике. Сначала определим свойства нашей функции, а потом по ним построим график. Будем учитывать, что $x>0$.
1. Область определения D(y)=(0;+∞).
2. Функция убывающая. Проверим это. Пусть $x1\frac{1}{x_{2}^2}$. Поскольку, мы делим на большее число, то получается, что сама функция в большем числе будет меньше, что и значит убывание.
3. Функция ограничена снизу. Очевидно, что $\frac{1}{x^2}>0$, что и значит ограниченность снизу.
Ограниченности сверху нет, так как если взять значение аргумента очень маленьким, близким к нулю, то значение функции будет стремиться к плюс бесконечности.
4. Наибольшего и наименьшего значения нет. Наибольшего значения нет, так как функция не ограничена сверху. Как же быть с наименьшим значением, ведь функция ограничена снизу.

Что значит, что функция имеет наименьшее значение?

Существует такая точка х0, что для всех х из области определения $f(x)≥f(x0)$, но наша функция убывающая на всей области определения, тогда существует такое число $х1>x0$, но $f(x1)

Графики степенной функций с отрицательными показателями

Построим график нашей функции по точкам.




График нашей функции, очень похож на график гиперболы.
Воспользуемся свойством четности и отразим график относительно оси ординат.

Напишем свойства нашей функции для всех значений х.
1) D(y)=(-∞;0)U(0;+∞).
2) Четная функция.
3) Возрастает на (-∞;0], убывает на .
Решение. Функция убывает на всей области определения, тогда своих наибольших и наименьших значений она достигает на концах отрезка. Наибольшее значение будет на левом конце отрезка $f(1)=1$, наименьшее на правом $f(3)=\frac{1}{27}$.
Ответ: Наибольшее значение равно 1, наименьшее 1/27.

Пример. Построить график функции $y=(x+2)^{-4}+1$.
Решение. График нашей функции получается из графика функции $y=x^{-4}$ переносом его на две единицы влево и одну единицу вверх.
Построим график:

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти наименьшее и наибольшее значение функции $y=\frac{1}{x^4}$ на отрезке .
2. Построить график функции $y=(x-3)^{-5}+2$.

Функции у = ах, у = ax 2 , у = а/х - являются частными видами степенной функции при n = 1, n = 2, n = -1 .

В случае если n дробное число p / q с четным знаменателем q и нечетным числителем р , то величина может иметь два знака , а у графика появляется еще одна часть внизу оси абсцисс х , причем она симметрична верхней части.

Видим график двузначной функции у = ±2х 1/2 , т. е. представленный параболой с горизонтальной осью.

Графики функций у = х n при n = -0,1; -1/3; -1/2; -1; -2; -3; -10 . Эти графики проходят через точку (1; 1).

Когда n = -1 получаем гиперболу . При n < - 1 график степенной функции располагается сначала выше гиперболы, т.е. между х = 0 и х = 1 , а потом ниже (при х > 1 ). Если n > -1 график проходит наоборот. Отрицательные значений х и дробные значения n аналогичны для положительных n .

Все графики неограниченно приближаются как к оси абсцисс х, так и к оси ординат у , не соприкасаясь с ними. Вследствие сходства с гиперболой эти графики называют гиперболами n -го порядка.

1. Анализ учебной литературы по теме: “Свойства степенной функции”

Изучение степенной функции начинается еще с 7 класса, с частных случаев и продолжается на протяжении всего курса алгебры. Вплоть до 11 класса, знания о степенной функции обобщаются, расширяются и систематизируются.

Анализ учебной литературы необходимо проводить за 9 класс, чтобы на основе этого анализа учебной литературы построить содержание дидактического пособия.

Учебник: “Алгебра. 9 класс”. Мордкович А. Г., Семенов П. В. (Мнемозина, 2009г.)

В учебнике рассматриваются степенные функции с целым показателем. Теоретический материал по теме «Степенная функция» включен в главу «Числовые функции» отдельными параграфами, в которых рассматриваются как сами функции, так и их свойства и графики.

Доступное для школьников изложение материала, включено большое число примеров с детальными и обстоятельными решениями в 1-й части (в учебнике), а упражнения для самостоятельной работы помещены во 2-й части (в задачнике).

Структура изучения материала:

ГЛАВА 3. Числовые функции

§12. Функции, их свойства и графики.

§13. Функции, их свойства и графики.

§14. Функции, ее свойства и график.

Далее определяются степенные функции, как функции с натуральным показателем (сначала приводятся частные случаи степенных функций, затем выявляется общая формула). Рассматриваются степенные функции с четным показателем степени, их графики, по которым позже выявляют свойства (область значения и область определения функции, четность и нечетность, монотонность, непрерывность, наибольшее и наименьшее значение функции, выпуклость). Далее рассматриваются степенные функции с нечетным показателем степени, а так же их графики и свойства.

В § 13 определяют степенные функции с отрицательными показателями: сначала четные функции, затем нечетные. Аналогично степенным функциям с натуральным показателем приводятся частные случаи:

После чего выявляется общая формула, так же рассматриваются графики и свойства

В § 14 вводится функция

ее свойства и график, как частный случай степенной функции с рациональным показателем n =

Преобразование графиков (симметрия) сводится к тому, что график четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной относительно начала координат. Поэтому, для степных функций рассматривается данная функция на определенном луче, строится ее график и, используя симметрию, строится график на всей числовой прямой. Далее производится чтение графика, т. е. по графику перечисляются свойства функции по схеме:

1) область определения;

2) четность, нечетность;

3) монотонность;

4) ограниченность снизу, сверху;

5) наименьшее и наибольшее значения функции;

6) непрерывность;

7) область значений;

8) выпуклость.

а) переходит к вспомогательной системе координат с началом в точке, в которой получены значения при х = 0 и у = 0.

б) «привязывает» функцию к новой системе координат.

Пример 3. Построить график функции

Решение. Перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке (-1;-2) (пунктирные прямые на рис. 117) и «привяжем» функцию к новой системе координат. Получим требуемый график (рис. 117)

В задачнике “Алгебра. 9класс.” под редакцией Мордкович А. Г. и Семенова П. В. представлена разнообразная система упражнений. Набор упражнений делится на два блока: первый содержит задания двух базовых уровней: устные (полуустные) и задания средней трудности; второй блок содержит задания уровня выше среднего или повышенной трудности. К большинству задач второго и третьего уровней приведены ответы. Задачник содержит большое количество разнообразных заданий на построение графиков различных видов степенной функции и определении свойств функции по ее графику. Например:

№ 12.10. Постройте график функции:

№ 12.15. Решите графически уравнение

№ 12.19. Постройте и прочитайте график функции

Постройте и прочитайте график функции

Учебник: “Алгебра. 9 класс”. Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. (Просвещение, 2006г.)

Данный учебник предназначен и для общеобразовательных классов, в которых дополнительные материалы и сложные задачи можно не рассматривать. Если же имеется достаточно часов, если класс проявляет интерес к математике, то за счет дополнений в конце глав учебника, а также пунктов и отдельных задач со звездочкой, необязательных в обычных общеобразовательных классах, можно расширить и углубить содержание изучаемого материала до объема, предусмотренного программой для классов с углубленным изучением математики. То есть учебник можно использовать как в обычных, так и в классах с углубленным изучением математики.

Структура изучения материала:

ГЛАВА II. Степень числа

§4. Корень степени

4.1 Свойства функции

4.2 График функции

4.3 Понятие корня степени

4.4 Корни четной и нечетной степеней

4.5 Арифметический корень

4.6 Свойства корней степени

4.7 *Корень степени из натурального числа

4.8 *Функция

Изучение темы начинается со свойств функции (на примере n = 2 и n = 3) и ее графика. Затем изучаются корень степени n, арифметический корень и свойства корней степени n, а также их применение к преобразованию выражений. В классах с углубленным изучением математики дополнительно рассматриваются темы: «Функция », «Степень с рациональным показателем и ее свойства».

Утверждается, что функции имеют ряд одинаковых свойств (область определения, нули функции, четность, нечетность, непрерывность, промежутки монотонности). Поэтому целесообразно рассмотреть в общем случае функцию, где - некоторое натуральное число, . Введение определения графика функции ведется через определение параболы. Т. е., по известному факту, что график функции - парабола, далее этот график называют параболой второй степени, график функции, называют параболой - й степени или, коротко, параболой. Свойства функции рассматриваются только для неотрицательных с некоторыми доказательствами.

Изучение построение графика функции начинается с изображения графиков функций на одной координатной плоскости только для неотрицательных значений.

Изучение функции основывается на полученных ранее знаниях об арифметическом корне степени. Построение графика функции ведется в декартовой системе координат. Для начала рассматривается степенная функция и построение ее графика в системе координат О. Таким образом, доказывается, что график функции есть часть параболы степени.

1) Если х = 0, то у = 0.

2) Если, то.

3) Функция возрастает.

4) Если, то.

5) Функция непрерывна.

Система упражнений по теме «Степенная функция» разнообразна. Она содержит тренировочные задания как устные, так и письменные. Например:

№ 316. Дана функция

Исследуйте эту функцию и постройте ее график.

№ 318. Постройте график функции

№ 321. В одной системе координат постройте графики функций

№ 441. Постройте график функции для:

№ 442. Постройте график функции для:

Учебник: «Алгебра. 9 класс». Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова (Просвещение, 2009г.)

Данный учебник предназначен для общеобразовательных школ.

Структура изучения материала:

ГЛАВА IV. Степень с рациональным показателем

§9. Степенная функция

21. Четные и нечетные функции

22. Функция

§10. Корень n-й степени

23. Определение корня n -й степени

24. Свойства арифметического корня n -й степени

§11. Степень с рациональным показателем и ее свойства

25. Определение степени с дробным показателем

26. Свойства с рациональным показателем

27. Преобразование выражений содержащих степени с дробными показателями

Изучение степенной функции начинается с введения понятий четных и нечетных функций на примерах сравнения значений функции при двух противоположных значениях аргумента. Далее дается определение четной и нечетной функции с построением соответствующих графиков.

Говорится, о том, что степенные функции при = 1, 2 и 3 (т. е. функции) их свойства и графики, изучены ранее. Далее выясняются свойства степенной функции и особенности ее графика при любом натуральном. Рассматривают функции, когда показатель n - четное число, затем n - нечетное. Разбирают свойства на примерах, по схеме:

1. Область определения;

2. Область значения;

3. Нули функции;

4. Четность;

5. Нечетность;

6. Монотонность функции.

Следующий параграф главы посвящен корню n-й степени, в котором вводится определение, и рассматриваются свойства.

Повторяется определение: квадратным корнем из числа а называется такое число, квадрат которого равен а. Аналогично определяется корень любой натуральной степени n: корень n-й степени из числа а называется такое число, n-я степень которого равна а. Для этого рассматривается степенная функция сначала с нечетным показателем n и ее график, по которому показывается, что для любого числа а существует единственное значение х, n-я степень которого равна а. Затем рассматривается степенная функция с четным показателем n, причем, если, то существует два противоположных значения х, при такое число одно (число 0), при таких чисел нет.

В заключение главы рассматривается степень с рациональным показателем и ее свойства.

Система упражнений разнообразна. Например:

№503. Изобразите схематически график функции

№508. Решите графически уравнение

№513. Используя график функции решите уравнение

№580. Постройте график функции

№644. Постройте график функции f , зная, что она нечетная и что ее значение при могут быть найдены по формуле

№643. Постройте график функции

№663. Постройте график функции. Пользуясь графиком, сравните значение корней

№669. Постройте график функции

Учебник: «Алгебра. 9 класс». Ш.А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. (Просвещение, 2009г.)

При изучении данной темы особое внимание уделяется свойствам функций и отображению этих свойств на графиках. Одновременно формируются начальные умения выполнять простейшие преобразования графиков функций.

Структура изучения материала:

ГЛАВА III. Степенная функция

§12. Область определения функции

§13. Возрастание и убывание функции

§14. Четность и нечетность функции

§15. Функция

§16. Неравенства и уравнения, содержащие степень

Основной целью данной главы, является не только познакомить учащихся со степенной функцией, но и расширить известные сведения о свойствах функции в целом (область определения, монотонность, четность и нечетность функции), выработать умение исследовать по заданному графику функции,

При изучении материала данной главы углубляются и существенно расширяются функциональные представления учащихся.

В §12 формулируется определение функции, аргумента и области определения функции. Напоминается определение графика функции способы его построения, в том числе и с помощью элементарных преобразований.

В §13 идет знакомство с понятием степенной функции. На примерах и выявляется область определения; напоминаются определения возрастающей и убывающей функции, и даются определения возрастания и убывания степенной функции.

Представление о четной и нечетной функции учащимся дается на наглядном уровне. В учебнике рассмотрены две задачи, в которых требуется построить графики функции и. Изучаются свойства данных функций и на основе симметричности даются понятия о четности или нечетности функции.

В §15 учащиеся получают представление о функции при различных значениях k, учатся строить график функции и читать его (т. е. определять свойства функции по ее графику). С помощью функции уточняется понятие обратной пропорциональности, о котором лишь упоминалось в курсе алгебры 8 класса.

При изучении функции при k > 0 сначала функция, представляется, как частный случай степенной: с учетом изменения параметра k.

В параграфе рассматриваются четыре задачи, в которых требуется построить графики функций. В задаче 1 для построения графика функции используются все свойства функции, изученные в предыдущих параграфах. В задаче 2 при построении графиков функций и применяется уже известное растяжение графика функции по оси абсцисс в 2 раза. И, с опорой на эти две задачи, формулируются свойства функции при и.

В задаче 4 требуется построить графика функции (опора на задачи 1-2), т. е. график этой функции можно построить, сдвигая график функции вдоль оси Ох вправо на единицу и вдоль оси Оу вниз на 2 единицы.

В системе упражнений представлены различные типы заданий: как обязательные, так и дополнительные задачи повышенной сложности.

Среди заданий на построение графиков степенных функций можно выделить следующие упражнения:

№ 164. Построить график и найти промежутки возрастания и убывания функции

№ 166. Нарисовать эскиз графика функции при

№ 171. Построить график и найти промежутки возрастания и убывания функции

№ 174. Построить эскиз график функции

№ 179. Выяснить свойства функции и построить ее график

№ 180. Построить график функции

№ 191. Построить график функции

№ 218. Выяснить, является ли функция четной или нечетной

Учащиеся по изучение материала овладевают такими понятиями, как область определения, четность и нечетность функции, возрастание и убывание функции на промежутке.

Понятие возрастания и убывания функции учащиеся встречали в курсе алгебры 8 класса, но лишь при изучении данной темы формируются определения этих понятий, а следовательно, появляется возможность аналитически доказать возрастание или убывание конкретной функции на промежутке (однако проведение подобных доказательств не входит в число обязательных умений). Учащиеся учатся находить промежутки возрастания функции с помощью графика рассматриваемой функции.

При изучении темы примеры степенной функции с дробным показателем не рассматриваются, так как понятие степени с рациональным показателем в данном курсе не вводится.

При изучении каждой конкретной функции (включая и функции,) учащиеся смогут изобразить эскиз графика рассматриваемой функции и по графику перечислить ее свойства.

Учебник: “Алгебра. Углубленное изучение. 9 класс.” Мордкович А. Г. (Мнемозина, 2006г.)

Взяли учебник за 2006 год, так как в этом учебнике, в отличие от более поздних изданий, включена тема степень с рациональным показателем. Вообще говоря, в настоящее время, эта тема изучается в старшей школе, но в мультимедийном пособии мы включили как пропедевтический материал.

Книга предназначена для углубленного изучения курса математики в 9-м классе средней школы. Этот учебник написан на базе учебника 9-го класса для общеобразовательных учреждений (А. Г. Мордкович. Алгебра-9). В нем реализована та же программа, а отличие состоит в более глубоком изучении соответствующих вопросов курса: простые примеры заменены более сложными и интересными.

Структура изучения материала:

ГЛАВА 4. Степенные функции. Степени и корни

§17. Степень с отрицательным целым показателем

§18. Функции, их свойства и графики

§19. Понятие корня n-й степени из действительного числа

§20. Функции, их свойства и графики

§21. Свойства корня n-й степени

§22. Преобразование выражений, содержащих радикалы

§23. Обобщение понятия о показателе степени

§24. Функции, их свойства и графики

В § 18 речь идет о степенных функциях с целочисленным показателем, т. е. о функциях и т. д. Этот параграф разбивается на пункты:

Автор напоминает, что простейший случай такой функции рассматривали в 7-м классе - это была функция. Данный пункт начинается с рассмотрения функции. Строится график и перечисляются свойства данной функции по определенному порядку: 1) область определения; 2) четность, нечетность; 3) монотонность; 4) ограниченность снизу, сверху; 5) наименьшее и наибольшее значения функции; 6) непрерывность; 7) область значений; 8) выпуклость.

Свойства были прочитаны по графику, теперь предлагается доказать существование ряда этих свойств аналитически.

Автор делает вывод о том, что график любой степенной функции, похож на график функции, только его ветви круто направлены вверх и более прижаты к оси х на отрезке и отмечает, что кривая касается оси х в точке (0;0).

В конце пункта приводится пример построения графика функции Построение: 1) переход к вспомогательной системе координат с началом в точке (1; -2); 2) построение кривой.

1) Функция

Свойства и график степенной функции с нечетным показателем сначала исследуются на примере функции, графиком которой является кубическая парабола.

Автор делает вывод о том, что график любой степенной функции, похож на график функции, только чем больше показатель, тем более круто направлены вверх (и соответственно вниз) ветви графика и отмечает, что кривая касается оси х в точке (0;0).

Далее приводится пример использования графика степенной функции для решения уравнения Решение проходит в 4 этапа: 1) рассматриваются две функции: и; 2) построение графика функции; 2) построение графика линейной функции; 4) находят точку пересечения и выполняется проверка.

2) Функция

Речь идет о степенных функциях с отрицательным целым показателем (четным). Сначала рассматривается пример функции. Строится график и перечисляются свойства данной функции. В частности, доказывается свойство убывания функции при.

мультимедийный наглядность функция школа математика

3) Функция

В этом случае рассматриваются степенные функции с отрицательным целым показателем (нечетным): и т. д. Автор напоминает, что одну такую функцию уже изучили в 8-м классе - это. Напоминаются ее свойства и график (гипербола), и делается вывод о том, что график любой функции похож на гиперболу.

В § 19 дается понятие корня n-й степени из действительного числа и, в частности отмечается, что из любого неотрицательного числа можно извлечь корень любой степени (второй, третьей, четвертой и т. д.), а из отрицательного числа можно извлечь корень любой нечетной степени.

В § 20 говорится о функции заданной при, исследуются ее график и свойства на частном примере (при). По рисунку, на котором изображены график функции и график функции, определяется и, затем, подтверждается аналитически симметрия этих графиков.

В этом же параграфе рассматривается функция в случае нечетного для любых значений. Говорится о свойствах данной функции и строится график.

· если - четное число, то график функции имеет вид, представленный на рис. 1;

· если - нечетное число, то график функции имеет вид, представленный на рис. 2.

В § 24 рассматривается функция вида, - любое действительное число (ограничиваемся случаями рационального показателя).

1. Если - натуральное число, то получаем функцию (графики и свойства известны)

2. Если, то получаем функцию, т. е. . В случае четного график имеет вид, изображенный на рис. 3а, в случае нечетного график имеет вид, изображенный на рис. 3б

рис.

3. Если, т. е. речь идет о функции, то это функция, где

Примерно так же обстоит дело для любой степенной функции вида, где:

1. - неправильная дробь (числитель больше знаменателя). Ее графиком является кривая, похожая на ветвь параболы. Чем больше показатель, тем «круче» устремлена эта кривая вверх. Строится график и приводятся свойства.

2. - правильная дробь () (§ 20). Строится график и приводятся свойства.

Строится график и приводятся свойства.

В задачнике “Алгебра. Углубленное изучение. 9 класс.” Завича Л. И., Рязановского А. Р. представлена разнообразная система упражнений. Сложность заданий повышается по мере возрастания их порядковых номеров. Задачник содержит большое количество разнообразных упражнений на построение графиков различных видов степенной функции, исследовании и применении ее свойств.

Например:

№ 17.05. Постройте на одном чертеже графики функций

Постройте графики функций

№ 17.35. Постройте график функции

и с помощью графика укажите промежутки ее монотонности, точки экстремума, экстремумы и количество ее нулей.

Постройте графики функций:

№ 19.01. Постройте на одном чертеже графики функций

№ 19.04. Постройте графики функций

№ 19.22. Постройте графики и проведите исследование функций

№ 21.01. Постройте на одном чертеже графики функций, при и, при и перечислите свойства функции: а) область определения D(y); б) множество значений E(y); в) нули функции; г) промежутки монотонности; д) промежутки выпуклости; е) точки экстремума; ж) экстремумы; з) четность или нечетность; и) наибольшее и наименьшее значения.

№ 21.03. Постройте графики и исследуйте следующие функции

№ 21.11. Постройте на одном чертеже графики функций

на отрезке

№ 21.17. Постройте графики функций

№ 25.01. Постройте на одном и том же чертеже эскизы графиков следующих пар функций

№ 25.05. Постройте графики функций и опишите их свойства

№ 25.06. Постройте на соседних чертежах графики функций

№ 25.18. Постройте графики функций

№ 25.30. Постройте графики функций

Анализ учебной литературы позволяет сделать некоторые выводы

Рассматривая стандарт основного общего образования по математике, мы видим, что учащиеся должны изучить следующие виды степенной функции:

Частные случаи (прямая, обратная пропорциональность, квадратичная функция),

С натуральным показателем,

С целым показателем,

С положительным рациональным показателем,

С рациональным показателем,

С иррациональным показателем,

С действительным показателем.

Важную роль в данной теме играет формирование образа графиков функций. Также ученики должны уметь: определять свойства функции по ее графику; описывать свойства изученных функций, строить их графики. Рассмотрение стандарта позволяет сделать вывод, что тема “Степенная функция” включена в обязательный минимум знаний, умений и навыков школьников и, следовательно, наше внимание к ней вполне оправдано.

Для того чтобы сформировать прочные умения и навыки о степенной функции, необходимо изучить методику темы «Свойства степенной функции», к которой мы и переходим.

2. Методические основы изучения темы “Свойства степенной функции” в школе

Степенная функция принадлежит к классу элементарных функций.

Целью ее изучения является не только знакомство учащихся со степенной функцией, но и расширение известных им сведений о свойствах функций в целом.

При изучении темы «Степенная функция» в основном пользуются аналитическим и графическим методом исследования функций. В тех случаях, когда аналитическое исследование трудно воспринимается учащимися, используют графические методы, однако последние не могут служить доказательствами.

Учащимися выполняется большое количество графических работ, при этом обращается внимание не только на точность и аккуратность их выполнения, но и на рациональные приемы построения графиков.

Сформировать прочные умения в построении и чтении графиков степенной функции, добиться, чтобы каждый ученик мог выполнять основные виды заданий самостоятельно, можно только при условии выполнения учащимися достаточного числа тренировочных упражнений.

Например, в журнале “Математика в школе” Лопатина, Л.В. предлагает следующий урок-мастерскую:

Урок-мастерская нацеливает учащихся на то, чтобы они собственным трудом добывали знания. В этом - основной лейтмотив развивающей педагогики. Тема «Степенная функция» очень подходит для творческой работы всего класса, так как степенная функция (, где -- любое рациональное число) - это фактически множество функции, имеющих различные свойства в зависимости от показателя степени.

Обсуждение этих свойств лучше всего организовать по группам. Для этого класс целесообразно поделить на шесть групп.

Прежде всего, учителю необходимо представлять себе последовательность работы в «мастерской»:

I этап - индукция - обращение к предыдущему опыту;

III этап - разрыв - момент, когда учащиеся должны осознать, что в их знаниях имеются пробелы, которые они сами должны восполнить;

IV этап - рефлексия - определение степени усвоения.

Опишем подробнее каждый из этапов урока.

I этап - индукция. Учитель напоминает о том, что в классе уже изучали функции, их свойства и графики. Эти функции можно в общем виде задать формулой: , где - -некоторое целое число. Такая функция называется степенной. Перед классом ставится следующая задача: перечислить вопросы, на которые мы должны ответить, изучая новую функцию.

Класс обсуждает эти вопросы по группам, а потом все вопросы ох групп собираются в единый список:

· Какими свойствами обладает данная функция?

· Каков ее график?

· В каких ситуациях она используется?

Начнем с ответа на последний вопрос. Приведем примеры нескольких ситуации, в которых появляется степенная функция.

Три ученика поочередно выходят к доске и делают сообщения, подготовленные дома.

Первый ученик рассматривает функцию, где - площадь поперечного сечения провода диаметром. Слушатели замечают, что эта степенная функция фактически представляет собой квадратичную, но с ограничениями на значение аргумента.

Второй ученик рассказывает о том, что сила притяжения двух тел с массами и выражается формулой. Это функция расстояния между этими телами. В классе найдется ученик, который заметит, что мы уже строили график функции такого вида, хотя специально ее не изучали.

Третий ученик анализирует дальность расстояния горизонта от наблюдателя: . Эта функция высоты, на которую поднят наблюдатель над уровнем моря. Если ребята сами этого не заметили, то учитель должен подчеркнуть, что здесь величина не может возрастать неограниченно. Действительно, как бы ни был высоко поднят наблюдатель, он не может увидеть больше, чем позволяют возможности его зрения и выпуклость Земного шара. Этот пример особенно показателен, так как позволяет судить о целесообразности ограничений на значения функции. Здесь какие-то ограничения мы должны наложить на значения функции, хотя значения, теоретически говоря, могут возрастать неограниченно.

II этап -- обсуждение темы. Учащимся предоставляется некоторое время для того, чтобы они разобрали свойства одной из выбранных ими степенных функций. Главная проблема здесь в выборе функции. Одна группа склонна упрощать задачу, ограничиваясь функцией вида, которая всем учащимся хорошо известна. Другая группа слишком усложняет свою работу, занявшись функцией вида или, а то и обеими вместе, хотя общий подход к вопросу учащимся еще не ясен.

В конце концов, находятся группы, избравшие функции, графики которых уже рассматривались ранее, хотя на них не делалось нужного акцента.

Первая группа рассматривала функцию вида; отметила область ее определения: и нулевое значение функции при. Ребята особо остановились на том, что функция возрастает на всей области определения. Выделили промежутки, на которых функция больше или меньше нуля. Выступавшие особо подчеркнули, что эта функция нечетная и не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

От этой группы выступает перед классом один ученик, который рассказывает о результатах исследований в группе.

Вторая группа выбрала для рассмотрения функцию. Ребята заметили, что теперь придется исключить из области определения функции число 0, т.е. . В отличие от предыдущей, эта функция не имеет нулей. Но, как и рассмотренная выше, эта функция положительна при и отрицательна при. Она убывает на всей области определения.

Представитель этой группы особо подчеркивает различия между функциями и.

Еще двое учеников рассказывают о функциях.

Во время своих выступлений все докладчики должны продемонстрировать графики рассмотренных функций.

Во время III этапа урока учащиеся должны обобщить свои знания. А сделать это они должны самостоятельно, удивившись разнообразию рассмотренных функций. «Почему им дано одно название, если их так много и они разные?» - вот вопрос, который должны поставить перед собою учащиеся. Задача учителя - незаметно подвести учащихся к этому вопросу. Наступает момент так называемого разрыва, когда ребята должны осознать недостатки своих знаний, их ограниченность или неполноту. Действительно, одна функция из рассмотренных имеет нули, другая нет. Одна возрастает на всей области определения, другая - то возрастает, то убывает. Какую же характеристику мы должны дать всей степенной функции, чтобы она охватывала как можно больше частных случаев?

В поиске ответа на этот вопрос кто-то из ребят в конце концов догадывается, что вид степенной функции удобно связать с четностью или нечетностью показателя степени.

Теперь уместно снова дать задание группам обсудить свойства функций

где - нечетное;

где -- четное;

где -- нечетное;

где -- четное.

Еще раз отмечаем план исследования функции:

Указать область определения.

Определить четность или нечетность функции (или отметить, что она не является ни четной, ни нечетной).

1. Найти нули функции, если таковые существуют.

2. Отметить промежутки знакопостоянства.

3. Найти промежутки возрастания и убывания.

4. Указать наибольшее или наименьшее значение функции.

В завершении учащимся представляются графики рассмотренных функций, = -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Эти графики выполняют представители каждой из групп.

Теперь вместе с классом строим графики функции, где натуральное число и.

Отмечается общее свойство этих функций: они обе имеют область определения - промежуток. Они обе являются ни четной, ни нечетной. Они обе больше нуля.

Но у этих функций есть и различия. Ребята их называют особо: функция вида возрастает на своей области определения, а функция вида убывает на той же области. Функция вида имеет нулевое значение при, а функция вид, а не имеет нулей.

На IV этапе учащиеся должны заняться рефлексией, т.е. определением степени усвоения материала. Весь класс получает следующее задание по рис. 3.

На рис. 3, а-з схематически изображены графики функций, которые заданы формулами

Установите, какая формула из данного списка примерно соответствует каждому из графиков а-з .

В журнале “Математика в школе” Петрова, Н.П. предлагает проект «Изучение свойств степенной функции с помощью программы Excel»:

Описанный в статье учебный проект по теме «Изучение свойств функций и с помощью электронных таблиц Excel» проводился учителями математики и информатики нашего лицея в IX классе и был рассчитан на пять уроков.

Целью проекта было предоставление учащимся самостоятельности и инициативы при изучении новой темы и применении на практике изученного ранее материала.

В процессе выполнения проекта девятиклассники должны были показать:

· умение грамотно формулировать задачи проекта;

· умение анализировать информацию и делать выводы;

· умение грамотно интерпретировать полученные результаты и применять их в практической деятельности.

Перед учащимися стояла задача исследовать поведение графиков функций и средствами программы Excel, а затем на основе полученных данных описать свойства функций.

По результатам проекта девятиклассники должны были усвоить общий вид графиков функций и, научиться строить и «читать» эти графики, а также решать графически уравнения вида = f(x).

Заметим, что работа над данным проектом была призвана способствовать развитию у школьников умения сравнивать, выделять общие признаки и различия в графиках степенной функции при разных значениях.

Приведем поэтапное описание проекта.

Этап I. Подготовка (поисковый этап)

Пробуждение у учащихся интереса к теме проекта происходит в процессе беседы. Ученикам предлагается решить известными им способами уравнения

Выясняется, что уравнение ребята могут решить двумя способами: аналитическим и графическим, уравнение - графическим способом. Остальные уравнения они решить затрудняются, но если бы были знакомы с графиками функций, то решили бы задачу графически.

Итогом беседы является формулировка проблемного вопроса: как выглядят графики функций и, где? После этого определяются направления дальнейшей работы, формулируются задачи:

1. Выясните с помощью программы Excel, как выглядит график функции при четном п и опишите свойства этой функции.

2. Выясните с помощью программы Excel, как выглядит график функции при нечетном п и опишите свойства этой функции.

3. Выясните с помощью программы Excel, как выглядит график функции при четном п и опишите свойства этой функции.

4. Выясните с помощью программы Excel, как выглядит график функции при нечетном п и опишите свойства этой функции.

Затем происходит разбиение класса на рабочие группы. Учитель предлагает учащимся самостоятельно разделиться на четыре группы (по желанию) и выбрать в каждой группе руководителя. Когда группы сформированы, они выбирают одно из направлений работы в проекте (согласно перечисленным выше задачам).

Этап II. Планирование (аналитический этап)

Учитель помогает группам составить план работы по решению выбранной задачи и рекомендует источники получения информации. Учащиеся самостоятельно распределяют роли в группах. Примерное распределение ролей в группе указано в следующей таблице. Количество учащихся в группе зависит от количества учеников в классе.

На этом же этапе обсуждается форма представления результатов работы. В данном случае была выбрана компьютерная презентация с использованием PowerPoint.

Этап III. Исследование (практический этап)

Учащиеся выполняют задания в соответствии с намеченным планом работы. Учитель наблюдает за их деятельностью, при необходимости консультирует учеников.

В качестве примера приведем план работы группы № 1.

1. Построение графиков функций, средствами программы Excel.

2. Сравнение графиков, формулирование вариантов рекомендаций для построения графика функции при натуральном четном п.

3. Определение свойств функции по графику.

4. Разбор примеров практического применения графика функции.

На основе проведенного исследования учащиеся делают вывод, что графики функций вида при натуральном четном п являются кривыми, похожими на параболу, и дают рекомендации для построения графика: следует учитывать, что график симметричен относительно оси Оу, поэтому достаточно составить таблицу значений функции для положительных значений аргумента х.

Кроме того, на данном этапе создается общий сценарий презентации, который будет уточняться по ходу проекта. В этом сценарии, в частности, определяются количество слайдов, назначение каждого из них, а также основные объекты, которые следует разместить на слайдах.

Этапы IV и V. Защита проекта, оценка результатов (презентационный и контрольный этапы)

Защита проектов (по группам) происходит на последнем из запланированных уроков.

Приведем теперь поурочный график работы над данным проектом и содержание каждого урока.

Урок 1 (математика)

· Постановка проектной задачи. Определение направлений работы, формулирование задач проекта.

· Разбиение на рабочие группы, выбор руководителя в группах.

· Составление плана работы по решению поставленных задач, распределение ролей в группах, выбор формы представления результатов.

Урок 2 (информатика)

· Разговор о назначении электронных таблиц Excel.

· Повторение построения графиков различных функций средствами Excel.

· Построение графиков изучаемых функций средствами Excel. Анализ полученной информации, формулирование выводов.

Урок 3 (математика)

· Построение и «чтение» графиков функций и

· Решение уравнений вида, где графическим способом.

· Создание сценария презентации.

Урок 4 (информатика)

· Повторение назначения и принципов работы программы Power Point.

· Создание презентации.

Урок 5 (математика)

· Защита проектов.

Приведем также общий план урока - защиты проекта.

1. Организационный момент.

2. Мотивация к применению знаний через выявление проблемы.

Вступительное слово учителя

На сегодняшнем уроке главным объектом изучения являются функции и, где, их свойства и графики. Вы уже умеете решать уравнения первой степени (линейные) и второй (квадратные) по формулам корней. Для уравнений 3-й степени также имеются специальные формулы корней, но они очень громоздкие и на практике применяются редко. Для уравнений, степень которых выше третьей, общих формул корней нет. Возникает проблема: как же можно решить такие уравнения? Оказывается, если не аналитически, то графически. А чтобы применять графический способ для решения уравнений вида и, надо уметь строить графики функций и, где.

Исследованием графиков этих функций занимались четыре группы. Сейчас каждая из них познакомит нас с результатами проделанной работы.

3. Выступления групп.

Представление (защита) проекта каждой группой, ответы на вопросы оппонентов.

4. Самооценка и оценка каждого выступления остальными группами (по пятибалльной шкале).

Перечислим основные критерии оценки:

· соответствие содержания заявленной теме, точность, законченность изложения;

· отсутствие ошибок;

· оформление (дизайн): насколько разметка слайдов отвечает эстетическим требованиям;

· легко ли читается текст; соответствует ли изображение содержанию и т.д.;

· убедительность, аргументированность выступления; грамотность речи, владение терминологией;

· полнота ответов на вопросы.

Отдельно оценивается взаимодействие в группе: коммуникабельность, уважение и внимание к другим участникам, активность.

Подсчитывается общее количество заработанных баллов и рейтинговая оценка (среднеарифметический балл); на их основе выставляется оценка за участие в проекте.

5. Обсуждение вклада в проект каждого ученика и выставление оценок.

6. Подведение итогов (рефлексия).

7. Заключительное слово учителя

В ходе проектной деятельности по данной теме вы ответили на вопрос, что представляют собой графики функций и, и дали рекомендации по их построению. Теперь вы можете решать некоторые уравнения вида и графическим методом. Благодарим всех учащихся за творческую и плодотворную работу, которая способствовала достижению целей проекта .

Учитывая вышесказанное, в своем пособии мы попытались отразить системный подход к изучению степенной функции. Для того чтобы минимизировать трудности работы с компьютером постарались сделать удобную и естественную навигацию и учесть требования, предъявляемые к дидактическим программным средствам.

Вы знакомы с функциями y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/x и т. д. Все эти функции являются частными случаями степенной функции, т. е. функцииy=x p , где p - заданное действительное число. Свойства и график степенной функции существенно зависит от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значенияхx иp имеет смысл степеньx p . Перейдем к подобному рассмотрению различных случаев в зависимости от показателя степениp.

Показатель p=2n -четное натуральное число.

В этом случае степенная функция y=x 2n , гдеn - натуральное число, обладает следующими

свойствами:

область определения - все действительные числа, т. е. множество R;

множество значений - неотрицательные числа, т. е. y больше или равно 0;

функция y=x 2n четная, так какx 2n =(-x) 2n

функция является убывающей на промежутке x<0 и возрастающей на промежутке x>0.

График функции y=x 2n имеет такой же вид, как например график функцииy=x 4 .

2. Показатель p=2n-1 - нечетное натуральное число В этом случае степенная функцияy=x 2n-1 , где натуральное число, обладает следующими свойствами:

область определения - множество R;

множество значений - множество R;

функция y=x 2n-1 нечетная, так как (-x) 2n-1 =x 2n-1 ;

функция является возрастающей на всей действительной оси.

График функции y=x2n-1 имеет такой же вид, как, например, график функцииy=x3 .

3.Показатель p=-2n , гдеn - натуральное число.

В этом случае степенная функция y=x -2n =1/x 2n обладает следующими свойствами:

множество значений - положительные числа y>0;

функция y=1/x 2n четная, так как1/(-x) 2n =1/x 2n ;

функция является возрастающей на промежутке x<0 и убывающей на промежутке x>0.

График функции y=1/x 2n имеет такой же вид, как, например, график функции y=1/x 2 .

4.Показатель p=-(2n-1) , гдеn - натуральное число. В этом случае степенная функцияy=x -(2n-1) обладает следующими свойствами:

область определения - множество R, кроме x=0;

множество значений - множество R, кроме y=0;

функция y=x -(2n-1) нечетная, так как (-x) -(2n-1) =-x -(2n-1) ;

функция является убывающей на промежутках x<0 иx>0 .

График функции y=x -(2n-1) имеет такой же вид, как, например, график функцииy=1/x 3 .

1. Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики.

Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики. Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции (круговые функции , аркфункции ) - математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям.

1. Функция arcsin

График функции .

Арксинусом числа m называется такое значение угла x , для которого

Функция непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция является строго возрастающей.

1. [Править]Свойства функции arcsin

1. [Править]Получение функции arcsin

Дана функция На всей своей области определения она является кусочно-монотонной , и, значит, обратное соответствие функцией не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все значения области значений - . Так как для функции на интервале каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции, то на этом отрезке существует обратная функция график которой симметричен графику функции на отрезке относительно прямой

1. Степенная функция, ее свойства и график;

2. Преобразования:

Параллельный перенос;

Симметрия относительно осей координат;

Симметрия относительно начала координат;

Симметрия относительно прямой y = x;

Растяжение и сжатие вдоль осей координат.

3. Показательная функция, ее свойства и график, аналогичные преобразования;

4. Логарифмическая функция , ее свойства и график;

5. Тригонометрическая функция, ее свойства и график, аналогичные преобразования (y = sin x; y = cos x; y = tg x);

Функция: y = x\n - ее свойства и график.

Степенная функция, ее свойства и график

y = x, y = x 2 , y = x 3 , y = 1/x и т. д. Все эти функции являются частными случаями степенной функции, т. е. функции y = x p , где p - заданное действительное число.
Свойства и график степенной функции существенно зависит от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значениях x и p имеет смысл степень x p . Перейдем к подобному рассмотрению различных случаев в зависимости от
показателя степени p.

1. Показатель p = 2n - четное натуральное число.

y = x 2n , где n - натуральное число, обладает следующими свойствами:

• область определения - все действительные числа, т. е. множество R;
• множество значений - неотрицательные числа, т. е. y больше или равно 0;
• функция y = x 2n четная, так как x 2n = (-x) 2n
• функция является убывающей на промежутке x < 0 и возрастающей на промежутке x > 0.

График функции y = x 2n имеет такой же вид, как например график функции y = x 4 .

2. Показатель p = 2n - 1 - нечетное натуральное число

В этом случае степенная функция y = x 2n-1 , где натуральное число, обладает следующими свойствами:

• область определения - множество R;
• множество значений - множество R;
• функция y = x 2n-1 нечетная, так как (-x) 2n-1 = x 2n-1 ;
• функция является возрастающей на всей действительной оси.

График функции y = x 2n-1 y = x 3 .

3. Показатель p = -2n , где n - натуральное число.

В этом случае степенная функция y = x -2n = 1/x 2n обладает следующими свойствами:

• множество значений - положительные числа y>0;
• функция y = 1/x 2n четная, так как 1/(-x) 2n = 1/x 2n ;
• функция является возрастающей на промежутке x0.

График функции y = 1/x 2n имеет такой же вид, как, например, график функции y = 1/x 2 .

4. Показатель p = -(2n-1) , где n - натуральное число.
В этом случае степенная функция y = x -(2n-1) обладает следующими свойствами:

• область определения - множество R, кроме x = 0;
• множество значений - множество R, кроме y = 0;
• функция y = x -(2n-1) нечетная, так как (-x) -(2n-1) = -x -(2n-1) ;
• функция является убывающей на промежутках x < 0 и x > 0 .

График функции y = x -(2n-1) имеет такой же вид, как, например, график функции y = 1/x 3 .