EXPLICAȚIA TEXTULUI A LECȚIEI:

Luați în considerare aceste elemente:

Cărămizi de construcție, zaruri, cuptor cu microunde. Aceste obiecte sunt unite printr-o formă.

O suprafață formată din două paralelograme egale ABCD și A1B1C1D1

iar patru paralelograme AA1B1B și BB1C1C, CC1D1D, AA1D1D se numesc paralelipiped.

Paralelogramele care alcătuiesc paralelipipedul se numesc fețe. Fața A1B1C1D1. Fața BB1S1S. Edge ABCD.

În acest caz, fețele ABCD și A1B1C1D1 sunt mai des numite baze, iar fețele rămase sunt laterale.

Laturile paralelogramelor se numesc margini ale paralelipipedului. Edge A1B1. Coasta CC1. Edge AD.

Muchia CC1 nu aparține bazelor, se numește marginea laterală.

Vârfurile paralelogramelor se numesc vârfuri ale paralelipipedului.

Sus D1. Pinacul B. Pinacul C.

Vârfurile D1 și B

nu aparțin aceleiași fețe și sunt numite opuse.

Paralepipedul poate fi desenat în diferite moduri.

Paralepipedul de la bază, care este un romb, în ​​timp ce imaginile fețelor sunt paralelograme.

Un paralelipiped la bază, care este un pătrat. Marginile invizibile AA1, AB, AD sunt prezentate ca linii întrerupte.

Paralepipedul de la bază, care este un pătrat

Un paralelipiped la baza căruia se află un dreptunghi sau un paralelogram

Un paralelipiped cu toate laturile pătrate. Mai des se numește cub.

Toate paralelipipedele considerate au proprietăți. Să le formulăm și să le dovedim.

Proprietatea 1. Fețele opuse ale unui paralelipiped sunt paralele și egale.

Luați în considerare paralelipipedul ABCDА1В1С1D1 și demonstrați, de exemplu, că fețele BB1C1C și AA1D1D sunt paralele și egale.

După definiția unui paralelipiped, fața ABCD este un paralelogram, ceea ce înseamnă că, prin proprietatea unui paralelogram, muchia BC este paralelă cu muchia AD.

Fața ABV1A1 este, de asemenea, un paralelogram, ceea ce înseamnă că muchiile BB1 ​​și AA1 sunt paralele.

Aceasta înseamnă că două drepte care se intersectează BC și BB1 ale unui plan, respectiv, sunt paralele cu două drepte AD și, respectiv, AA1 ale altui plan, ceea ce înseamnă că planele ABB1A1 și BCC1D1 sunt paralele.

Toate fețele paralelipipedului sunt paralelograme, ceea ce înseamnă BC=AD, BB1=AA1.

În acest caz, laturile unghiurilor B1BC și A1AD sunt co-direcționate, ceea ce înseamnă că sunt egale.

Astfel, două laturi adiacente și unghiul dintre ele ale paralelogramului ABB1A1 sunt, respectiv, egale cu două laturi adiacente și unghiul dintre ele ale paralelogramului BCC1D1, ceea ce înseamnă că aceste paralelograme sunt egale.

Paralepipedul are și proprietatea diagonalei. Diagonala unui paralelipiped este un segment care leagă vârfuri neînvecinate. În desen, linia punctată arată diagonalele B1D, BD1, A1C.

Deci, proprietatea 2. Diagonalele paralelipipedului se intersectează într-un punct, iar punctul de intersecție se împarte la jumătate.

Pentru a demonstra proprietatea, luați în considerare patrulaterul BB1D1D. Diagonalele sale В1D, BD1 sunt diagonalele paralelipipedului ABCDА1В1С1D1.

În prima proprietate, am aflat deja că muchia BB1 este paralelă și egală cu muchia AA1, dar muchia AA1 este paralelă și egală cu muchia DD1. Prin urmare, muchiile BB1 ​​și DD1 sunt paralele și egale, ceea ce demonstrează patrulaterul BB1D1D-paralelogram. Și într-un paralelogram, conform proprietății, diagonalele B1D, BD1 se intersectează într-un punct O și acest punct se împarte la jumătate.

Cadrilaterul BC1D1A este, de asemenea, un paralelogram, iar diagonalele sale C1A se intersectează într-un punct și bisectează acest punct. Diagonalele paralelogramului C1A, BD1 sunt diagonalele paralelipipedului, ceea ce înseamnă că proprietatea declarată este dovedită.

Pentru a consolida cunoștințele teoretice despre paralelipiped, luați în considerare problema demonstrației.

Punctele L,M,N,P sunt marcate pe marginile paralelipipedului astfel încât BL=CM=A1N=D1P. Demonstrați că ALMDNB1C1P este un paralelipiped.

Fața BB1A1A este un paralelogram, ceea ce înseamnă că muchia BB1 este egală și paralelă cu muchia AA1, dar prin condiție segmentele BL și A1N, ceea ce înseamnă că segmentele LB1 și NA sunt egale și paralele.

3) Prin urmare, patrulaterul LB1NA pe baza unui paralelogram.

4) Deoarece CC1D1D este un paralelogram, înseamnă că muchia CC1 este egală și paralelă cu muchia D1D, iar CM este egal cu D1P prin condiție, deci segmentele MC1 și DP sunt egale și paralele

Prin urmare, patrulaterul MC1PD este, de asemenea, un paralelogram.

5) Unghiurile LB1N și MC1P sunt egale ca unghiuri cu laturile, respectiv, paralele și egal direcționate.

6) Am obținut că paralelogramele și MC1PD au laturile corespunzătoare egale și unghiurile dintre ele sunt egale, deci paralelogramele sunt egale.

7) Segmentele sunt egale după condiție, deci BLMC este un paralelogram și latura BC este paralelă cu latura LM este paralelă cu latura B1C1.

8) În mod similar, din paralelogramul NA1D1P rezultă că latura A1D1 este paralelă cu latura NP și paralelă cu latura AD.

9) Fețele opuse ABB1A1 și DCC1D1 ale paralelipipedului sunt paralele prin proprietate, iar segmentele de drepte paralele închise între plane paralele sunt egale, ceea ce înseamnă că segmentele B1C1, LM, AD, NP sunt egale.

Se obtine ca in patrulaterele ANPD, NB1C1P, LB1C1M, ALMD doua laturi sunt paralele si egale, ceea ce inseamna ca sunt paralelograme. Apoi suprafața noastră ALMDNB1C1P este formată din șase paralelograme, dintre care două sunt egale și, prin definiție, este un paralelipiped.

Sau (echivalent) un poliedru cu șase fețe și fiecare dintre ele - paralelogram.

Tipuri de cutie

Există mai multe tipuri de paralelipipede:

• Un cuboid este un cuboid ale cărui fețe sunt toate dreptunghiuri.
• Un paralelipiped drept este un paralelipiped cu 4 fețe laterale care sunt dreptunghiuri.
• O cutie oblică este o cutie ale cărei fețe laterale nu sunt perpendiculare pe baze.

Elemente esentiale

Două fețe ale unui paralelipiped care nu au o muchie comună sunt numite opuse, iar cele care au o muchie comună sunt numite adiacente. Două vârfuri ale unui paralelipiped care nu aparțin aceleiași fețe sunt numite opuse. Segmentul de dreaptă care leagă vârfuri opuse se numește diagonala paralelipipedului. Lungimile a trei muchii ale unui cuboid care au un vârf comun se numesc dimensiunile sale.

Proprietăți

• Paralepipedul este simetric față de punctul de mijloc al diagonalei sale.
• Orice segment cu capete aparținând suprafeței paralelipipedului și care trece prin mijlocul diagonalei acestuia este împărțit de acesta în jumătate; în special, toate diagonalele paralelipipedului se intersectează într-un punct și îl bisectează.
• Fețele opuse ale unui paralelipiped sunt paralele și egale.
• Pătratul lungimii diagonalei unui cuboid este egal cu suma pătratelor celor trei dimensiuni ale sale.

Formule de bază

Paralepipedul drept

Suprafata laterala S b \u003d R o * h, unde R o este perimetrul bazei, h este înălțimea

Suprafata totala S p \u003d S b + 2S o, unde S o este aria bazei

Volum V=S o *h

cuboid

Suprafata laterala S b \u003d 2c (a + b), unde a, b sunt laturile bazei, c este marginea laterală a paralelipipedului dreptunghiular

Suprafata totala S p \u003d 2 (ab + bc + ac)

Volum V=abc, unde a, b, c sunt dimensiunile cuboidului.

cub

Suprafață: $S=6a^2$
Volum: $V=a^3$, Unde $A$- marginea cubului.

Cutie arbitrară

Volumul și rapoartele dintr-o casetă de oblic sunt adesea definite folosind algebră vectorială. Volumul unui paralelipiped este egal cu valoarea absolută a produsului mixt a trei vectori definiți de cele trei laturi ale paralelipipedului care emană dintr-un vârf. Raportul dintre lungimile laturilor paralelipipedului și unghiurile dintre ele dă afirmația că determinantul Gram al acestor trei vectori este egal cu pătratul produsului lor mixt: 215 .

În analiza matematică

În analiza matematică, sub un paralelipiped dreptunghic n-dimensional $B$ intelege multe puncte $x\; =\; (x\_1,\backslash ldots,x\_n)$ drăguț $B\; =\; \backslash (x|a\_1\backslash leqslant\; x\_1\backslash leqslant\; b\_1,\backslash ldots,a\_n\backslash leqslant\; x\_n\backslash leqslant\; b\_n\backslash )$

Scrieți o recenzie despre articolul „Paralelepiped”

Note

Legături

corect corect neconvex convex formule, teoreme, teorii Alte

Un fragment care caracterizează Paralelepipedul

- On dit que les rivaux se sont reconcilies grace a l "angine ... [Se spune că rivalii s-au împăcat datorită acestei boli.]
Cuvîntul angine a fost repetat cu mare plăcere.
- Le vieux comte est touchant a ce qu "on dit. Il a pleure comme un enfant quand le medecin lui a dit que le cas etait dangereux. [Bătrânul conte este foarte înduioșător, spun ei. A plâns ca un copil când doctorul a spus acel caz periculos.]
Oh, ar fi une perte teribil. C "est une femme ravissante. [Oh, asta ar fi o mare pierdere. O femeie atât de drăguță.]
„Vous parlez de la pauvre comtesse”, a spus Anna Pavlovna, apropiindu-se. - J "ai envoye savoir de ses nouvelles. On m" a dit qu "elle allait un peu mieux. Oh, sans doute, c" est la plus charmante femme du monde, - spuse Anna Pavlovna zâmbind peste entuziasmul ei. - Nous appartenons a des camps differents, mais cela ne m "empeche pas de l" estimer, comme elle le merite. Elle est bien malheureuse, [Vorbiți despre biata contesă... Am trimis să aflu despre sănătatea ei. Mi s-a spus că e puțin mai bine. Oh, fără îndoială, aceasta este cea mai frumoasă femeie din lume. Aparținem unor tabere diferite, dar asta nu mă împiedică să o respect după meritele ei. E atât de nefericită.] a adăugat Anna Pavlovna.
Crezând că prin aceste cuvinte Anna Pavlovna a ridicat ușor vălul secretului asupra bolii contesei, un tânăr nepăsător și-a permis să-și exprime surpriza că nu sunt chemați medici celebri, dar un șarlatan care putea să ofere mijloace periculoase o trata pe contesa.
„Vos informations peuvent etre meilleures que les miennes”, i-a aruncat brusc Anna Pavlovna, veninos, asupra tânărului fără experiență. Mais je sais de bonne source que ce medecin este un om tres savant et tres habile. C "est le medecin intime de la Reine d" Espagne. [Veștile tale pot fi mai exacte decât ale mele... dar știu din surse bune că acest doctor este o persoană foarte învățată și pricepută. Acesta este medicul de viață al reginei Spaniei.] - Și astfel distrugând tânărul, Anna Pavlovna s-a întors către Bilibin, care într-un alt cerc, ridicând pielea și, se pare, pe cale să o dizolve, să spună un mot, a vorbit despre austrieci.
- Je trouve que c "est charmant! [Îmi găsesc fermecător!] - a spus el despre o lucrare diplomatică, sub care steagurile austriece luate de Wittgenstein erau trimise la Viena, le heros de Petropol [eroul din Petropolis] (după cum el a fost numit la Petersburg).
- Cum, cum e? Anna Pavlovna se întoarse spre el, stârnind tăcerea pentru a auzi mot, pe care îl știa deja.
Și Bilibin a repetat următoarele cuvinte autentice din depeșa diplomatică pe care o întocmise:
- L "Empereur renvoie les drapeaux Autrichiens", a spus Bilibin, "drapeaux amis et egares qu" il a trouve hors de la route, [Împăratul trimite bannere austriece, bannere prietenoase și greșite pe care le-a găsit în afara drumului real.] - a terminat Bilibin slăbind pielea.
- Fermecător, fermecător, [Fermecător, fermecător,] - spuse prințul Vasily.
- C "est la route de Varsovie peut etre, [Acesta este drumul Varșovia, poate.] - spuse prințul Hippolyte cu voce tare și pe neașteptate. Toți s-au uitat la el, neînțelegând ce voia să spună cu asta. Prințul Hippolyte s-a uitat și el în jur cu surpriză veselă în jurul lui.El, ca și ceilalți, nu înțelegea ce înseamnă cuvintele pe care le-a spus.În timpul carierei sale diplomatice, a observat de mai multe ori că cuvintele rostite brusc în acest fel s-au dovedit a fi foarte spirituale și, pentru orice eventualitate, el spuse aceste cuvinte: „Poate va ieși foarte bine”, se gândi el, „dar dacă nu, vor putea să-l aranjeze acolo.” Anna Pavlovna și ea, zâmbind și scuturând degetul către Ippolit, l-a invitat la masă pe prințul Vasily și, aducându-i două lumânări și un manuscris, l-a rugat să înceapă.

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de interes public.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivel de companie

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Teorema. În orice paralelipiped, fețele opuse sunt egale și paralele.

Deci, fețele (Fig.) BB 1 C 1 C și AA 1 D 1 D sunt paralele, deoarece două drepte care se intersectează BB 1 și B 1 C 1 ale unei fețe sunt paralele cu două drepte care se intersectează AA 1 și A 1 D 1 ale celălalt. Aceste fețe sunt egale, deoarece B 1 C 1 =A 1 D 1 , B 1 B=A 1 A (ca laturi opuse ale paralelogramelor) și ∠BB 1 C 1 = ∠AA 1 D 1 .

Teorema. În orice paralelipiped, toate cele patru diagonale se intersectează într-un punct și sunt împărțite în jumătate în el.

Luați (fig.) într-un paralelipiped oricare două diagonale, de exemplu, AC 1 și DB 1, și trasați linii drepte AB 1 și DC 1.

Deoarece muchiile AD și B 1 C 1 sunt egale și, respectiv, paralele cu muchia BC, ele sunt egale și paralele între ele.

Ca urmare, figura ADC 1 B 1 este un paralelogram în care C 1 A și DB 1 sunt diagonale, iar în paralelogram diagonalele se intersectează pe jumătate.

Această demonstrație poate fi repetată la fiecare două diagonale.

Prin urmare, diagonala AC 1 se intersectează cu BD 1 în jumătate, diagonala BD 1 cu A 1 C în jumătate.

Astfel, toate diagonalele se intersectează în jumătate și, prin urmare, într-un punct.

Teorema. Într-un cuboid, pătratul oricărei diagonale este egal cu suma pătratelor celor trei dimensiuni ale sale.

Fie (fig.) AC 1 o diagonală a unui paralelipiped dreptunghic.

După desenarea AC, obținem două triunghiuri: AC 1 C și ACB. Ambele sunt dreptunghiulare.

prima pentru că cutia este dreaptă și, prin urmare, muchia CC 1 este perpendiculară pe bază,

a doua este pentru că paralelipipedul este dreptunghiular, ceea ce înseamnă că are un dreptunghi la bază.

Din aceste triunghiuri găsim:

AC 2 1 = AC 2 + CC 2 1 și AC 2 = AB 2 + BC 2

Prin urmare, AC 2 1 = AB 2 + BC 2 + СС 2 1 = AB 2 + AD 2 + AA 2 1

Consecinţă. Într-un cuboid, toate diagonalele sunt egale.

Un paralelipiped este o prismă ale cărei baze sunt paralelograme. În acest caz, toate marginile vor paralelograme.
Fiecare paralelipiped poate fi considerat ca o prismă în trei moduri diferite, deoarece fiecare două fețe opuse pot fi luate drept baze (în Fig. 5 fețele ABCD și A „B” C „D”, sau ABA „B” și CDC „D” , sau BC „C” și ADA „D”).
Corpul luat în considerare are douăsprezece margini, patru egale și paralele între ele.
Teorema 3 . Diagonalele paralelipipedului se intersectează într-un punct, coincizând cu mijlocul fiecăruia dintre ele.
Paralepipedul ABCDA"B"C"D" (Fig. 5) are patru diagonale AC", BD", CA", DB". Trebuie să dovedim că punctele medii ale oricăror două dintre ele, de exemplu, AC și BD, coincid. Aceasta rezultă din faptul că figura ABC „D”, care are laturile egale și paralele AB și C „D”, este un paralelogram. .
Definiția 7 . Un paralelipiped drept este un paralelipiped care este și o prismă dreaptă, adică un paralelipiped ale cărui margini laterale sunt perpendiculare pe planul bazei.
Definiția 8 . Un paralelipiped dreptunghiular este un paralelipiped drept a cărui bază este un dreptunghi. În acest caz, toate fețele sale vor fi dreptunghiuri.
Un paralelipiped dreptunghiular este o prismă dreaptă, indiferent care dintre fețele sale o luăm ca bază, deoarece fiecare dintre muchiile sale este perpendiculară pe muchiile care ies din același vârf cu el și, prin urmare, va fi perpendiculară pe planurile fețelor. definite de aceste margini. În schimb, o cutie dreaptă, dar nu dreptunghiulară, poate fi privită ca o prismă dreaptă într-un singur fel.
Definiția 9 . Lungimile a trei muchii ale unui cuboid, dintre care două nu sunt paralele între ele (de exemplu, trei muchii care ies din același vârf), se numesc dimensiunile sale. Două | paralelipipede dreptunghiulare având dimensiuni corespunzător egale sunt în mod evident egale între ele.
Definiția 10 Un cub este un paralelipiped dreptunghiular, toate cele trei dimensiuni fiind egale între ele, astfel încât toate fețele sale sunt pătrate. Două cuburi ale căror margini sunt egale sunt egale.
Definiția 11 . Un paralelipiped înclinat în care toate muchiile sunt egale și unghiurile tuturor fețelor sunt egale sau complementare se numește romboedru.
Toate fețele unui romboedru sunt romburi egale. (Forma unui romboedru are niște cristale de mare importanță, de exemplu, cristale din spatele Islandei.) Într-un romboedru, se poate găsi un astfel de vârf (și chiar două vârfuri opuse) încât toate unghiurile adiacente acestuia să fie egale între ele. .
Teorema 4 . Diagonalele unui paralelipiped dreptunghiular sunt egale între ele. Pătratul diagonalei este egal cu suma pătratelor de trei dimensiuni.
Într-un paralelipiped dreptunghic ABCDA „B” C „D” (Fig. 6), diagonalele AC „și BD” sunt egale, deoarece patrulaterul ABC „D” este dreptunghi (linia AB este perpendiculară pe planul BC „C” , în care se află BC") .
În plus, AC" 2 =BD" 2 = AB2+AD" 2 bazat pe teorema pătratului ipotenuzei. Dar pe baza aceleiași teoreme AD" 2 = AA" 2 + +A"D" 2; deci avem:
AC "2 \u003d AB 2 + AA" 2 + A "D" 2 \u003d AB 2 + AA "2 + AD 2.