Integrare pe părți. Exemple de soluții

Buna din nou. Astăzi, în lecție, vom învăța cum să integrăm pe părți. Metoda de integrare pe părți este una dintre pietrele de temelie ale calculului integral. În timpul testelor sau examenelor, studenților li se cere aproape întotdeauna să rezolve următoarele tipuri de integrale: integrala cea mai simplă (vezi articolul) sau o integrală prin înlocuirea unei variabile (vezi articolul) sau integrala este doar activată metoda integrarii prin piese.

Ca întotdeauna, ar trebui să aveți la îndemână: Tabelul integralelorȘi Tabelul derivatelor. Dacă încă nu le aveți, atunci vă rugăm să vizitați camera de depozitare a site-ului meu: Formule și tabele matematice. Nu mă voi sătura să repet - este mai bine să tipăriți totul. Voi încerca să prezint tot materialul în mod consecvent, simplu și clar; nu există dificultăți deosebite în integrarea părților.

Ce problemă rezolvă metoda integrării pe părți? Metoda de integrare pe părți rezolvă o problemă foarte importantă; vă permite să integrați unele funcții care nu sunt în tabel, muncă funcții și, în unele cazuri, chiar și coeficiente. După cum ne amintim, nu există o formulă convenabilă: . Dar există acesta: – formula de integrare pe părți în persoană. Știu, știu, ești singurul - vom lucra cu ea pe tot parcursul lecției (acum este mai ușor).

Și imediat lista la studio. Integralele următoarelor tipuri sunt luate pe părți:

1) , , – logaritm, logaritm înmulțit cu un polinom.

2) ,este o funcție exponențială înmulțită cu un polinom. Aceasta include, de asemenea, integrale, cum ar fi - o funcție exponențială înmulțită cu un polinom, dar în practică aceasta este 97 la sută, sub integrală există o litera frumoasă „e”. ... articolul se dovedește oarecum liric, ah da... a venit primăvara.

3) , , sunt funcții trigonometrice înmulțite cu un polinom.

4) , – funcții trigonometrice inverse („arcuri”), „arcuri” înmulțite cu un polinom.

Unele fracții sunt, de asemenea, luate în părți; vom lua în considerare și exemplele corespunzătoare în detaliu.

Integrale ale logaritmilor

Exemplul 1

Clasic. Din când în când, această integrală poate fi găsită în tabele, dar nu este recomandabil să folosiți un răspuns gata făcut, deoarece profesorul are deficiență de vitamină de primăvară și va înjura din greu. Deoarece integrala luată în considerare nu este nicidecum tabelară - este luată în părți. Noi decidem:

Întrerupem soluția pentru explicații intermediare.

Folosim formula de integrare prin părți:

Formula se aplică de la stânga la dreapta

Ne uităm în partea stângă: . Evident, în exemplul nostru (și în toate celelalte pe care le vom lua în considerare), ceva trebuie desemnat ca , iar ceva ca .

În integralele de tipul luat în considerare, logaritmul este întotdeauna notat.

Din punct de vedere tehnic, proiectarea soluției este implementată după cum urmează; scriem în coloană:

Adică am notat logaritmul cu și prin - partea rămasă expresie integrand.

Etapa următoare: găsiți diferența:

Un diferențial este aproape același cu un derivat; am discutat deja cum să o găsim în lecțiile anterioare.

Acum găsim funcția. Pentru a găsi funcția trebuie să o integrați partea dreapta egalitate mai mică:

Acum deschidem soluția noastră și construim partea dreaptă a formulei: .
Apropo, iată o mostră a soluției finale cu câteva note:

Singurul punct al lucrării este că am schimbat imediat și , deoarece este obișnuit să scrieți factorul înainte de logaritm.

După cum puteți vedea, aplicarea formulei de integrare prin părți a redus soluția noastră la două integrale simple.

Vă rugăm să rețineți că în unele cazuri imediat dupa aplicarea formulei, o simplificare se efectuează în mod necesar sub integrala rămasă - în exemplul luat în considerare, am redus integrandul la „x”.

Sa verificam. Pentru a face acest lucru, trebuie să luați derivata răspunsului:

S-a obținut funcția integrand originală, ceea ce înseamnă că integrala a fost rezolvată corect.

În timpul testului, am folosit regula de diferențiere a produsului: . Și asta nu este o coincidență.

Formula de integrare pe părți si formula – acestea sunt două reguli reciproc inverse.

Exemplul 2

Aflați integrala nedefinită.

Integrandul este produsul dintre un logaritm și un polinom.
Să decidem.

Voi descrie din nou în detaliu procedura de aplicare a regulii; în viitor, exemplele vor fi prezentate mai pe scurt și, dacă întâmpinați dificultăți în a o rezolva singur, trebuie să reveniți la primele două exemple ale lecției .

După cum sa menționat deja, este necesar să se noteze logaritmul (faptul că este o putere nu contează). Notăm prin partea rămasă expresie integrand.

Scriem in coloana:

Mai întâi găsim diferența:

Aici folosim regula pentru diferențierea unei funcții complexe . Nu întâmplător, chiar la prima lecție a subiectului Integrală nedefinită. Exemple de soluții M-am concentrat pe faptul că, pentru a stăpâni integralele, este necesar să „puneți mâna pe” derivate. Va trebui să vă ocupați de derivate de mai multe ori.

Acum găsim funcția, pentru aceasta integrăm partea dreapta egalitate mai mică:

Pentru integrare am folosit cea mai simplă formulă tabelară

Acum totul este gata pentru aplicarea formulei . Deschideți cu un asterisc și „construiți” soluția în conformitate cu partea dreaptă:

Sub integrală avem din nou un polinom pentru logaritm! Prin urmare, soluția este din nou întreruptă și se aplică a doua oară regula integrării pe părți. Nu uitați că în situații similare logaritmul este întotdeauna notat.

Ar fi bine dacă până acum ați ști să găsiți pe cale orală cele mai simple integrale și derivate.

(1) Nu vă confundați cu semnele! Foarte des, minusul este pierdut aici, de asemenea, rețineți că minusul se referă la pentru toti paranteză , iar aceste paranteze trebuie extinse corect.

(2) Deschideți parantezele. Simplificam ultima integrala.

(3) Luăm ultima integrală.

(4) „Păptănând” răspunsul.

Necesitatea de a aplica regula integrării pe părți de două ori (sau chiar de trei ori) nu apare foarte rar.

Și acum câteva exemple pentru propria dvs. soluție:

Exemplul 3

Aflați integrala nedefinită.

Acest exemplu se rezolvă prin schimbarea variabilei (sau înlocuirea acesteia sub semnul diferenţial)! De ce nu - poți încerca să-l iei în părți, se va dovedi a fi un lucru amuzant.

Exemplul 4

Aflați integrala nedefinită.

Dar această integrală este integrată de părți (fracția promisă).

Acestea sunt exemple pe care le puteți rezolva singur, soluții și răspunsuri la sfârșitul lecției.

Se pare că în exemplele 3 și 4 integranții sunt similari, dar metodele de rezolvare sunt diferite! Aceasta este principala dificultate în stăpânirea integralelor - dacă alegeți metoda greșită de rezolvare a unei integrale, atunci puteți să o jucați ore întregi, ca la un puzzle adevărat. Prin urmare, cu cât rezolvați mai multe integrale, cu atât mai bine, cu atât testul și examenul vor fi mai ușor. În plus, în al doilea an vor exista ecuații diferențiale, iar fără experiență în rezolvarea integralelor și derivatelor nu este nimic de făcut acolo.

În ceea ce privește logaritmii, acest lucru este probabil mai mult decât suficient. Ca o parte, îmi pot aminti și că studenții la inginerie folosesc logaritmi pentru a numi sânii feminini =). Apropo, este util să cunoaștem pe de rost graficele principalelor funcții elementare: sinus, cosinus, arctangent, exponent, polinoame de gradul trei, al patrulea etc. Nu, desigur, un prezervativ pe glob
Nu o voi întinde, dar acum vă veți aminti multe din secțiune Diagrame și funcții =).

Integrale ale unei exponențiale înmulțite cu un polinom

Regula generala:

Exemplul 5

Aflați integrala nedefinită.

Folosind un algoritm familiar, integrăm pe părți:

Dacă aveți dificultăți cu integrala, atunci ar trebui să reveniți la articol Metoda modificării variabilei în integrală nedefinită.

Singurul lucru pe care îl puteți face este să modificați răspunsul:

Dar dacă tehnica ta de calcul nu este foarte bună, atunci cea mai profitabilă opțiune este să o lași ca răspuns sau chiar

Adică exemplul se consideră rezolvat atunci când se ia ultima integrală. Nu va fi o greșeală; este o altă problemă că profesorul vă poate cere să simplificați răspunsul.

Exemplul 6

Aflați integrala nedefinită.

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Această integrală este integrată de două ori pe părți. O atenție deosebită trebuie acordată semnelor - este ușor să vă confundați în ele, ne amintim, de asemenea, că aceasta este o funcție complexă.

Nu mai este nimic de spus despre expozant. Pot doar să adaug că exponențialul și logaritmul natural sunt funcții reciproc inverse, acesta sunt eu pe tema graficelor distractive ale matematicii superioare =) Oprește-te, oprește-te, nu-ți face griji, lectorul este treaz.

Integrale ale funcțiilor trigonometrice înmulțite cu un polinom

Regula generala: căci denotă întotdeauna un polinom

Exemplul 7

Aflați integrala nedefinită.

Să integrăm pe părți:

Hmmm...si nu e nimic de comentat.

Exemplul 8

Aflați integrala nedefinită

Acesta este un exemplu de rezolvat singur

Exemplul 9

Aflați integrala nedefinită

Un alt exemplu cu o fracție. Ca și în cele două exemple precedente, for denotă un polinom.

Să integrăm pe părți:

Dacă aveți dificultăți sau neînțelegeri în găsirea integralei, vă recomand să participați la lecție Integrale ale funcțiilor trigonometrice.

Exemplul 10

Aflați integrala nedefinită

Acesta este un exemplu de rezolvat singur.

Sugestie: Înainte de a utiliza metoda integrării prin părți, ar trebui să aplicați o formulă trigonometrică care transformă produsul a două funcții trigonometrice într-o singură funcție. Formula poate fi folosită și la aplicarea metodei de integrare pe părți, oricare este mai convenabil pentru dvs.

Asta este probabil tot în acest paragraf. Din anumite motive, mi-am amintit de o linie din imnul de fizică și matematică „Și graficul sinusoidal merge val după val de-a lungul axei absciselor”...

Integrale ale funcțiilor trigonometrice inverse.
Integrale ale funcțiilor trigonometrice inverse înmulțite cu un polinom

Regula generala: desemnează întotdeauna funcția trigonometrică inversă.

Permiteți-mi să vă reamintesc că funcțiile trigonometrice inverse includ arcsinus, arccosinus, arctangent și arccotangent. De dragul conciziei înregistrării, le voi numi „arcuri”

Sunt luate în considerare în detaliu exemple de soluții de integrale pe părți, al căror integrand conține logaritmul, arcsinus, arctangent, precum și logaritmul puterii întregi și logaritmul polinomului.

Vezi si: Metoda de integrare pe părți
Tabelul integralelor nedefinite
Metode de calcul a integralelor nedefinite
Funcții elementare de bază și proprietățile lor

Formula de integrare pe părți

Mai jos, la rezolvarea exemplelor, se folosește formula de integrare pe părți:
;
.

Exemple de integrale care conțin logaritmi și funcții trigonometrice inverse

Iată exemple de integrale care sunt integrate prin părți:
, , , , , , .

La integrare, acea parte a integrandului care conține logaritmul sau funcțiile trigonometrice inverse se notează cu u, restul cu dv.

Mai jos sunt exemple cu soluții detaliate ale acestor integrale.

Exemplu simplu cu logaritm

Să calculăm integrala care conține produsul unui polinom și un logaritm:

Aici integrandul conține un logaritm. Efectuarea de substituții
u = ln x, dv = x 2 dx . Apoi
,
.

Să integrăm pe părți.
.

.
Apoi
.
La sfârșitul calculelor, adăugați constanta C.

Exemplu de logaritm la puterea lui 2

Să luăm în considerare un exemplu în care integrandul include un logaritm la o putere întreagă. Astfel de integrale pot fi integrate și prin părți.

Efectuarea de substituții
u = (ln x) 2, dv = x dx . Apoi
,
.

De asemenea, calculăm integrala rămasă pe părți:
.
Să înlocuim
.

Un exemplu în care argumentul logaritmului este un polinom

Integralele pot fi calculate pe părți, al căror integrand include un logaritm al cărui argument este o funcție polinomială, rațională sau irațională. Ca exemplu, să calculăm o integrală cu un logaritm al cărui argument este un polinom.
.

Efectuarea de substituții
u = ln( x 2 - 1), dv = x dx .
Apoi
,
.

Calculăm integrala rămasă:
.
Nu scriem aici semnul modulului ln | x 2 - 1|, deoarece integrandul este definit la x 2 - 1 > 0 . Să înlocuim
.

Exemplu arcsin

Să luăm în considerare un exemplu de integrală al cărei integrand include arcsinusul.
.

Efectuarea de substituții
u = arcsin x,
.
Apoi
,
.

În continuare, observăm că integrandul este definit pentru |x|< 1 . Să extindem semnul modulului sub logaritm, ținând cont de faptul că 1 - x > 0Și 1 + x > 0.

Exemplu de arc tangentă

Să rezolvăm exemplul cu arctangent:
.

Să integrăm pe părți.
.
Să selectăm întreaga parte a fracției:
X 8 = x 8 + x 6 - x 6 - x 4 + x 4 + X 2 - x 2 - 1 + 1 = (x 2 + 1)(x 6 - x 4 + x 2 - 1) + 1;
.
Să integrăm:
.
În sfârșit avem.

Integrale ale logaritmilor

Integrare pe părți. Exemple de soluții

Soluţie.

De exemplu.

Calculați integrala:

Folosind proprietățile integralei (liniaritate), ᴛ.ᴇ. , o reducem la o integrală tabelară, obținem asta

Buna din nou. Astăzi, în lecție, vom învăța cum să integrăm pe părți. Metoda de integrare pe părți este una dintre pietrele de temelie ale calculului integral. În timpul testelor sau examenelor, studenților li se cere aproape întotdeauna să rezolve următoarele tipuri de integrale: integrala cea mai simplă (vezi articolulIntegrală nedefinită. Exemple de soluții ) sau o integrală prin înlocuirea unei variabile (vezi articolulMetoda modificării variabilei într-o integrală nedefinită ) sau integrala este doar activată metoda integrarii prin piese.

Ca întotdeauna, ar trebui să aveți la îndemână: Tabelul integralelorȘi Tabelul derivatelor. Dacă încă nu le aveți, vă rugăm să vizitați depozitul site-ului meu: Formule și tabele matematice. Nu mă voi sătura să repet - este mai bine să tipăriți totul. Voi încerca să prezint tot materialul în mod consecvent, simplu și clar; nu există dificultăți deosebite în integrarea părților.

Ce problemă rezolvă metoda integrării pe părți? Metoda de integrare pe părți rezolvă o problemă foarte importantă; vă permite să integrați unele funcții care nu sunt în tabel, muncă funcții și, în unele cazuri, chiar și coeficiente. După cum ne amintim, nu există o formulă convenabilă: . Dar există aceasta: - formula de integrare pe părți în persoană. Știu, știu, ești singurul - vom lucra cu ea pe tot parcursul lecției (acum este mai ușor).

Și imediat lista la studio. Integralele următoarelor tipuri sunt luate pe părți:

1) , – logaritm, logaritm înmulțit cu un polinom.

2) , este o funcție exponențială înmulțită cu un polinom. Aceasta include și integrale precum - o funcție exponențială înmulțită cu un polinom, dar în practică aceasta este 97 la sută, sub integrală există o literă frumoasă ʼʼеʼʼ. ... articolul se dovedește oarecum liric, ah da... a venit primăvara.

3) , – funcții trigonometrice înmulțite cu un polinom.

4) - funcții trigonometrice inverse („arcuri”), „arcuri”, înmulțite cu vreun polinom.

Unele fracții sunt, de asemenea, luate în părți; vom lua în considerare și exemplele corespunzătoare în detaliu.

Exemplul 1

Aflați integrala nedefinită.

Clasic. Din când în când, această integrală poate fi găsită în tabele, dar nu este recomandabil să folosiți un răspuns gata făcut, deoarece profesorul are deficiență de vitamină de primăvară și va înjura din greu. Deoarece integrala luată în considerare nu este nicidecum tabelară - este luată în părți. Noi decidem:

Întrerupem soluția pentru explicații intermediare.

Folosim formula de integrare prin părți:

Integrale de logaritmi - concept și tipuri. Clasificarea și caracteristicile categoriei „Integrale ale logaritmilor” 2017, 2018.