Достаточно часто экономические показатели, представленные в виде временного ряда, имеют сложную структуру. Моделирование таких рядов путем построения модели тренда, сезонности и периодической составляющей не приводит к удовлетворительным результатам. Ряд остатков часто имеет статистические закономерности. Наиболее распространенными моделями стационарных рядов являются модели авторегрессии и модели скользящего среднего.

Будем рассматривать класс стационарных временных рядов. Задача состоит в построении модели остатков временного ряда u t и прогнозирования его значений.

Авторегрессионная модель предназначена для описания стационарных временных рядов. Стационарный процесс удовлетворяет уравнению авторегрессии бесконечного порядка с достаточно быстро убывающими коэффициентами. В частности поэтому авторегрессионная модель достаточно высокого порядка может хорошо аппроксимировать почти любой стационарный процесс. В связи с этим модель авторегрессии часто применяется для моделирования остатков в той или иной параметрической модели, например регрессионной модели или модели тренда.

Марковскими называются процессы, в которых состояние объекта в каждый следующий момент времени определяется только состоянием в настоящий момент и не зависит от того, каким путем объект достиг этого состояния. В терминах корреляционного анализа для временных рядов марковский процесс можно описать следующим образом: существует статистически значимая корреляционная связь исходного ряда с рядом, сдвинутым на один временной интервал, и отсутствует с рядами, сдвинутыми на два, три и т. д. временных интервала. В идеальном случае эти коэффициенты корреляции равны нулю.

u (t )=m u (t -1)+e (t ) , (5.1)

где m - числовой коэффициент |m |<1, e (t ) – последовательность случайных величин, образующих «белый шум» (E(e (t ))=0, E(e (t )e (t +t))=).

Модель (5.1) называется также марковским процессом.

E (u (t ))º0. (5.2)

r (u (t )u (t ±t ))=m t . (5.3)

D u (t )=s 2 /(1-m 2). (5.4)

cov(u (t )u (t ±t))=m t D u (t ). (5.5)

Из (5.3) следует, что при |m | близком к единице дисперсия u (t ) будет намного больше дисперсии e t . Это значит (учитывая (5.2) m =r (u (t )u (t ±1))=r (1), т.е. параметр m может быть интерпретирован как значение автокорреляции первого порядка), что в случае сильной корреляции соседних значений ряда u (t ) ряд слабых возмущений e t будет порождать размашистые колебания остатков u (t ).

Условие стационарности ряда (5.1) определяется требованием |m |<1.

Автокорреляционная функция (АКФ) r (t ) марковского процесса определяется соотношением (5.3).

Частная автокорреляционная функция

r част (t )=r (u (t )u (t +t )) | u (t+ 1)=u (t+ 2)=…=u (t+t -1)=0

может быть вычислена по формуле: r част (2)=(r (2)-r 2 (1))/(1-r 2 (1)). Для второго и выше порядков (см. , с. 413, 414) должно быть r част (t )=0 "t =2,3,… . Это удобно использовать для подбора модели (5.1): если вычисленные по оцененным невязкам u (t )=y t -выборочные частные корреляции статистически незначимо отличаются от нуля при t =2,3,…, то использование модели AR (1) для описания случайных остатков не противоречит исходным данным.

Идентификация модели. Требуется статистически оценить параметры m и s 2 модели (5.1) по имеющимся значениям исходного ряда y t .

Важное значение в анализе и прогнозировании на основе временных рядов имеют стационарные временные ряды, вероятностные свойства которых не изменяются во времени. Временной ряду { = (1,2,..., п) называется строго стационарным, если совместное распределение вероятностей п наблюдений у { ,у 2 , ???,у п такое же, как у« наблюдений у 1+т, у 2+т, ???,У п+Т (при любых«, /их). Свойства строго стационарных рядов не зависят от момента времени Итак, для стационарного случайного процесса характерна неизменность во времени его основных вероятностных характеристик, таких, как математическое ожидание и дисперсия.

Под стационарными рядами понимаются однородные во времени случайные процессы, характеристики которых не меняются с течением времени /. Характеристики этих процессов и определяют особенности процессов и являются предметом исследования. Если эти характеристики (математическое ожидание, дисперсия и пр.) удалось с заданной степенью точности найти, то задача прогноза таких стационарных процессов становится чрезвычайно простой. В то же время стационарные процессы могут иметь самый различный характер динамики - изменение одной части из них не имеет ярко выраженных тенденций во времени, динамика другой части имеет явно выраженную тенденцию изменения во времени, которая может носить и очень сложный нелинейный характер. Таким образом, стационарная группа типов динамики временного ряда может быть, в свою очередь, разделена на две подгруппы: 1) простые стационарные; 2) сложные стационарные. Для первой группы факторов, простого стационарного типа, выполняется условие неизменности во времени их математического ожидания и других характеристик случайных процессов. Если же математическое ожидание и иные характеристики вероятностного процесса претерпевают изменение во времени, то такие ряды являются сложными стационарными.

Модели стационарных и нестационарных временных рядов

Простые стационарные процессы применительно к социально-экономическим объектам анализируются и прогнозируются с помощью простейших методов математической статистики (точечный и интервальный прогнозы динамики временного ряда). Чаще всего можно утверждать наличие закона нормального распределения, и поэтому основные усилия должны быть направлены на доказательство этого положения с помощью соответствующих статистических гипотез и методов их проверки, а после этого - на вычисление характеристик процесса. Если удалось подтвердить гипотезу о нормальном характере распределения изучаемого ряда, то лучшей оценкой его математического ожидания выступает средняя арифметическая, а лучшей оценкой дисперсии - выборочная дисперсия. Причем здесь уместен основной принцип выборочного метода - чем больше наблюдений, тем лучше оценки модели.

Сложные стационарные процессы свидетельствуют о наличии множества факторов, воздействующих на объект, показатели которого меняются во времени. Поэтому задачей прогнозиста является выявление главных из этих факторов и построение модели, описывающей влияние главных факторов на объект прогнозирования. Если этих факторов много, и выделить главные по каким-то соображениям невозможно, считают, что время выступает таким обобщающим фактором, и находят модель зависимости между прогнозным показателем и временем. Как правило, в этих случаях исследователю неизвестно большинство основных характеристик случайного динамического стационарного процесса. Он должен по данным наблюдений за процессом найти эти характеристики. Здесь исследователь вынужден прибегать к некоторым априорным предположениям - допускать наличие того или иного закона распределения вероятностей, свойств процесса и его взаимосвязей, характера динамики и т.п. В данном случае наиболее эффективно может использоваться тот раздел экономической науки, который получил название эконометрики.

Так как статистические свойства сложных стационарных рядов не

изменяются со временем, то эти их свойства можно накопить и выявить с помощью вычисления некоторых функций отданных. Функция, которую впервые использовали для этой цели, является автокорреляционной функцией (АКФ). Степень тесноты связи между последовательностями наблюдений временногорядау р у 2 , -,у иу 1+т, у 2+х, ’ Уп+х обычно определяют с помощью выборочного коэффициента корреляции г(т). Его формула приведена ниже:

/7-Т ( /7-Т Л ^

(л-т)2>, 2 - 5>,

Хп-"шАЪ.

• (6.5)

где т - число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции (лаг).

Этот коэффициент оценивает корреляцию между уровнями одного и того же ряда, поэтому иногда его называют коэффициентом автокорреляции. Формулу расчета коэффициента автокорреляции 1-го порядка (при т = 1) можно представить следующим образом:

• (6.6)

• 1=2 1=2

Коэффициент автокорреляции 2-го порядка определяется по формуле

• (6.8)
• - 2

• 1л 5> н
• (6.9)

С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Считается целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило - максимальный лаг должен быть не больше п/6. Функция г(т) называется выборочной автокорреляционной функцией, а ее график - коррелограм-мой. Вид выборочной автокорреляционной функции тесно связан со

; у, = " 3

структурой ряда.

• 1. Автокорреляционная функция г(т) для «белого шума» при т > О также образует стационарный временной ряд со средним значением нуль.
• 2. Для стационарного ряда АКФ быстро убывает с ростом т. При наличии отчетливого тренда автокорреляционная функция приобретает характерный вид очень медленно спадающей кривой.
• 3. В случае выраженной сезонности в графике АКФ также присутствуют «выбросы» для запаздываний, кратных периоду сезонности, но эти «выбросы» могут быть завуалированы наличием тренда или большой дисперсией случайной компоненты.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка т, то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в т моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположении относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит ярко выраженную нелинейную тенденцию, для выявления которой необходимо провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде трендовой компоненты и циклической (сезонной) компоненты. Таким образом, при изучении сложных стационарных временных рядов основной задачей является выявление и устранение автокорреляции.

Нестационарные процессы в противоположность стационарным отличаются тем, что они меняют во времени все свои характеристики. Причем это изменение может быть столь существенным, что динамика одного показателя будет отражать развитие совершенно разных процессов. Все взаимосвязи и взаимозависимости объекта прогнозирования меняются во времени. Более того, меняется во времени и структура и направление взаимодействия элементов, составляющих объект прогнозирования. В зависимости от того, насколько меняются во времени приращения АУ(Т), нестационарные процессы также могут быть выделены в две подгруппы: 1) эволюционные процессы; 2) хаотические процессы.

Если приращения АУ(Т) постепенно увеличиваются с течением времени в результате количественных и качественных изменений, происходящих в системе, отражением которой реализацией является нестационарный ряд, то эти процессы могут быть названы эволюционными. При этом отношение Д К(7)/Т(? + 7), характеризующее нарастание неопределенности, имеет увеличивающуюся со временем Т динамику - от нуля до бесконечности. В случае, когда приращения АУ(Т) не имеют какой-либо достаточно выраженной тенденции во времени и их изменения хаотичны (например, при первом же наблюдении АУ(Т) может быть достаточно велико в сравнении с самим показателем У(Т)), то такие процессы могут быть отнесены к хаотическим. Хаотический характер динамики возникает в тех случаях, когда или сам процесс неинерционен и динамика его развития легко меняется под воздействием внешних или внутренних факторов, или же когда на инерционный процесс воздействуют внешние факторы такой силы, что под их воздействием «ломаются» и внутренняя структура процесса, и его взаимосвязи, и его динамика. Иначе говоря, эволюционная динамика характеризует процесс адаптации объекта к внешним и внутренним воздействиям, а хаотическая динамика - отсутствие способности объекта к адаптации.

Сложный характер нестационарной динамики предопределяет и сложность аппарата моделирования и прогнозирования этой динамики. Прогнозирование эволюционных составляющих экономической конъюнктуры до последнего времени не попадало в поле зрения специалистов по социально-экономическому прогнозированию - только в последние годы в учебники по прогнозированию стали включаться соответствующие разделы. На практике эволюционные процессы просто не выделяли в отдельную группу и для их анализа и прогнозирования использовали приемы классической эконометрики, не задумываясь над корректностью такого применения. Именно использование аппарата прогнозирования, методологически несовместимого со свойствами объекта прогнозирования, и приводит к серьезным ошибкам при выборе инструментария и существенной дисперсии прогноза в практике прогнозирования социально-экономической динамики. Для прогнозирования временных рядов социально-экономических показателей эволюционного типа методологически обоснованным является применение адаптивных методов прогнозирования. Вопросы прогнозирования хаотических рядов социально-экономической динамики в настоящее время решаются с использованием теории хаоса и теории катастроф.

Далее рассмотрим методы прогнозирования часто наблюдаемых в практике социально-экономических исследований сложных стационарных и эволюционных нестационарных динамических процессов. Для рядов выше упомянутых типов английскими статистиками Д. Боксом и В. Дженкинсом в середине 1990-х гг. разработан алгоритм прогнозирования. В иерархию алгоритмов Бокса - Дженкинса входит несколько алгоритмов, самым известным и используемым из них является алгоритм АЯ1МА. Он встроен практически в любой специализированный пакет для прогнозирования. В классическом варианте ЛЯ1МА не используются независимые переменные. Модели опираются только на информацию, содержащуюся в предыстории прогнозируемых рядов, что ограничивает возможности алгоритма. В настоящее время в научной литературе часто упоминаются варианты моделей АЯ1МА, позволяющие учитывать независимые переменные.

Модели АЯ1МА опираются в основном на автокорреляционную структуру данных. В методологии АЯ1МА не предусматривается какой-либо четкой модели для прогнозирования данного временного ряда. Задается лишь общий класс моделей, которые описывают временной ряд и позволяют как-то выражать текущее значение переменной через ее предыдущие значения. Потом алгоритм АЯ1МА, задавая параметры моделей, сам избирает наиболее приемлемую модель прогнозирования. Существует целая иерархия моделей Бокса - Дженкинса. Логично ее можно определить так:

АЯ(р) + МА(д) -> АЯМА(р, д) АЯМА(р, д)(Р , 0 ->

-? АЯ1МА(р, д, г)(Р, 0 Я) ... (6.10)

где АЯ(р) - авторегрессионная модель порядка р МА(д) - модель скользящей средней порядка д ; АЯМА(р, д) - комбинированная модель авторегрессии и скользящей средней; АЯМА(р , д) (Р, О) - модель экспоненциального сглаживания; АЯ1МА{р , д, г) (Р, 0 Я) - моделирование нестационарного эволюционного процесса с линейным трендом.

Первые три модели аппроксимируют динамику сложных стационарных временных рядов, последующие две - динамику эволюционных нестационарных временных рядов. Модель считается приемлемой, если остатки (в основном малые) распределены случайно и не содержат полезной информации. Если заданная модель неудовлетворительна, процесс повторяется, но уже с использованием новой улучшенной модели. Подобная итерационная процедура повторяется до тех пор, пока не будет найдена удовлетворительная модель. Из этого момента заданная модель может использоваться для целей прогнозирования.

В модели АШМА уровень динамического ряда у определяется как взвешенная сумма предыдущих его значений и значений остатков е г - текущих и предыдущих. Она объединяет модель авторегрессии порядкар и модель скользящей средней порядка ц. Тренд включается в ЛШМА с помощью оператора конечных разностей ряда у г Для фильтрации линейного тренда используют разницы 1-го порядка, для фильтрации параболического тренда - разницы 2-го порядка и т.д. Разница й должна быть стационарной. Вид модели АШМА, адекватность ее реальному процессу и прогнозные свойства зависят от порядка авторегрессии р и порядка скользящей средней

Ключевым моментом моделирования считается процедура идентификации - обоснования вида модели. В стандартной методике АШМА идентификация сводится к визуальному анализу авто-коррелограмм и основывается на принципе экономии, по которому {р + АШМА порядка (р , (1 , (Ря, А?, 05). Таким образом, идентификацией временного ряда называется построение для ряда остатков адекватной модели, в которой остатки представляют собой «белый шум», а все регрессоры значимы.

Рассмотрим некоторые модели АШМА подробнее. Авторегрессионная модель порядка р имеет вид

У, = Ро + Р1 У ,-1 + Р 2 Т/- 2 + + Р Р У,- Р + е, {* = I 2, ..., п), (6.11)

где Р 0 , р., ..., р - некоторые константы; г (- уровень «белого шума», который может быть опущен.

Если исследуемый процесс у в момент Г определяется его значениями только в предыдущий период 7-1, то получаем авторегрессионную модель первого порядка

У, =Р 0 +Р1Л-1 + е, (7 = 1,2,...,«), (6.12)

В моделях скользящей средней моделируемая величина задается линейной функцией от возмущений (остатков) в предыдущие моменты времени. Модель скользящей средней порядка д имеет вид

У,= е 1 -У 1 е,-1-У 2 е,- 2 - - -У,е,-, (7 = 1,2,...,«), (6.13)

где у р у., ..., у - некоторые константы; е - ошибки.

Нередко используется комбинированная модель авторегрессии и скользящей средней, которая имеет вид

У, = Ро + Р.Л-, + РзЯ-2+- + РрУ"-р +?1 - У&-1 - У 2^-2 -???- У&-Я (6.14)

Параметры р и

• 1) один параметр (р), если автокорреляционная функция (АКФ) экспоненциально убывает;
• 2) два параметра авторегрессии (р), если АКФ имеет форму синусоиды или экспоненциально убывает;
• 3) один параметр скользящего среднего (
• 4) два параметра скользящего среднего (д), если АКФ имеет резко выделяющиеся значения на лагах 1 и 2 и нет корреляции на других лагах.

Адаптивное прогнозирование

При изучении нестационарных эволюционных временных рядов применяется адаптивное прогнозирование. Адаптивные методы прогнозирования - это совокупность моделей дисконтирования данных, способные приспосабливать свою структуру и параметры к изменению условий. При оценке параметров адаптивных моделей наблюдениям (уровням ряда) присваиваются различные веса в зависимости от того, насколько сильным признается их влияние на текущий уровень. Это позволяет учитывать изменения в тенденции, а также любые колебания, в которых прослеживается закономерность. Адаптивные методы прогнозирования представляют собой подбор и адаптацию моделей прогнозирования на основании вновь поступившей информации. К самым распространенным из них относится метод экспоненциального сглаживания и метод гармонических весов Хель-вига.

Метод экспоненциального сглаживания. Особенность его состоит в том, что в процедуре выравнивания каждого наблюдения используются только значения предыдущих уровней ряда динамики, взятых с определенным весом. Вес каждого наблюдения уменьшается по мере его удаления от момента, для которого определяется сглаженное значение. Сглаженное значение уровня ряда 5 на момент / определяется по формуле

5, = ау, + (1-а)5,_ 1 , (6.15)

где 5 - значение экспоненциальной средней в момент /; 5 / _ 1 - значение экспоненциальной средней в момент (/- 1); ? - значение экономического процесса в момент времени /; а - вес /-го значения ряда динамики (или параметр сглаживания, значения которого изменяются от нуля до единицы).

Последовательное применение формулы (6.15) позволяет вычислить экспоненциальную среднюю через значения всех уровней данного ряда динамики. Кроме того, на основе формулы (6.15) определяются экспоненциальные средние 1-го порядка, т.е. средние полученные непосредственно при сглаживании исходных данных ряда динамики. В тех случаях, когда тенденция после сглаживания исходного ряда определена недостаточно ясно, процедуру сглаживания повторяют, т.е. вычисляют экспоненциальные средние второго, третьего порядка и т.д., пользуясь выражениями (6.16-6.18):

где 5^ - экспоненциальная средняя к-то порядка в точке I (к = 1,

2, 3,..., п ).

Для линейной модели у = а 0 + а и начальные условия следующие:

? - а - а 2 (1 ~ а) а ^О(у) “О “р (у) “О а "

Экспоненциальные средние первого и второго порядка для этой модели:

5,1" = ау, + (1 ?- а)5™5,1" = а5|" + (1 - а)5Й

Прогноз осуществляется по формуле у * = я 0 + я,/. Причем параметры а 0 и а { соответственно равны

• (6.19)
• (6.20)

Ошибка прогноза определяется по формуле

)/{Г-а)[* -4(1 -а) + 5(1 - а) 2 + 2а(4-3а)

/ + 2 а ч

где ъу - средняя квадратическая ошибка отклонения от линейного тренда.

Метод гармонических весов. Этот метод был разработан польским статистиком 3. Хельвигом. Он близок к методу простого экспоненциального сглаживания, использует тот же принцип. В его основе лежит взвешивание скользящего показателя, но вместо скользящей средней используется идея скользящего тренда. Экстраполяция про-

водится по скользящему тренду, отдельные точки ломаной линии взвешиваются с помощью гармонических весов, что позволяет более поздним наблюдениям придавать больший вес. Метод гармонических весов базируется на следующих предпосылках:

• период времени, за который изучается экономический процесс, должен быть достаточно длительным, чтобы можно было определить его закономерности;
• исходный ряд динамики не должен иметь скачкообразных изме-

• социально-экономическое явление должно обладать инерционностью, т.е. для наступления существенного изменения в характеристиках процесса необходимо, чтобы прошло значительное время;
• отклонения от скользящего тренда имеют случайный характер;
• автокорреляционная функция, рассчитанная на основе последовательных разностей, должна уменьшаться с ростом /, т.е. влияние более поздней информации должно сильнее отражаться на прогнозируемой величине, чем на исходной информации.

Для получения точного прогноза методом гармонических весов необходимо выполнение всех вышеуказанных предпосылок для исходного ряда динамики. Для использования данного метода исходный ряд разбивается на фазы к. Число фаз должно быть меньше числа членов ряда п , т.е. к Обычно фаза равна трем-пяти уровням. Для каждой фазы рассчитывается линейный тренд, т.е.

У т = а, + V 0" = 1, 2,п - к + 1).

При этом для /, равного единице, Г = 1, 2,..., к; для /, равного двум, Г = 2, 3,..., к + 1; для /, равного п - к + 1, г = я - к + ,п - к +2 ,..., п. Для оценки параметров а. { и Ь ш используется метод наименьших квадратов. С помощью полученных (п - к + 1) уравнений определяются значения скользящего тренда. С этой целью выделяются те значения у (цу для которых Г = /, их обозначают у.^. Пусть их будет Пу Затем находится среднее значение у т по формуле

После этого необходимо проверить гипотезу о том, что отклонения от скользящего тренда представляют собой стационарный процесс. С этой целью рассчитывается автокорреляционная функция. Если значения автокорреляционной функции уменьшаются от периода к периоду, то пятая предпосылка данного метода выполняется. Далее рассчитываются приросты по формуле

Средняя приростов вычисляется по формуле

где С" +| - гармонические коэффициенты, удовлетворяющие условиям С” +1 > 0 (/ = 1,2,п - 1) и ^С," (= 1.

Выражение (6.25) позволяет более поздней информации придавать большие веса, так как приросты обратно пропорциональны времени, которое отделяет исходную информацию от более поздней для момента Г = п. Если исходная информация имеет вес т 2 = /[п - 1), то

вес информации, относящейся к следующему моменту времени, равен

т,=т 2 - 1--- = --I---. (6.26)

3 2 п-2 п- 1 /7-2

В общем виде ряд гармонических весов определяют как

= т, л --

• (/ = 2, 3, , п 1),
• (6.27)

^ т, +1 =/7 -1. (6.29)

Чтобы получить гармонические коэффициенты С,", удовлетворяющие двум вышеуказанным условиям, гармонические веса т 1 +1 необходимо разделить на (п - 1), т.е.

У, = У/ + Ю (6.31)

при начальном условии У* = Уд,у Данный метод прогнозирования применяется, когда есть уверенность, что тенденция в будущем описывается плавной кривой, т.е. в ряду отсутствуют сезонные и циклические колебания. Таким образом, перед предвидением развития изучаемого объекта необходимо сделать вывод о стационарности или нестационарности временного ряда. Данное положение можно проверить с помощью теста Дики - Фуллера. Базовый порождающий данный процесс, который используется в тесте,- авторегрессионный процесс первого порядка:

у (= т 0 + т { / + г- у (_ { + е /? (6.32)

где т 0 , т { иг - постоянные коэффициенты, которые могут быть найдены с помощью МНК; ? - случайная ошибка, которая в расчет может не приниматься.

Если выполняется условие 0 г 1, то ряд является стационарным. При г 0 и г> 1, то изучаемый временной ряд не является стационарным.

Характеристики временных рядов. Для более подробного изучения временных рядов используются вероятностно-статистические модели. При этом временной ряд X(t) рассматривается как случайный процесс (с дискретным временем) основными характеристиками являются математическое ожидание X(t), т.е.

дисперсия X(t), т.е.

и автокорреляционная функция временного ряда X(t)

т.е. функция двух переменных, равная коэффициенту корреляции между двумя значениями временного ряда X(t) и X(s).

В теоретических и прикладных исследованиях рассматривают широкий спектр моделей временных рядов. Выделим сначала стационарные модели. В них совместные функции распределения для любого числа моментов времени k, а потому и все перечисленные выше характеристики временного ряда не меняются со временем. В частности, математическое ожидание и дисперсия являются постоянными величинами, автокорреляционная функция зависит только от разности t-s. Временные ряды, не являющиеся стационарными, называются нестационарными.

Под временным рядом понимают упорядоченную во времени последовательность значений одной или конечного множества случайных величин. В первом случае говорят об одномерном временном ряде, во втором - о многомерном временном ряде. Здесь будут рассматриваться только одномерные временные ряды. Одномерный временной ряд называется стационарным, если его вероятностные характеристики постоянны. Временной ряд называется нестационарным, если хотя бы одна из вероятностных характеристик непостоянна. Последовательность случайных величин у 1 , у 2 , . . . или у -1 , у 0 , у 1 , . . называется случайным процессом с дискретным параметром времени.

Поскольку важна последовательность во времени появления следующего значения временного ряда, а не конкретное значение времени появления, то во временных рядах в качестве аргумента используют номер отсчета значения временного ряда. Например:

x(1), x(2), ... ,x(k), ...

где x(k) - значение временного ряда в k-том по порядку наблюдении; k - номер наблюдения.

В большинстве практических приложений рассматривают стационарные и нестационарные по математическому ожиданию временные ряды с нормальным законом распределения значений ряда. Это означает, что:

стационарный ряд: x(k) є (µ, у 2) , µ = const, у 2 = const;

нестационарный ряд: x(k) є (µ, у 2) , µ = var, у 2 = const.

Ниже приведена реализация стационарного временного ряда:

Прогнозируемость временного ряда.

Для прогнозирования временного ряда необходимо построить его модель. Прогнозируемость ряда возможна лишь тогда, когда существует вероятностная (аналитическая) связь последующих значений ряда от предыдущих. Прогнозируемость стационарного временного ряда определяется с помощью автокорреляционной функции (АКФ):

с(m) = M[(x(k) - µ)*(x(k + m) - µ)]/у 2

где: с(m) - значение автокорреляционной функции на сдвиге m временного ряда x(k)

Оценки АКФ ряда имеют вид:

Очевидно, что с(0) = 1, поскольку это корреляция временного ряда на самого себя.

Стационарный временной ряд прогнозируем, если m>0 существует с(m) ? 0.

Стационарный временной ряд непрогнозируем, если для любого m>0 с(m) = 0. Такой ряд называют "белым шумом".

Поскольку, АКФ это значения коэффициентов корреляции, то она является функцией неслучайных значений.

Оценивание АКФ осуществляется по реализации временного ряда. Если реализация содержит n значений, то оценка автокорреляционной функции имеет вид:

где: r(m) - оценка АКФ; x - среднее значение реализации временного ряда; S 2 - оценка дисперсии реализации временного ряда.

При проверке прогнозируемости временного ряда длина реализации должна быть не менее 20 - 30 наблюдений.

Следует обратить внимание, что прогнозирование временных рядов рассмотренным методом предполагает выполнение двух условий:

• 1. Случайная величина е(k) "белого шума", как составляющая моделей, должна подчиняться нормальному закону распределению с нулевым математическим ожиданием и конечной дисперсией у е 2 .
• 2. Дисперсия "белого шума" у е 2 должна быть величиной постоянной.

Формула вычисления прогноза имеет вид:

x(k) = 27,2661 - 0,900766*

где x(k) - прогноз по модели k-го значения временного ряда.

Идентификация модели стационарного временного ряда

Идентификация модели. Для прогнозирования будущих показателей на основе имеющихся временных рядов необходимо идентифицировать модель, которая наилучшим образом описывает процесс порождения выборочного временного ряда. Для идентификации такой модели можно воспользоваться расчетной автокорреляционной функцией. Из множества моделей для описания динамики временных рядов чаще всего используются три: модель белого шума, авторегрессионная модель первого порядка и авторегрессионная модель второго порядка. Если расчетная автокорреляционная функция представляет собой совокупность незначимых автокорреляций, это явное указание на то, что изменчивость данного времени n-ого ряда лучше всего охарактеризовать как "белый шум", или случайные флуктуации.

Основная идея, лежащая в основе идентификации модели временного ряда, остается одной и той же и для простых, и для сложных моделей: соответствие структуры наблюдаемых данных известной структуре, связываемой с определенным классом моделей. После того как модель предварительно идентифицирована, производится оценка ее параметров.

Диагностическая проверка. Так как в основе идентификации модели временного ряда лежит до некоторой степени субъективная процедура, иногда рекомендуется оценить адекватность идентифицированной модели путем проверки значимости автокорреляционной функции остатков данной модели. Это целесообразно, поскольку остатки модели временного ряда не являются автокоррелированными.

Однако автокорреляционная функция стационарного временного ряда не позволяет однозначно идентифицировать модель ряда. Это возможно с использованием второй дополнительной функции - частной автокорреляционной функции (ЧАКФ). Значения ЧАКФ - это значение m-го коэффициента в представлении временного ряда процессом авторегрессии порядка m. Пусть имеется стационарный временной ряд x(k). Рассмотрим следующие представления временного ряда через процесс авторегрессии:

x(k) - м = a 11 *

x(k) - м = a 12 * + a 22 *

x(k) - м = a 13 * + a 23 * + a 33 *

... ... ... ... ... ... ... ... ...

x(k) - м = a 1 * + a 2 * + a 33 * + ... + a mm *

Значениями ЧАКФ для сдвигов 1, 2, 3, ..., m являются значения коэффициентов: a 11 , a 22 , a 33 , ..., a mm . График ЧАКФ может иметь вид:

После оценивания ЧАКФ необходимо для каждого m проверить гипотезу о равенстве нулю соответствующего коэффициента частной автокорреляции. В программах статистической обработки данных для каждого из коэффициентов вычисляются критические значения, которые на графике оценки ЧАКФ приобретают вид контрольных границ.

При идентификации модели как правило пользуются следующими правилами:

• 1. Если h первых значений АКФ отличны от нуля, а ЧАКФ по модулю асимптотически стремится к нулю, то имеет место процесс АРСС(0,h) - скользящего среднего порядка h.
• 2. Если h первых значений ЧАКФ отличны от нуля, а АКФ по модулю асимптотически стремится к нулю, то имеет место процесс АРСС(h,0) - авторегрессии порядка h.
• 3. Если значения АКФ и ЧАКФ по модулю асимптотически стремятся к нулю, то имеет место смешанный процесс АРСС(p,q).

Стохастический временной ряд называется стационарным, если его математическое ожидание, дисперсия, автоковариация и автокорреляция будут неизменными во времени.

К основным линейным моделям стационарных временных рядов ᴏᴛʜᴏϲᴙтся:

1. модели авторегрессии;
2. модели скользящего среднего;
3. модели авторегрессии скользящего среднего.

Уровень временного ряда, представленного моделью авторегрессии порядка р , можно представить следующим образом:

y t =δ 1 y t-1 +δ 2 y t-2 +…+δ p y t–p +ν t ,

ν t – белый шум (случайная величина с нулевым математическим ожиданием)

На практике чаще всего могут быть использованы модели авторегрессии первого, второго, максимум третьего порядков.

Модель авторегрессии первого порядка АР(1) называется “Марковским процессом”, потому что значения переменной y в текущий момент времени t зависят только от значений переменной y в предыдущий момент времени (t–1) Данная модель имеет вид:

y t =δy t–1 +ν t .

Для модели АР(1) действует ограничение |δ|<1 .

y t =δ 1 y t-1 +δ 2 y t-2 +ν t .

1. (δ 1 +δ 2)<1;
2. (δ 1 –δ 2)<1;
3. |δ 2 |<1 .

Модели скользящего среднего ᴏᴛʜᴏϲᴙтся к простому классу моделей временных рядов с конечным числом параметров, кᴏᴛᴏᴩые можно получить, представив уровень временного ряда как алгебраическую сумму членов ряда белого шума с числом слагаемых q .

Общая модель скользящего среднего порядка q имеет вид:

y t =ν t –φ 1 ν t–1 –φ2ν t–2 –…–φqν t –q,

где q – порядок модели скользящего среднего;

φ t – неизвестные коэффициенты модели, подлежащие оцениванию;

ν t – белый шум.

Модель скользящего среднего порядка q обозначается как CC(q) или MA(q)

На практике чаще всего могут быть использованы модели скользящего среднего первого CC(1) и второго порядков CC(2)

Коэффициенты модели скользящего среднего порядка q не обязательно должны в сумме давать единицу и не обязательно должны быть положительными.

Для достижения большей гибкости модели временных рядов при эконометрическом моделировании в неё включают как члены авторегрессии, так и члены скользящего среднего. Подобные модели получили название смешанных моделей авторегрессии скользящего среднего и также ᴏᴛʜᴏϲᴙтся к линейным моделям стационарных временных рядов.

Чаще всего на практике используется смешанная модель АРСС(1) с одним параметром авторегрессии p=1 и одним параметром скользящего среднего q=1 . Данная модель имеет вид:

y t =δy t–1 +ν t –φν t–1 ,

φ – параметр процесса скользящего среднего;

ν t – белый шум.

На коэффициенты данной модели накладываются следующие ограничения:

1. |δ|<1 – условие, обеспечивающее стационарность смешанной модели;
2. | φ|‹1 – условие, обеспечивающее обратимость смешанной модели.

Свойство обратимости смешанной модели АРСС(p,q) означает, что модель скользящего среднего можно обратить или переписать в виде модели авторегрессии неограниченного порядка, и наоборот.

Алгоритм построения модели временного ряда на примере аддитивной и мультипликативной моделей

Алгоритм построения модели временного ряда, включающего циклические колебания, состоит из основных этапов, содержание которых несколько отличается для аддитивной и мультипликативной моделей.

Упростим модель, введя одно обозначение для циклической составляющей ряда, независимо от длительности цикла, или от ее сезонной или конъюнктурной природы. Обозначим ее s t . Тогда аддитивная модель примет вид y t = u t + s t + e t , а мультипликативная - y t = u t * s t * e t .

Итак, основные этапы построения модели:

1) Сглаживание исходного ряда на основе средних, которые рассчитываются за промежуток времени, соответствующий длительности цикла.

2) Определение значений циклической или сезонной компоненты (более подробно см. Елисеева И.И., Курышева С.В., Костеева Т.В. и др. Эконометрика: Учебник. – М.: Финансы и статистика, 2001. – С. 242-251). Для аддитивной модели сумма значений этой компоненты за все периоды одного цикла должна равняться нулю, а в мультипликативной модели – числу периодов в цикле. За счет этого обеспечивается взаимопогашаемость циклической компоненты.

3) Устранение из модели циклических компонент. В аддитивной модели оно осуществляется путем вычитания, после чего модель примет вид y t = u t + e t . В мультипликативной модели оно осуществляется путем деления, после чего модель примет вид y t = u t * e t .

4) Аналитическое выравнивание полученного ряда y t = u t + e t или y t = u t * e t на основе построения уравнения тренда y t = f(t).

5) К полученным уровням ряда прибавляют циклическую компоненту (в случае аддитивной модели) или умножают их на нее (в случае мультипликативной модели): y t = f(t) + s t или y t = f(t) * s t .

6) Сравнение расчетных значений уровней ряда, полученных с помощью построенной модели, с фактическими значениями. Оценка полученной модели, расчет ошибок.

Временные ряды имеют стохастическую природу и, соответственно, для них могут быть рассчитаны различные вероятностные характеристики.

Стационарный временной ряд – это временной ряд, для которого все вероятностные характеристики постоянны.

Это означает, что какой бы фрагмент временного ряда мы не взяли, вероятностные характеристики значений показателя будут такими же, как и для любого другого временного промежутка этого ряда. Трендовая компонента в стационарном ряду отсутствует.

Нестационарный временной ряд этим свойством не обладает.

Наглядно стационарный и нестационарный временные ряды представлены на рисунке 5.1.

Различают понятия слабой и строгой стационарности . Чтобы считать ряд слабо стационарным, или стационарным в широком смысле слова, достаточно, чтобы он имел постоянные математическое ожидание, дисперсию и коэффициенты автокорреляции. Для более строгого определения стационарности необходимо постоянство и других вероятностных характеристик (функция распределения должна быть одинаковой), которые подробно изучаются в курсе теории вероятностей.

Следует помнить, что любой строго стационарный ряд является и слабо стационарным, но не наоборот. Таким образом, пересечение (общая часть) множества слабо стационарных рядов и множества строго стационарных рядов представляет собой множество строго стационарных рядов. Объединение множества слабо стационарных рядов и множества строго стационарных рядов – множество слабо стационарных рядов (потому что строго стационарные ряды входят в слабо стационарные).

Примером стационарного временного ряда может быть «белый шум» в регрессионных моделях (т.е. упорядоченные во времени значения случайной компоненты, для которых математическое ожидание и дисперсия постоянны (в этом случае ожидаемое значение остатка равно нулю), и эти значения некоррелированы друг с другом).

Эргодические ряды. Важным свойством некоторых стационарных рядов является свойство эргодичности . Суть этого свойства заключается в том, что для эргодического ряда математическое ожидание его уровней в пространстве совпадает с математическим ожиданием его уровней во времени.

Пусть для слабо стационарного процесса в любой момент времени t математическое ожидание значения М(y t) = µ (это математическое ожидание в пространстве). Математическое ожидание во времени представляет собой среднее из n значений временного ряда при n ® ¥. Если , то такой ряд – эргодический.

Иными словами, для стационарного временного ряда среднее значение по множеству реализаций для заданных моментов времени равно среднему по времени, вычисленному по одной реализации.