Аннотация: Под временными рядами понимают экономические величины, зависящие от времени. При этом время предполагается дискретным, в противном случае говорят о случайных процессах, а не о временных рядах.

Модели стационарных и нестационарных временных рядов, их идентификация

Пусть Рассмотрим временной ряд . Пусть сначала временной ряд принимает числовые значения. Это могут быть, например, цены на батон хлеба в соседнем магазине или курс обмена доллара на рубли в ближайшем обменном пункте. Обычно в поведении временного ряда выявляют две основные тенденции - тренд и периодические колебания.

При этом под трендом понимают зависимость от времени линейного, квадратичного или иного типа, которую выявляют тем или иным способом сглаживания (например, экспоненциального сглаживания) либо расчетным путем, в частности, с помощью метода наименьших квадратов . Другими словами, тренд - это очищенная от случайностей основная тенденция временного ряда.

Временной ряд обычно колеблется вокруг тренда , причем отклонения от тренда часто обнаруживают правильность. Часто это связано с естественной или назначенной периодичностью, например, сезонной или недельной, месячной или квартальной (например, в соответствии с графиками выплаты заплаты и уплаты налогов). Иногда наличие периодичности и тем более ее причины неясны, и задача эконометрика - выяснить, действительно ли имеется периодичность .

Элементарные методы оценки характеристик временных рядов обычно достаточно подробно рассматриваются в курсах "Общей теории статистики" (см., например, учебники ), поэтому нет необходимости подробно разбирать их здесь. (Впрочем, о некоторых современных методах оценивания длины периода и самой периодической составляющей речь пойдет ниже.)

Характеристики временных рядов . Для более подробного изучения временных рядов используются вероятностно-статистические модели. При этом временной ряд рассматривается как случайный процесс (с дискретным временем) основными характеристиками являются математическое ожидание , т.е.

Дисперсия , т.е.

и автокорреляционная функция временного ряда

т.е. функция двух переменных, равная коэффициенту корреляции между двумя значениями временного ряда и .

В теоретических и прикладных исследованиях рассматривают широкий спектр моделей временных рядов. Выделим сначала стационарные модели. В них совместные функции распределения для любого числа моментов времени , а потому и все перечисленные выше характеристики временного ряда не меняются со временем . В частности, математическое ожидание и дисперсия являются постоянными величинами, автокорреляционная функция зависит только от разности . Временные ряды, не являющиеся стационарными, называются нестационарными .

Линейные регрессионные модели с гомоскедастичными и гетероскедастичными, независимыми и автокоррелированными остатками . Как видно из сказанного выше, основное - это "очистка" временного ряда от случайных отклонений, т.е. оценивание математического ожидания. В отличие от простейших моделей регрессионного анализа , рассмотренных в , здесь естественным образом появляются более сложные модели. Например, дисперсия может зависеть от времени. Такие модели называют гетероскедастичными , а те, в которых нет зависимости от времени - гомоскедастичными. (Точнее говоря, эти термины могут относиться не только к переменной "время", но и к другим переменным.)

Замечание . Как уже отмечалось в "Многомерный статистический анализ" , простейшая модель метода наименьших квадратов допускает весьма далекие обобщения, особенно в области системам одновременных эконометрических уравнений для временных рядов. Для понимания соответствующей теории и алгоритмов необходимо профессиональное владение матричной алгеброй. Поэтому мы отсылаем тех, кому это интересно, к литературе по системам эконометрических уравнений и непосредственно по временным рядам , в которой особенно много интересуются спектральной теорией, т.е. выделением сигнала из шума и разложением его на гармоники. Подчеркнем в очередной раз, что за каждой главой настоящей книги стоит большая область научных и прикладных исследований, вполне достойная того, чтобы посвятить ей много усилий. Однако из-за ограниченности объема книги мы вынуждены изложение сделать конспективным.

Системы эконометрических уравнений

Пример модели авторегрессии . В качестве первоначального примера рассмотрим эконометрическую модель временного ряда, описывающего рост индекса потребительских цен (индекса инфляции). Пусть - рост цен в месяц (подробнее об этой проблематике см. "Эконометрический анализ инфляции"). Тогда по мнению некоторых экономистов естественно предположить, что

где - рост цен в предыдущий месяц (а - некоторый коэффициент затухания, предполагающий, что при отсутствии внешний воздействий рост цен прекратится), - константа (она соответствует линейному изменению величины со временем), - слагаемое, соответствующее влиянию эмиссии денег (т.е. увеличения объема денег в экономике страны, осуществленному Центральным Банком) в размере и пропорциональное эмиссии с коэффициентом , причем это влияние проявляется не сразу, а через 4 месяца; наконец, - это неизбежная погрешность .

Модель (1), несмотря на свою простоту, демонстрирует многие характерные черты гораздо более сложных эконометрических моделей. Во-первых, обратим внимание на то, что некоторые переменные определяются (рассчитываются) внутри модели, как . Их называют эндогенными (внутренними) . Другие задаются извне (это экзогенные переменные). Иногда, как в теории управления, среди экзогенных переменных , выделяют управляемые переменные - те, с помощью которых менеджер может привести систему в нужное ему состояние.

Во-вторых, в соотношении (1) появляются переменные новых типов - с лагами, т.е. аргументы в переменных относятся не к текущему моменту времени, а к некоторым прошлым моментам.

В-третьих, составление эконометрической модели типа (1) - это отнюдь не рутинная операция. Например, запаздывание именно на 4 месяца в связанном с эмиссией денег слагаемом - это результат достаточно изощренной предварительной статистической обработки. Далее, требует изучения вопрос зависимости или независимости величин и . От решения этого вопроса зависит, как выше уже отмечалось, конкретная реализация процедуры метода наименьших квадратов .

С другой стороны, в модели (1) всего 3 неизвестных параметра, и постановку метода наименьших квадратов выписать нетрудно:

Проблема идентифицируемости . Представим теперь модель тапа (6.1) с большим числом эндогенных и экзогенных переменных , с лагами и сложной внутренней структурой. Вообще говоря, ниоткуда не следует, что существует хотя бы одно решение у такой системы. Поэтому возникает не одна, а две проблемы. Есть ли хоть одно решение (проблема идентифицируемости)? Если да, то как найти наилучшее решение из возможных? (Это - проблема статистической оценки параметров.)

И первая, и вторая задача достаточно сложны. Для решения обоих задач разработано множество методов, обычно достаточно сложных, лишь часть из которых имеет научное обоснование. В частности, достаточно часто пользуются статистическими оценками, не являющимися состоятельными (строго говоря, их даже нельзя назвать оценками).

Коротко опишем некоторые распространенные приемы при работе с системами линейных эконометрических уравнений.

Система линейных одновременных эконометрических уравнений . Чисто формально можно все переменные выразить через переменные, зависящие только от текущего момента времени. Например, в случае уравнения (6.1) достаточно положить

Тогда уравнение пример вид

Отметим здесь же возможность использования регрессионных моделей с переменной структурой путем введения фиктивных переменных. Эти переменные при одних значениях времени (скажем, начальных) принимают заметные значения, а при других - сходят на нет (становятся фактически равными 0). В результате формально (математически) одна и та же модель описывает совсем разные зависимости.

Косвенный, двухшаговый и трехшаговый методы наименьших квадратов . Как уже отмечалось, разработана масса методов эвристического анализа систем эконометрических уравнений. Они предназначены для решения тех или иных проблем, возникающих при попытках найти численные решения систем уравнений.

Одна из проблем связана с наличием априорных ограничений на оцениваемые параметры. Например, доход домохозяйства может быть потрачен либо на потребление, либо на сбережение. Значит, сумма долей этих двух видов трат априори равна 1. А в системе эконометрических уравнений эти доли могут участвовать независимо. Возникает мысль оценить их методом наименьших квадратов , не обращая внимания на априорное ограничение, а потом подкорректировать. Такой подход называют косвенным методом наименьших квадратов .

Двухшаговый метод наименьших квадратов состоит в том, что оценивают параметры отдельного уравнения системы, а не рассматривают систему в целом. В то же время трехшаговый метод наименьших квадратов применяется для оценки параметров системы одновременных уравнений в целом. Сначала к каждому уравнению применяется двухшаговый метод с целью оценить коэффициенты и погрешности каждого уравнения, а затем построить оценку для ковариационной матрицы погрешностей, После этого для оценивания коэффициентов всей системы применяется обобщенный метод наименьших квадратов .

Менеджеру и экономисту не следует становиться специалистом по составлению и решению систем эконометрических уравнений, даже с помощью тех или иных программных систем, но он должен быть осведомлен о возможностях этого направления эконометрики, чтобы в случае производственной необходимости квалифицированно сформулировать задание для специалистов-эконометриков.

От оценивания тренда (основной тенденции) перейдем ко второй основной задаче эконометрики временных рядов - оцениванию периода ( цикла ).

Важное значение в анализе временных рядов имеют стационарные временные ряды, вероятностные свойства которых не изменяются во времени. Стационарные временные ряды применяются, в частности, при описании случайных составляющих анализируемых рядов.

Временной ряд y t (t= 1,2,…,n) называется строго стационарным (или стационарным в узком смысле), если совместное распределение вероятностей n наблюдений y 1 ,y­ 2 ,…..,y n такое же, как и n наблюдений y 1+ t ,y 2+ t ,....y n + t при любых n, t и t. Другими словами, свойства строго стационарных рядов y t не зависит от момента t, т.е. закон распределения и его числовые характеристики не зависят от t. Следовательно, математическое ожидание a y (t) = a, среднее квадратическое отклонение s у (t) = s могут быть оценены по наблюдениям y t (t= 1,2,…,n) по формулам:

(6.3)

Простейшим примером стационарного временного ряда , у которого математическое ожидание равно нулю, а ошибок e t некоррелированы , является «белый шум» . Следовательно, можно сказать, что возмущения (ошибки) e t в классической линейной регрессионной модели образуют белый шум , а в случае их нормального распределения – нормальный (гауссовский ) белый шум.

Степень тесноты связи между последовательностями наблюдений временного ряда y 1 ,y­ 2 ,…..,y n и y 1+ t ,y 2+ t ,....y n + t (сдвинутых относительно друг от друга на e единиц, или, как говорят, с лагом t) может быть определена с помощью коэффициента корреляции

(6.4)

ибо

Так как коэффициент r(t) измеряет корреляцию между членами одного и того же ряда, его называют коэффициентом автокорреляции , а зависимость r(t) – автокорреляционной функцией . В силу стационарности временного ряда y t (t= 1,2,…,n) автокорреляционная функция r(t) зависит только от лага t, причем корреляционная функция r(- t) = r(t) , т.е. при изучение r(t) можно ограничиться рассмотрением только положительных значений t.

Статистической оценкой r(t) является выборочный коэффициент автокорреляции r(t), определяемый по формуле коэффициента корреляции (3.20), в которой x i = y t , y i = y t + t , a n заменяется на n - t:

Функцию r(t) называют выборочной автокорреляционной функцией , а ее график - коррелограммой .

При расчете r(t) следует помнить, что с увеличением t число n - t пар наблюдений y t ,y t + t уменьшается, поэтому лаг t должен быть таким, чтобы число n - t было достаточным для определения r(t). Обычно ориентируются на соотношение t £ n/4.

Для стационарного временного ряда с увеличением лага t взаимосвязь членов временного ряда y t и y t + t ослабевает и автокорреляционная функция r(t) должна убывать (по абсолютной величине). В тоже время для ее выборочного (эмпирического) аналога r(t), особенно при небольшом числе пар наблюдений n - t , свойство монотонного убывания, (по абсолютной величине) при возрастании t может нарушаться.

Наряду с автокорреляционной функцией при исследовании стационарных временных рядов рассматривается частная автокорреляционная функция r част (t), где r част (t) есть частный коэффициент корреляции между членами временного ряда y t и y t + t при устранении (элиминировании) влияния промежуточных (между y t и y t + t) членов.

Статистической оценкой r част (t) является выборочная частная автокорреляционная r част (t) где r част (t) – выборочный частный коэффициент корреляции, определяемый по формуле (5.21) или (5.22).Например, выборочный частный коэффициент автокорреляции 1-го порядка между членами временного ряда y t и y t + t при устранении влияния y t +1 может быть вычислен по формулу (5.22):

Где r(1) , r (1,2) ,r(2) – выборочные коэффициенты автокорреляции между y t и y t +1 , y t +1 и y t +2 , y t и y t +2 , t = 1,….,n.

Пример 6.1. По данным табл. 6.1 для временного ряда y t найти среднее значение, среднее квадратическое отклонение, коэффициенты автокорреляции 1-го порядка.

Решение. Среднее значение временного ряда находим по формуле (6.2):

Дисперсию и среднее квадратическое отклонение можно вычислить по формуле (6.3), но в данном случае проще использовать соотношение

где

Найдем коэффициент автокорреляции r(t) временного ряда (для лага t = 1), т.е. коэффициент корреляции между последовательностями семи пар наблюдений y t и y t + t (t = 1,2….,7).

Можно сформулировать цели статистического анализа временного ряда следующим образом:

по имеющейся траектории x(1), x(2), …x(N) анализируемого временного ряда x(t) требуется:

1) определить, какие из неслучайных функций (соответствующих трендовому, сезонному и циклическому компонентам) при­сутствуют в разложении , т. е. определить значения индика­торов  i в разложении

2) построить «хорошие» оценки для тех неслучайных функций, которые присутствуют в разложении;

3) подобрать модель, адекватно описывающую поведение «случай­ных остатков u(t), и статистически оценить параметры этой модели.

Успешное решение перечисленных задач является основой для достиже­ния конечных прикладных целей исследования и, в первую очередь, для решения задачи кратко- и среднесрочного прогноза значений временного ряда.

Автоковариационная и автокорреляционная функции

Для идентификации временных рядов удобно использовать специальные функции: автоковариационную и автокорреляционную.

Автоковариационная функция

Из предположения о строгой стационарности временного ряда x(t) ковариация между значениями x(t) и x(t  ) будет зависеть только от величины «сдвига по времени»  (и не будет зависеть от t). Эта ковариация называется автоковариацией (поскольку измеряет ковариацию для различных значений одного и того же временного ряда x(t) и определяется соотношением:

При анализе величины () в зависимости от значения  принято говорить об автоковариационной функции (). Значения автоковариационной функции могут быть статистически оценены по имеющимся наблюдениям временного ряда по формуле

, где =1,2, … N-1. Очевидно

(0)=  2 =М;

()=cov(x(t+), x(t)) = cov(x(t), x(t+)) = cov(x(t), x(t-));

()= cov(x(t), x(t-))= (-).

Автокорреляционная функция

Одно из главных отличий последовательности наблюдений, образующих временной ряд, от случайной выборки заключается в том, что члены временного ряда являются, вообще говоря, статистически взаимозависмыми. Степень тесноты статистической связи между двумя случайными величинами может быть измерена парным коэффициентом корреляции. Так что степень статистической связи между двумя наблюдениями временного ряда, «разнесенными» (по времени) на  единиц, определится величиной коэффициента корреляции

Коэффициент корреляции r() измеряет корреляцию, существующую между членами одного и того же временного ряда, поэтому его принято называть коэффициентом автокорреляции. При анализе изменения величиныr() в зависимости от значенияпринято говорить об автокорреляционной функцииr(). График автокорреляционной функции называют коррелограммой. Автокорреляционная функция, в отличие от автоковариационной, безразмерна. Ее значения могут колебаться в пределах от –1 до +1. Очевидно, чтоr() =r(-), а(0) =1.

Поиск модели, адекватно описывающей поведение случайных остат­ков u(t) анализируемого временного ряда x(t), производят, как правило, в рамках некоторого специального класса случайных временных последовательностей - класса стационар­ных временных рядов. На интуитивном уровне стационарность временно­го ряд а мы связываем с требованием, чтобы он имел постоянное сред­нее значение и колебался вокруг этого среднего с постоянной дисперсией . В некоторых случаях временные последовательности этого класса могут воспроизводить и поведение самого анализируемого временного ряда x(t).

Ряд x(t) называется строго стационар­ным (или стационарным в узком смысле), если совместное распреде­ление вероятностей m наблюдений x(t 1), x(t 2), …, x(t m) такое же, как и для m наблюдений x(t 1 +), x(t 2 +), …x(t m +), при любых m, t 1 , t 2 , …, t m и .

Другими словами, свойства строго стационарного временного ряда не меняются при изменении начала отсчета времени. В частности, при m= 1 из предположения о строгой стационарности временного ряда x(t) следует, что закон распределения вероятностей случайной величины x(t) не зависит от t, а значит, не зависят от t и все его основные числовые характеристики, в том числе: среднее значение М(x(t)) =  и дисперсия D(x(t))= М(x(t) –) 2 =  2 .

Очевидно, значение μ определяет постоянный уровень, относитель­но которого разбросаны значения анализируемого временного ряда x(t), а посто­янная величина  2 характеризует размах этого разброса. Поскольку закон распределения вероятностей случайной величины x(t) одинаков при всех t, то он сам и его основные числовые характеристики могут быть оценены по наблюдени­ям x(1), x(2), …x(N). В частности:

-оценка среднего значения,

- оценка дисперсии.

Под методами сглаживания временного ряда понимается выделение неслучайной составляющей . Предположим, что известен общий вид неслучайной составляющей F(t) для ряда x(t)=F(t,)+ u(t). Это может быть полином, ряд Фурье и т.д. Тогда возникает задача оценки параметров . В такой постановке задачи используются аналитические методы.

Если вид неслучайной составляющей неизвестен F(t), то используются алгоритмические методы. К таким методам относится метод скользящего среднего, лежащий в основе более сложных процедур сглаживания.

Алгоритм построения модели временного ряда на примере аддитивной и мультипликативной моделей

Алгоритм построения модели временного ряда, включающего циклические колебания, состоит из основных этапов, содержание которых несколько отличается для аддитивной и мультипликативной моделей.

Упростим модель, введя одно обозначение для циклической составляющей ряда, независимо от длительности цикла, или от ее сезонной или конъюнктурной природы. Обозначим ее s t . Тогда аддитивная модель примет вид y t = u t + s t + e t , а мультипликативная - y t = u t * s t * e t .

Итак, основные этапы построения модели:

1) Сглаживание исходного ряда на основе средних, которые рассчитываются за промежуток времени, соответствующий длительности цикла.

2) Определение значений циклической или сезонной компоненты (более подробно см. Елисеева И.И., Курышева С.В., Костеева Т.В. и др. Эконометрика: Учебник. – М.: Финансы и статистика, 2001. – С. 242-251). Для аддитивной модели сумма значений этой компоненты за все периоды одного цикла должна равняться нулю, а в мультипликативной модели – числу периодов в цикле. За счет этого обеспечивается взаимопогашаемость циклической компоненты.

3) Устранение из модели циклических компонент. В аддитивной модели оно осуществляется путем вычитания, после чего модель примет вид y t = u t + e t . В мультипликативной модели оно осуществляется путем деления, после чего модель примет вид y t = u t * e t .

4) Аналитическое выравнивание полученного ряда y t = u t + e t или y t = u t * e t на основе построения уравнения тренда y t = f(t).

5) К полученным уровням ряда прибавляют циклическую компоненту (в случае аддитивной модели) или умножают их на нее (в случае мультипликативной модели): y t = f(t) + s t или y t = f(t) * s t .

6) Сравнение расчетных значений уровней ряда, полученных с помощью построенной модели, с фактическими значениями. Оценка полученной модели, расчет ошибок.

Временные ряды имеют стохастическую природу и, соответственно, для них могут быть рассчитаны различные вероятностные характеристики.

Стационарный временной ряд – это временной ряд, для которого все вероятностные характеристики постоянны.

Это означает, что какой бы фрагмент временного ряда мы не взяли, вероятностные характеристики значений показателя будут такими же, как и для любого другого временного промежутка этого ряда. Трендовая компонента в стационарном ряду отсутствует.

Нестационарный временной ряд этим свойством не обладает.

Наглядно стационарный и нестационарный временные ряды представлены на рисунке 5.1.

Различают понятия слабой и строгой стационарности . Чтобы считать ряд слабо стационарным, или стационарным в широком смысле слова, достаточно, чтобы он имел постоянные математическое ожидание, дисперсию и коэффициенты автокорреляции. Для более строгого определения стационарности необходимо постоянство и других вероятностных характеристик (функция распределения должна быть одинаковой), которые подробно изучаются в курсе теории вероятностей.

Следует помнить, что любой строго стационарный ряд является и слабо стационарным, но не наоборот. Таким образом, пересечение (общая часть) множества слабо стационарных рядов и множества строго стационарных рядов представляет собой множество строго стационарных рядов. Объединение множества слабо стационарных рядов и множества строго стационарных рядов – множество слабо стационарных рядов (потому что строго стационарные ряды входят в слабо стационарные).

Примером стационарного временного ряда может быть «белый шум» в регрессионных моделях (т.е. упорядоченные во времени значения случайной компоненты, для которых математическое ожидание и дисперсия постоянны (в этом случае ожидаемое значение остатка равно нулю), и эти значения некоррелированы друг с другом).

Эргодические ряды. Важным свойством некоторых стационарных рядов является свойство эргодичности . Суть этого свойства заключается в том, что для эргодического ряда математическое ожидание его уровней в пространстве совпадает с математическим ожиданием его уровней во времени.

Пусть для слабо стационарного процесса в любой момент времени t математическое ожидание значения М(y t) = µ (это математическое ожидание в пространстве). Математическое ожидание во времени представляет собой среднее из n значений временного ряда при n ® ¥. Если , то такой ряд – эргодический.

Иными словами, для стационарного временного ряда среднее значение по множеству реализаций для заданных моментов времени равно среднему по времени, вычисленному по одной реализации.

Введение……………………………………………………….2

1. Основные задачи анализа временных рядов…………….4

2. Анализ временных рядов………………………………….9

2.2 Неслучайная составляющая временного ряда и методы его сглаживания…………………………………………………11

2.3 Модели стационарных временных рядов и их индефикация…13

2.3.2. Модели скользящего среднего порядка q (MA (q) –модели)….17

Заключение………………………………………………………21

Литература………………………………………………………..23

Введение

В последние годы в эконометрической литературе большое внимание уделяется исследованию рядов динамики временных показателей. Разнообразные содержательные задачи экономического анализа требуют использования статистических данных, характеризующих исследуемые экономические процессы и развернутых во времени в форме временных рядов. При этом нередко одни и те же временные ряды используются для решения разных содержательных проблем.

Далеко не всегда значения временного ряда формируются только под воздействием каких-либо факторов. Нередко бывает, что развитие того или иного процесса обусловлено его внутренними закономерностями, а отклонения от детерминированного процесса вызваны ошибками измерений или случайными флуктуациями. Особый интерес представляют процессы, находящиеся в «переходном» режиме, т.е. процессы, являющиеся по существу «стационарными», но на исследуемом промежутке времени проявляющие свойства нестационарного временного ряда, что объясняется далекими от стационарного режима начальными условиями. В ситуациях, когда временной ряд формируется под воздействием некоторого набора случайных и неслучайных факторов, анализ отдельных временных рядов, как результирующих, так и факторных, имеет огромное значение. Это необходимо для правильной идентификации моделей, которые строятся по информации об исследуемых процессах (векторные авторегрессии, модели коррекции ошибок, динамические модели с распределенными запаздываниями и т.п.).

При анализе временных рядов основное внимание уделяется исследованию, описанию и/или моделированию их структуры. Цель таких исследований, как правило, шире просто моделирования исследования соответствующих процессов. Построенная модель обычно используется для экстраполяции или прогнозирования временного ряда, и тогда качество прогноза может служить полезным критерием при выборе среди нескольких альтернативных моделей. Построение хороших моделей ряда необходимо и для других приложений, таких, как корректировка сезонных эффектов и сглаживание. Наконец, построенные модели могут использоваться для статистического моделирования длинных рядов наблюдений при исследовании больших систем, для которых временной ряд рассматривается как входная информация.

В связи с наличием ошибок измерения экономических показателей, наличием случайных флуктуаций, свойственных наблюдаемым системам, при исследовании временных рядов широко применяется вероятностно-статистический подход. В рамках такого подхода наблюдаемый временной ряд понимается как реализация некоторого случайного процесса. При этом неявно предполагается, что временной ряд имеет какую-то структуру, отличающую его от последовательности независимых случайных величин, так что наблюдения не являются набором совершенно независимых числовых значений. (Некоторые элементы структуры ряда иногда можно выявить уже на основании простого визуального анализа графика ряда. Это относится, например, к таким компонентам ряда, как тренд и циклы.) Обычно предполагается, что структуру ряда можно описать моделью, содержащей небольшое число параметров по сравнению с количеством наблюдений, это практически важно при использовании модели для прогнозирования. Примерами таких моделей служат модели авторегрессии, скользящего среднего и их комбинации - модели AR(p), MA(q), ARMA(p, q), ARIMA(p, k, q).

При построении моделей связей в долгосрочной перспективе необходимо учитывать факт наличия или отсутствия у анализируемых макроэкономических рядов стохастического (недетерминированного) тренда. Иначе говоря, приходится решать вопрос об отнесении каждого из рассматриваемых рядов к классу рядов, стационарных относительно детерминированного тренда (или просто стационарных) - TS (trend stationary) ряды, или к классу рядов, имеющих стохастический тренд (возможно, наряду с детерминированным трендом) и приводящихся к стационарному (или стационарному относительно детерминированного тренда) ряду только путем однократного или k-кратного дифференцирования ряда - DS (difference stationary) ряды. Принципиальное различие между этими двумя классами рядов выражается в том, что в случае TS ряда вычитание из ряда соответствующего детерминированного тренда приводит к стационарному ряду, тогда как в случае DS ряда вычитание детерминированной составляющей ряда оставляет ряд нестационарным из-за наличия у него стохастического тренда.

Глава 1. Основные задачи анализа временных рядов.

Принципиальные отличия временного ряда от последовательности наблюдений, образующих случайную выборку, заключаются в следующем:

во-первых, в отличие от элементов случайной выборки члены временного ряда не являются независимыми;

во-вторых, члены временного ряда не обязательно являются одинаково распределенными, так что P{xt < x} P{xt < x} при t t.

Это означает, что свойства и правила статистического анализа случайной выборки нельзя распространять на временные ряды. С другой стороны, взаимозависимость членов временного ряда создает свою специфическую базу для построения прогнозных значений анализируемого показателя по наблюденным значениям.

Генезис наблюдений, образующих временной ряд (механизм порождения данных). Речь идет о структуре и классификации основных факторов, под воздействием которых формируются значения временного ряда. Как правило, выделяются 4 типа таких факторов.

Долговременные, формирующие общую (в длительной перспективе) тенденцию в изменении анализируемого признака xt. Обычно эта тенденция описывается с помощью той или иной неслучайной функции fтр(t) (аргументом которой является время), как правило, монотонной. Эту функцию называют функцией тренда или просто - трендом.

Сезонные, формирующие периодически повторяющиеся в определенное время года колебания анализируемого признака. Поскольку эта функция (е) должна быть периодической (с периодами, кратными «сезонам»), в ее аналитическом выражении участвуют гармоники (тригонометрические функции), периодичность которых, как правило, обусловлена содержательной сущностью задачи.

Циклические (конъюнктурные), формирующие изменения анализируемого признака, обусловленные действием долговременных циклов экономической или демографической природы (волны Кондратьева, демографические «ямы» и т.п.) Результат действия циклических факторов будем обозначать с помощью неслучайной функции (t).

Случайные (нерегулярные), не поддающиеся учету и регистрации. Их воздействие на формирование значений временного ряда как раз и обусловливает стохастическую природу элементов xt, а, следовательно, и необходимость интерпретации x1,…, xT как наблюдений, произведенных над случайными величинами 1,…, Т. Будем обозначать результат воздействия случайных факторов с помощью случайных величин («остатков», «ошибок ») t.

Конечно, вовсе не обязательно, чтобы в процессе формирования значений всякого временного ряда участвовали одновременно факторы всех четырех типов. Выводы о том, участвуют или нет факторы данного типа в формировании значений конкретного ряда, могут базироваться как на анализе содержательной сущности задачи, так и на специальном статистическом анализе исследуемого временного ряда. Однако во всех случаях предполагается непременное участие случайных факторов. Таким образом, в общем виде модель формирования данных (при аддитивной структурной схеме влияния факторов) выглядит как:

xt = 1f(t) + 2(t) +3(t) + t. (1)

где i = 1, если факторы i-го типа участвуют в формировании значений ряда и i = 0 - в противном случае.

Основные задачи анализа временных рядов. Базисная цель статистического анализа временного ряда заключается в том, чтобы по имеющейся траектории этого ряда:

определить, какие из неслучайных функций присутствуют в разложении (1), т.е. определить значения индикаторов i;

построить «хорошие» оценки для тех неслучайных функций, которые присутствуют в разложении (1);

подобрать модель, адекватно описывающую поведение случайных остатков t, и статистически оценить параметры этой модели.

Успешное решение перечисленных задач, обусловленных базовой целью статистического анализа временного ряда, является основой для достижения конечных прикладных целей исследования и, в первую очередь, для решения задачи кратко- и среднесрочного прогноза значений временного ряда. Приведем кратко основные элементы эконометрического анализа временных рядов.