ЛЕКЦИЯ № 3. РАБОТА. МОЩНОСТЬ. ЭНЕРГИЯ

1. РАБОТА И МОЩНОСТЬ ПРИ ПОСТУПАТЕЛЬНОМ И ВРАЩТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ

Работа силы – скалярная физическая величина, характеризующая меру действия силы на материальное тело. Работа силы зависит от величины силы, направления вектора силы и от перемещения точки приложения силы.

Если сила, действующая на тело постоянна по величине и направлению , а перемещение тела происходит по прямолинейной траектории (рис.1), то в этом случае работа силы вычисляется по простой формуле:

где – угол между вектором силы и вектором перемещения : .

В Интернациональной системе единиц работа измеряется в джоулях:

Как видно из формулы, работа силы может быть как положительной величиной, так и отрицательной.

Если угол между вектором силы и вектором перемещения острый (рис.1) , то сила совершает положительную работу:

Если угол между вектором силы и вектором перемещения тупой , то сила совершает отрицательную работу, в этом случае говорят, что работа совершается против силы:

Если вектор силы перпендикулярен вектору перемещения и , то в этом случае сила не совершает работу:

В общем случае, если вектор силы изменяется по величине или по направлению , а перемещение тела происходит по криволинейной траектории (рис.2), вводится понятие элементарной работы :

где – вектор элементарного перемещения тела, – угол между вектором силы и вектором элементарного перемещения , то есть: . Величина элементарного перемещения определяется тем, что сила, действующая на тело на этом перемещении, остается постоянной как по величине, так и по направлению.

Полная работа силы на конечном перемещении материального тела из точки в точку по криволинейной траектории равна сумме элементарных работ, то есть интегралу вида:

Если тело под действием силы перемещается по замкнутой траектории , то в этом случае работа силы будет вычисляться по формуле:

В природе существуют силы, работа которых по любой замкнутой траектории всегда (тождественно) равна нулю, такие силы называются консервативными или потенциальными:

Примерами консервативных сил может служить сила тяжести, сила упругости, сила Кулона и некоторые другие силы.

Силы, работа которых по любой замкнутой траектории не равна тождественно нулю, называются неконсервативными или непотенциальными :

Примерами неконсервативных сил является сила трения скольжения, сила сопротивления.

Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности.

Средняя мощность это скалярная физическая величина, равная отношению работы, совершенной за некоторый промежуток времени, к величине этого промежутка времени:

Если уменьшать промежуток времени , то отношение будет стремиться к некоторому пределу. Этот предел называется мгновенной мощностью силы:

Таким образом, мощность силы является производной работы, совершаемой силой, по времени.

Используя определение механической работы, можно получить удобную для решения задач формулу:

где – угол между направлением вектора силы и вектора скорости , то есть . Итак, мгновенная мощность, развиваемая силой , равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения этой силы.

Единицы измерения мощности в Интернациональной системе единиц – ватт:

Рассмотрим теперь вращательное движение. Пусть тело вращается по окружности радиусом под действием силы, которая направлена перпендикулярно к траектории движения тела (то есть перпендикулярно к окружности) в любой точке (рис.3). В этом случае сила и элементарное перемещение тела будут всегда коллинеарны ,тоесть , следовательно, угол между этими векторами всегда будет равен нулю. Поэтому элементарная работа силы выразится формулой:

С другой стороны нам известно из геометрии, что длина дуги окружности радиуса равна , где – угол, на который опирается эта дуга.

Таким образом, можно записать для элементарной работы следующее выражение:

Легко заметить, что в нашем случае произведение величины силы на радиус окружности равно величине момента силы относительно оси вращения, проходящей через центр окружности:

Окончательно можно записать выражение для элементарной работы:

Чтобы найти полную работу, которая совершается силой при повороте тела по окружности на угол , необходимо проинтегрировать указанное выше выражение:

Если момент силы есть величина постоянная (что совсем необязательно), то формула для работы силы при вращательном движении принимает простой вид:

Используя полученные формулы, легко видеть, что мощность при вращательном движении равна произведению момента силы на угловую скорость точки приложения силы:

2. МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ

Понятие механической работы тесно связано с понятием механической энергии. Энергия, как известно, это единая количественная мера движения материи во всех проявлениях этого движения. А работа есть мера изменения энергии системы. Если механическая система совершает положительную работу над внешними телами, то неизбежно энергия системы уменьшается. В этом случае говорят, что работа совершается за счет убыли энергии системы, а работу совершают внутренние силы системы:

То есть

И, наоборот, если внешние тела совершают над механической системой работу, то ее энергия увеличивается:

То есть

Механическая энергия бывает двух типов – кинетической и потенциальной. Кинетическая энергия системы обусловлена механическим движением этой системы, то есть кинетическая энергия является мерой механического движения данной системы.

Выведем формулу, описывающую кинетическую энергию системы при поступательном движении. Пусть на тело действует постоянная по величине и направлению сила .

Под действием этой силы, как известно, тело будет двигаться прямолинейно и равноускоренно. Ускорение тела определяется вторым законом Ньютона:

Пусть начальная скорость тела была равна нулю, тогда через некоторый момент времени от начала движения скорость тела будет равна , где – перемещение тела или, что тоже самое , – перемещение точки приложения силы. Выразим перемещение через скорость, получим: .

Теперь можно записать выражение для элементарной работы, которую совершила сила при перемещении тела на бесконечно малое расстояние :

Где – угол между вектором скорости и вектором , при поступательном движении этот угол всегда равен нулю градусов, следовательно .

Таким образом, элементарная работа при поступательном движении выражается формулой:

Чтобы найти полную работу, которую совершает сила при разгоне тела из состояния покоя до некоторой скорости , необходимо проинтегрировать полученное выражение от значения начальной скорости до конечного значения скорости :

Как было сказано выше, если работу совершает внешняя сила, то энергия системы увеличивается, более того работа внешней сила равна изменению кинетической энергии системы, то есть:

Сравнивая два выражения для одной и той же величины, можно прийти к выводу, что кинетическая энергия тела во втором его состоянии равна:

Соответственно, кинетическая энергия в первом состоянии описывается аналогичной формулой:

Если тело находится в состоянии покоя , то его кинетическая энергиятождественно равна нулю.

В общем случае кинетическая энергия тела, движущегося со скоростью , равна:

Как видно из полученной формулы кинетическая энергия зависит только от массы тела (постоянной величины в классической физике) и мгновенной скорости тела, следовательно, кинетическая энергия является функцией состояния системы и не зависит от того, каким образом система попала в это состояние.

Проверим размерность полученной формулы:

Так как скорость системы в различных инерциальных системах отсчета различна, следовательно, кинетическая энергия системы так же зависит от выбора системы отсчета.

Если тело участвует во вращательном движении, то оно так же обладает кинетической энергией. Получим формулу для кинетической энергии вращающегося тела.

Пусть материальная точка, имеющая массу , вращается по окружности радиусом с угловой скоростью . Как известно, линейная скорость материальной точки связана с угловой скоростью следующим соотношением:

Подставим это соотношение в формулу для кинетической энергии, получим:

,

где – момент инерции материальной точки относительно оси вращения.

Полученная формула для кинетической энергии справедлива не только для материальной точки, но и для любого вращающегося абсолютно твердого тела, обладающего моментом инерции относительно оси вращения.

Если же тело участвует одновременно и в поступательном и во вращательном движении, то его кинетическая энергия складывается из кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращательного движения:

Примером может служить летящий снаряд (пуля), выпущенный из нарезного оружия. За счет наличия вращательного движения, кинетическая энергия, а значит, убойная сила снаряда увеличивается по сравнению с кинетической энергией такого же снаряда, выпущенного из гладкоствольного оружия.

Потенциальная энергия системы – энергия, обусловленная взаимным расположением тел, составляющих систему, и характером взаимодействия между ними.

Понятие потенциальная энергия имеет смысл только для систем, где действуют консервативные силы, о которых говорилось выше. Потенциальная энергия в такихсистемах равна работе, которую совершают внутренние (консервативные) силы системы при переходе системы из данного положения в положение, где потенциальная энергия системы по договоренности равна нулю.

Таким образом, одной универсальной формулы для вычисления потенциальной энергии произвольной системыне существует, ее необходимо получать для каждой конкретной системы определенным образом.

Выведем формулу потенциальной энергии, например для тела, поднятого над поверхностью Земли. Прежде всего, необходимо доказать, что силы, действующие в такой системе консервативны, и понятие потенциальной энергии действительно имеет смысл. Итак, между любым телом, поднятым над поверхностью Земли, и Землей действует сила тяжести равная , где – вектор ускорения свободного падения, который направлен к центру Земли вертикально вниз. Найдем, какую работу совершает сила тяжести при перемещении тела из одной точки над поверхностью Земли в другую. Пусть первая точка находится над поверхностью Земли на высоте , а вторая точка находится соответственно на высоте , причем . Траектория движения тела из первого состояния во второе представляет собой линию .

Прежде всего, запишем выражение для элементарной работы, которую совершает сила тяжести при бесконечно малом перемещении тела :

Где – угол между вектором элементарного перемещения и вектором ускорения свободного падения , а – бесконечно малое перемещение тела по вертикали.

Чтобы найти полную работу силы тяжести при перемещении тела из первого состояния во второе состояние, необходимо проинтегрировать выражение для элементарной работы:

Проанализируем полученный результат – полная работа силы тяжести определяется только положением тела над уровнем Земли и совершенно не зависит от вида траектории тела. Этот факт является доказательством того, что сила тяжести этоконсервативная сила, значит для системы «тело-Земля» имеет смысл понятие потенциальная энергия, Область пространства, где действует консервативная сила тяжести, называется потенциальным полем силы тяжести.

Так как работу совершает внутренняя сила системы – сила тяжести, то энергия системы уменьшается. Другими словами работа совершается за счет убыли потенциальной энергии системы, то есть

Сравнивая два выражения для работы силы тяжести можно прийти к выводу, что тело в первом состоянии, то есть на высоте над Землей, обладало потенциальной энергией равной , во втором состоянии потенциальная энергия тела равна соответственно . Потенциальная энергия тела, находящегося на поверхности Земли равна нулю.

Итак, в общем случае, потенциальная энергия тела поднятого на высоту над поверхностью Земли, равна:

.

Как мы видим, потенциальная энергия так же зависит только от массы тела и его высоты над поверхностью Земли, то есть потенциальная энергия является функцией состояния системы и не зависит от того, каким способом система пришла в это состояние.

Аналогичные рассуждения приводят нас к выводу, что сила упругости пружины так же является консервативной силой.

Сила упругости, как известно, описывается законом Гука: ,

где – коэффициент жесткости пружины,характеристика данной пружины, имеющая размерность , – деформация пружины, то есть изменение размеров пружины.

Знак минус в законе Гука указывает на то, что направление силы, возникающей в деформированной пружине, всегда противоположно деформации пружины. Действительно, если растянуть пружину, то в ней возникает сила, стремящаяся возвратить пружину в исходное состояние, и наоборот.

Таким образом, упруго деформированная пружина обладает запасом потенциальной энергии, то есть может совершить некоторую механическую работу, точнее, работу совершает сила упругости, возникающая в пружине.

Величина потенциальной энергии, запасенной в деформированной пружине,равна:

Потенциальная энергия не деформированной пружины () тождественно равна нулю.

Полная механическая энергия системы равна сумме кинетической и потенциальной энергии: или

Если механическая система замкнута и в системе действуют только консервативные силы, то полная механическая энергия всей системы остается неизменной при любых взаимодействиях между телами, составляющими эту систему. Это утверждение выражает суть закона сохранения механической энергии. Необходимо заметить, что энергия каждого тела системы может изменяться, неизменной остается только суммарная механическая энергия всей системы.

Математически закон сохранения механической энергии можно записать несколькими способами:

где – потенциальная и кинетическая энергия всей системы до взаимодействия, а – потенциальная и кинетическая энергия всей системы после взаимодействия.

Если же в системе действуют неконсервативные силы (сила трения и т.п.)или система незамкнута, то есть в ней действуют внешние силы, то в этом случае суммарная механическая энергия не остается постоянной – закон сохранения энергии не выполняется. При этом изменение суммарной механической энергии будет равно работе, произведенной неконсервативными силами или внешними силами при переходе системе из одного состояния в другое.

Математически этот факт записывается следующим образом:

или ,

где – количество теплоты, выделяющееся в системе.

Примером взаимодействий, при котором выполняется закон сохранения полной механической энергии системы, является абсолютно упругий удар или столкновение. Столкновение (удар) – это взаимодействие двух или более тел, которое длится очень короткое время, при сближении этих тел на малыерасстояния. Абсолютно упругий удар – столкновение тел, при котором тела не деформируются (фо рма тел не изменяется), и суммарная кинетическая энергия системы тел остается постоянной. При абсолютно упругом ударе выполняется как закон сохранения механической энергии системы, так и закон сохранения импульса системы.

Полной противоположностью абсолютно упругого удара является столкновение тел, при котором сталкивающиеся тела объединяются и в дальнейшем двигаются как одно целое. Такое взаимодействие называется абсолютно неупругим ударом. При абсолютно неупругом ударе закон сохранения энергии системы не выполняется, однако закон сохранения импульса системы остается справедливым.

3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «РАБОТА, МОЩНОСТЬ, ЭНЕРГИЯ»

ЗАДАЧА № 1. Снаряд автоматической зенитной пушки АЗП-57, масса которого 2,8 кг, летит на высоте 1 км со скоростью 800 метров в секунду и вращается, делая 500 оборотов в секунду. Найти полную механическую энергию снаряда, считая его сплошным однородным цилиндром.

Начинаем решение этой задачи с того, что запишем данные в условии задачи величины под заголовок «Дано», учитывая, что калибр снаряда равняется его диаметру.

ДАНО:

Найти: Е

Решение: как известно полная механическая энергия системы равна сумме потенциальной и кинетической энергии. В нашей задаче рассматривается система «снаряд-земля». Потенциальная энергия снаряда в этой системе равна . Кинетическая энергия снаряда складывается из кинетической энергии его поступательного движения и кинетической энергии его вращательного движения: . Кинетическую энергию поступательного движения можно вычислить сразу, так как все необходимые величины нам известны. Для тогочтобы вычислить кинетическую энергию вращательного движения нам необходимо знать момент инерции снаряда и его угловую скорость. Так как снаряд, рассматривается как сплошной однородный цилиндр, его момент инерции будет равен . Угловую скорость так же легко найти, так как нам известна частота вращения снаряда: .

Таким образом, полная механическая энергия снаряда в системе «снаряд-земля» будет равна следующему выражению: - мы получили рабочую формулу, так как она отвечает на вопрос задачи и в нее входят только известные величины. Проверим размерность рабочей формулы: - размерность правильная, значит можно подставлять числовые значения. .

Задача решена, однако надо заметить, что кинетическая энергия вращательного движения снаряда в данном случае намного меньше кинетической энергии его поступательного движения. Вращение снарядапридает устойчивость снаряду, повышая точность попадания. В данной задаче надо напомнить, что вращательное и поступательное движение снаряда никак не связано друг с другом ипроисходят независимо друг от друга.

Задача № 2.Сплошной цилиндр массой 4 00 грамм катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности. Линейная скорость осицилиндра 1 метр в секунду. Определить полную кинетическую энергию цилиндра.

ДАНО:

НАЙТИ: К

РЕШЕНИЕ: Данная задача очень похожа на предыдущую задачу. Так как цилиндручаствует одновременно в двух движениях, его кинетическая энергия будет равна сумме кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращательного движения, Однако эти движения не являются независимыми, линейная скорость оси цилиндра будет определять и угловую скорость вращения цилиндра по формуле . Далее, момент инерции цилиндра считается известным: . На данном этапе у курсантов обязательно возникают затруднения, так как в условии задачи ничего не говорится о радиусе цилиндра. Поэтому преподавателю целесообразно еще раз подчеркнуть важность решения задачи в общем буквенномвиде, так при подстановке перечисленных выше выражений в формулу для кинетической энергии радиус сократится и не будет присутствовать в конечной формуле: - мы получили рабочую формулу, в ней присутствуют только величины заданные в условии задачи: масса и скорость . Размерность рабочей формулы очевидна и не требует проверки. Числовое значение кинетической энергии равно: .

Задача № 3.Кинетическая энергиявращающегося маховика 1 Килоджоуль. Под действием постоянного тормозящего момента маховик начал вращаться равнозамедленно и, сделав 80 оборотов, остановился. Определить момент силы торможения.

Запишем известные величины под заголовок «Дано», учитывая при этом, что в конечном состоянии система покоится, значит, его энергия в этом состоянии равна нулю.

ДАНО:

Найти: М

Решение: для того, чтобы найти момент силы торможения нам необходимо записать формулу вычисления работы при вращательном движении: - здесь мы учли тот факт, что работа совершается равномерно. Угловое перемещение можно вычислить, зная- размерность соответствует действительности, следовательно, можно подставлять числовые значения известных величин: . Знак минус в полученном результате говорит о том, работа совершается телом, маховиком против внешней силы, в результате чего энергия маховика уменьшается до нуля.

Задача № 4 Маховик вращается по закону, выражаемому уравнением , где А =2 рад, В=16 рад/с, С=-2 рад/с 2 . Момент инерции маховика 50 кгм 2 . Найти кинетическую энергию маховика и его мощность через 3 секунды после начала движения.

Дано:

Найти: К, N

Решение: сначала найдем кинетическую энергию вращательного движения маховика, как известно, она равна . Угловую скорость маховика найдем как первую производную углового перемещения: , подставим полученное выражение в формулу для кинетической энергии маховика, получим:

- все величины, входящие в эту формулу нам известны из условия задачи. Проверим размерность полученной формулы: - размерность правильная, подставим числовые значения известных величин: . Угловое ускорение можно найтикак производную угловой скорости по времени: . Подставим все эти выражения в формулу, которую мы получили выше для мощности силы:

Это рабочая формула, она отвечает на вопрос задачи и в нее входят только известные из условия задачи величины. Проверим размерность этой формулы: -р азмерность рабочей формулы соответствует размерности мощности, значит рабочая формула правильная, следовательно мы можем приступить к вычислению числового значения этой величины: .

Проанализируем полученный результат, знак минус говорит о том, что маховик тормозится, и он совершает работу против внешних сил.

3.4. Механическая энергия

3.4.1. Кинетическая энергия

Кинетическая энергия поступательного движения тела определяется формулой

где m - масса движущегося тела; v - модуль его скорости.

Для расчета кинетической энергии при поступательном движении тела существует еще одна формула:

где P = mv - модуль импульса движущегося тела.

Кинетическая энергия вращательного движения тела определяется формулой

W k = m ω 2 R 2 2 ,

где m - масса движущегося тела; ω - величина угловой скорости (циклическая частота); R - радиус окружности, по которой движется тело.

Для расчета кинетической энергии при вращательном движении тела существует еще одна формула:

W k = 2 m π 2 ν 2 R 2 ,

где ν - частота вращения тела.

При решении задач на расчет кинетической энергии системы тел полезно помнить, что она складывается из кинетических энергий каждого из тел:

W k сис = W k 1 + W k 2 + ... + W k N ,

где W k 1 , W k 2 , ..., W kN - кинетические энергии каждого тела.

При решении задач на расчет кинетической энергии вращательного движения могут оказаться полезными следующие формулы:

• связь между линейной v и угловой ω скоростями:

v = ωR ,

где R - радиус окружности по которой движется тело;

• связь между циклической частотой ω и частотой ν:

• связь между циклической частотой ω (или частотой ν) и периодом обращения тела по окружности T :

ωT = 2π или ν = 1 T .

Пример 24. Координата тела, движущегося вдоль оси Ox , зависит от времени по закону x (t ) = 8,0 − 2,0t + t 2 , где координата задана в метрах, время - в секундах. Определить изменение кинетической энергии тела с начала третьей до конца четвертой секунды движения. Масса тела составляет 3,0 кг.

Решение. Кинетическая энергия тела определяется формулами:

W k 1 = m v 2 (t 1) 2 ;

W k 2 = m v 2 (t 2) 2 ,

где v (t 1) - модуль скорости тела в начале третьей секунды; v (t 2) - модуль скорости тела в конце четвертой секунды.

Уравнение движения тела

x (t) = 8,0 − 2,0 t + t 2

позволяет установить закон изменения проекции скорости на ось Ox с течением времени в виде:

v x (t) = v 0 x + a x t ,

где v 0 x = −2,0 м/с - проекция начальной скорости на ось Ox ; a x = = 2,0 м/с 2 - проекция ускорения на указанную ось.

Таким образом, зависимость проекции скорости от времени, записанная в явном виде

v x (t) = − 2,0 + 2,0 t ,

позволяет получить соответствующие проекции скоростей:

• в начале третьей секунды движения (t 1 = 2 c)

v x (t 1) = − 2,0 + 2,0 t 1 = − 2,0 + 2,0 ⋅ 2 = 2,0 м/с;

• в конце четвертой секунды движения (t 2 = 4 c)

v x (t 2) = − 2,0 + 2,0 t 2 = − 2,0 + 2,0 ⋅ 4 = 6,0 м/с.

Значения кинетической энергии тела в указанные моменты времени:

• в начале третьей секунды движения (t 1 = 2 c)

W k 1 = 3,0 ⋅ (2,0) 2 2 = 6,0 Дж,

• в конце четвертой секунды движения (t 2 = 4 c)

W k 2 = 3,0 ⋅ (6,0) 2 2 = 54 Дж.

Искомая разность кинетических энергий составляет

Δ W k = W k 2 − W k 1 = 54 − 6,0 = 48 Дж.

Таким образом, кинетическая энергия тела за указанный интервал времени возросла на 48 Дж.

Пример 25. Тело движется в плоскости xOy по траектории вида x 2 + y 2 = 25 под действием центростремительной силы, величина которой равна 50 Н. Масса тела составляет 2,0 кг. Координаты x и y заданы в метрах. Найти кинетическую энергию тела.

Решение. Траектория движения тела представляет собой окружность радиусом 5,0 м. Согласно условию задачи, на тело действует только одна сила, направленная к центру этой окружности.

Модуль указанной силы является постоянной величиной, поэтому тело обладает постоянным центростремительным ускорением, не влияющим на величину скорости тела; следовательно, тело движется по окружности с постоянной скоростью.

Рисунок иллюстрирует данное обстоятельство.

Величина центростремительной силы определяется формулой

F ц. с = m v 2 R ,

где m - масса тела; v - модуль скорости тела; R - радиус окружности, по которой движется тело.

Выражение для кинетической энергии тела имеет вид:

Отношение уравнений

F ц. с W k = m v 2 R 2 m v 2 = 2 R

позволяет получить формулу для расчета искомой кинетической энергии:

Кинетическая энергия механической системы - это энергия механического движения этой системы.

Сила F , действуя на покоящееся тело и вызывая его движение, совершает работу, а энергия движущегося тела возрастает на величину затраченной работы. Таким образом, работа dA силы F на пути, который тело прошло за время возрастания скорости от 0 до  , идёт на увеличение кинетической энергии dE к тела, т. е.

Используя второй закон Ньютона и умножая на перемещениеdr , получаем:

Так как , то

Таким образом, тело массой m , движущееся со скоростью  , обладает кинетической энергией

Потенциальная энергия – механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.

При перемещении тела из одного положения в другое, работа, совершаемая действующими силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положения. Такие поля называются потенциальными , а силы, действующие в них, – консервативными .

Работа консервативных сил на замкнутой траектории равна нулю . Это утверждение поясняет рис. 2.1.

Свойством консервативности обладают сила тяжести и сила упругости. Для этих сил можно ввести понятие потенциальной энергии.

Работа консервативной силы A 12a = A 12b . Работа на замкнутой траектории A = A 12a + A 21b = A 12a – A 12b = 0.

Тело, находясь в потенциальном поле сил, обладает потенциальной энергией E п . Работа консервативных сил при элементарном (бесконечно малом) изменении кон фигурации системы равна приращению потенциальной энергии, взятому со знаком минус, так как работа совершается за счет убыли потенциальной энергии :

Работа dA выражается как скалярное произведение силы F на перемещение dr и выражение (2.2) можно записать в виде

Следовательно, если известна функция Е п (r ), то из формулы (2.3) можно найти силу F по модулю и направлению.

Потенциальная энергия может быть определена исходя из (2.3) как

где C – постоянная интегрирования.

Если тело перемещается вблизи поверхности Земли, то на него действует постоянная по величине и направлению сила тяжести . Работа этой силы зависит только от вертикального перемещения тела. На любом участке пути работу силы тяжести можно записать в проекциях вектора перемещенияна ось OY :

где – проекция силы тяжести, Δ S y – проекция вектора перемещения. Если тело переместилось из точки, расположенной на высоте h 1 , в точку, расположенную на высоте h 2 от начала координатной оси OY (рис . 2.2.), то сила тяжести совершила работу :

Эта работа равна изменению некоторой физической величины , взятому с противоположным знаком. Эту физическую величину называютпотенциальной энергией тела в поле силы тяжести

E p = mgh .

Она равна работе, которую совершает сила тяжести при опускании тела на нулевой уровень.

Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии тела, взятому с противоположным знаком.

A = –(E p 2 – E p 1).

Найдём потенциальную энергию упругодеформированного тела (пружины). Сила упругости пропорциональна деформации:

где F упр - проекция силы упругости на ось х ,

k - коэффициент упругости (для пружины – жёсткость),

знак минус указывает, что F упр направлена в сторону, противоположную деформации х.

По третьему закону Ньютона, деформирующая сила равна по модулю силе уп ругости и противоположно ей направлена, т. е.

Элементарная работа dA , совершаемая силой F x при бесконечно малой деформации dx , равна:

а полная работа

.

идет на увеличение потенциальной энергии пружины. Таким образом, потенциальная энергия упругодеформированного тела :

Полная механическая энергия системы:

т.е. равна сумме кинетической и потенциальной энергий.

Пусть произвольная механическая система состоит из частиц;

- масса, - скорость -той из них. Тогда:

величину

называют кинетической энергией -той частицы, а

-

кинетической энергией рассматриваемой механической системы.

По причине одинаковости скоростей всех точек

кинетическая энергия поступательно движущегося тела определяется формулой

, где

- его масса, а - модуль скорости.

Для вращательно движущегося тела:

кинетическая энергия пврщательно движущегося тела определяется формулой

30.20, Где

- момент инерции тела относительно оси вращения и - его угловая скорость.

30.6*. Формула для вычисления кинетической энергии сферически движущегося тела

Пусть - центр сферического движения, а

- связанная с телом система координат; причём, её оси являются главными осями инерции тела.

В общей формуле -

-

выразим через угловую скорость и геометрические характеристики тела:

Т.к.

, то по способу перестановки индексов имеем:

Но

, т.е. векторскалярно перемножается сам на себя. Учитываем, что скалярные произведения ортогональных векторов равны нулю и получаем:

При возведениях в квадраты средние члены будут содержать попарные произведения различных координат. При подстановке в формулу (а ) они дадут центробежные моменты инерции. Принятые оси главные и, поэтому, все центробежные моменты инерции тела равны нулям. Таким образом, отследует сохранить лишь сумму квадратов:

После подстановки в формулу (а ) выражения (б ), получаем:

Выражения в круглых скобках приводят к появлению осевых моментов инерции -

. Таким образом и получается

формула для вычисления кинетической энергии сферически движущегося тела:

30.7*. Формулы для вычисления кинетической энергии свободно и плоско движущихся тел

Пользуясь законом сложения скорость -той частицы представляем суммой двух составляющих –

, где

- скорость центромассовой системы отсчёта (относительно инерциальной);

- скорость -той частицы относительно центромассовой системы.

Из предыдущих двух подразделов видно, что первые две составляющие (

) выражения (б ) при подстановкев общую формулу для вычисления кинетической энергии дадут поступательную и сферическую составляющие полной кинетической энергии -

, , где

- масса тела;

- моменты инерции тела относительно его главных центральных осей инерции;

- проекции угловой скорости тела в сферическом его движении относительно центромассовой системы отсчёта.

Выясним, что даст третья составляющая выражения (б ) при подстановкев общую формулу для вычисления кинетической энергии.-

на основании понятия центра масс =

кинетическую энергию свободно движущегося тела можно вычислять как сумму двух слагаемых – кинетической энергии поступательного движения (вычисляемую как для материальной точки, движущейся со скоростью центра масс тела и обладающей его массой) и кинетической энергии тела в его сферическом движении относительно центромассовой системы отсчёта:

.

Самостоятельно предлагаем получить результат:

кинетическую энергию плоско движущегося тела можно вычислять как сумму двух слагаемых – кинетической энергии поступательного его движения со скоростью центра масс и кинетической энергии во вращательном движении этого тела относительно центромассовой системы отсчёта:

.