>>Физика 10 класс >>Физика: Потенциальная энергия

Что нам известно о потенциальной энергии гравитации? Представим поверхность Земли. Мы можем быть, где угодно, где есть гравитация, тогда потенциальная энергия появится из гравитационного поля данной нам массы. Мы знаем, что если есть некоторое тело массой m, расположенное на высоте h в гравитационном поле с ускорением свободного падения g, или 9,8 м/с^2. То потенциальная энергия гравитации этого тела в этой точке равняется произведению массы, ускорения свободного падения и высоты.

Данное определение можно рассматривать как величину силы гравитации. А чему же равна потенциальная энергия? Если объект обладает потенциальной энергией, и ничто не останавливает его движения, то он полетит вниз с ускорением и большая часть потенциальной энергии, а по сути, вся она, перейдет в кинетическую энергию. Так что другими словами, потенциальная энергия является энергией, которая «запасена» в объекте, или той энергией, которой объект обладает в соответствии с его нахождением. Затем чтоб тело или объект имели эту энергию, она должна откуда-то появиться, как в случае с потенциальной энергией гравитации. Можно рассматривать потенциальную энергию гравитации как работу, нужную для передвижения объекта в указанное положение.

Исследуем движение тела под действием силы тяжести. Предположим, что обломок скалы массой m падает с высоты h1 относительно подножия горы и останавливается на уступе на высоте h2. При таких условиях работу выполняет сила тяжести: A=FS. Поскольку сила тяжести равна F=gm, а перемещение равно S=h1 – h2, то работа будет равняться A=mg(h1 – h2) или A=mgh1 – mgh2. Величина mgh характеризует состояние тела в поле земного тяготения и называется потенциальной энергией.

С учетом этого формулу для работы силы тяжести можно представить так:

Как видим, что работа силы тяжести - это изменение потенциальной энергии тела с противоположным знаком. В нашем примере сила тяжести совершила положительную работу, а изменение потенциальной энергии отрицательно, т.е. потенциальная энергия уменьшилась.

Потенциальной энергией могут так же обладать упругодеформированные тела. Если открыть подпружиненную дверь, то возникшая наряду с этим сила упругости способна совершить работу, закрывая дверь следом. Однако этот случай является особым, поскольку работа будет совершена переменной по модулю силой.

Но потому как в этой ситуации работа выполняется за счет запаса энергии, можно утверждать, работа силы упругости равняется разности потенциальных энергий:

В этой формуле k – это жесткость; Δl – величина деформации. Подведя итог всему выше упомянутому, приходим к заключению, что во всех случаях работа силы обусловливает изменение энергии тела, от сюда следует, что работа есть мера изменения энергии. Формулы работы для силы тяжести и силы упругости выглядят так:

Закон сохранения энергии

Очевидно, что при взаимодействии тела могут обмениваться энергий, например движущийся бильярдный шаг при столкновении с подобным неподвижным шаром передает ему свою кинетическую энергию. Если при этом первый шар остановится, то он отдаст второму всю свою кинетическую энергию.

Рассмотрим пример с потенциальной энергией. Шарик массой m расположен на сжатой пружине, пружина связана нитью. Шарик обладает потенциальной энергией касательно поверхности стола. Потенциальная энергия сжатой пружины -

. Полная механическая энергия этой системы тел равна:

Если пережечь нить, шарик начнет двигаться вверх, и в некоторый момент будет иметь скорость ύ на высоте h, в тоже время энергия пружины равна 0, а полная энергия системы будет равна:

Исааку Ньютону принадлежит открытие закона всемирного тяготения. Вот его формулировка: какие-либо два тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними:

Коэффициентом пропорциональности в данном законе является одна из фундаментальных физических постоянных – гравитационная постоянная.

Закон сформулирован для точечных тел, т.е. для материальных точек, однако он справедлив и для больших однородных шаров, например, планет. В этом случае полагают, что масса таких тел сосредоточена в центре и расстояние R берут между центрами. Сила тяжесть есть частный случай проявления закона всемирного тяготения. Тело массой m, притягивается Землей массой M, расстояние между их центрами равно Земному радиусу R. В соответствии со вторым законом Ньютона тело получает ускорение, где F – сила гравитационного притяжения.

Следовательно, ускорение тела а и является ускорением свободного падения g, которое равное для всех тел и равное вблизи поверхности Земли.

Сила, извещающая телу это ускорение и является силой тяжести: F=mg. Из формулы очевидно, что сила тяжести прямо пропорциональна массе тела.

Задача

Каскадер, масса которого 80 кг прыгнул с высоты 12 м на растянутую страховочную сетку. В следствии она прогнулась на 1,5 м. Найдите среднюю силу, с которой каскадер давит на сетку? Решение: используя закон сохранения энергии можно сделать запись.

Под потенциальной энергией W p взаимодействующих тел или частей одного тела понимают СФВ, характеризующую их способность совершать работу за счет изменения взаимного расположения тел или частей одного тела. Потенциальная энергия в одинаковой степени характеризует все взаимодействующие тела или их части. При этом между ними действуют силы , которые называют консервативными , работа этих сил не зависит от траектории движения тел, но определяется их начальными и конечными положениями.

При наличии только консервативных сил потенциальную энергию взаимодействия системы, состоящей из N тел (м.т.), можно представить в виде потенциальных энергий попарного их взаимодействия друг с другом и с внешними телами (с номерами от (N+1) до (N+L)):

где - потенциальная энергия взаимодействия i -того и к -того тел. Коэффициент (1/2) в первом слагаемом связан с тем, что потенциальная энергия взаимодействия тел i и к встречается здесь два раза (например, и ) и в ней исключаются слагаемые с i=к. Для замкнутой системы второго слагаемого, описывающего взаимодействие тел системы с внешними телами, в формуле (1.70) не будет.

Потенциальные взаимодействия принято обычно описывать введением силового поля, а именно, считается, что одно тело взаимодействует в месте своего расположения с силовым полем, созданным другими телами. Такой подход удобно использовать в том случае, когда движение одного тела (например, первого) слабо влияет на движение другого тела (второго). Тогда можно считать, что первое тело находится в потенциальном поле, созданном вторым телом, и потенциальную энергию их взаимодействия приписать первому телу. Так, например, говорят о потенциальной энергии тела в поле тяготения Земли, о потенциальной энергии заряда в электрическом поле и т.д. При этом движение тела (заряда) слабо влияет на силовое поле, в котором оно движется. Вспомним, что обычно говорят: тело падает на Землю, а не Земля падает на тело. Этим самым отмечают тот факт, что движение тела практически не изменяет положение Земли.

Примерами консервативных сил в механике являются силы тяготения и упругости, а неконсервативных сил - силы трения, сопротивления, тяги, силы химических реакций, возникающих при разрыве снаряда, при выстреле и т.д.

Название «консервативные» силы связано с тем, что полная механическая энергия W M системы тел, взаимодействующих между собой посредством только консервативных сил, сохраняется.

Выведем формулы для потенциальных энергий взаимодействия тел, между которыми действуют силы тяготения и силы упругости.

1. Потенциальная энергия тела в поле тяготения Земли . Между телом (м.т.) массы m и Землей (однородный шар радиуса R З) массы M З действует сила тяготения:

,

где G – гравитационная постоянная, а r – расстояние от центра Земли до тела (рис. 1.24.а).

Рассчитаем работу А 12 силы тяготения при переходе тела из точки 1 в точку 2, находящихся соответственно на расстояниях r 1 и r 2 от центра Земли:

(1.71)

Из формулы (1.71) следует, что работа силы тяготения определяется убылью величин, зависящих только от начального и конечного положения тела и Земли. Значит, силы тяготения являются консервативными силами, а сами эти величиныпредставляют собой потенциальные энергии гравитационного взаимодействия тела и Земли:

(1.72)

Потенциальная энергия W p определяется с точностью до постоянной величины, ее нулевой уровень отсчета W p выбирается произвольно для удобства решения конкретных задач. Можно этот выбор провести следующим образом: считать, что при

(1.73)

Как уже отмечалось выше, формулу (1.72) можно также рассматривать как потенциальную энергию тела в гравитационном поле, созданном Землей. В этом случае нулевой уровень отсчета W p удобно выбирать на поверхности Земли (h=0, W p =0 )

где g 0 = GM З /R З 2 =9,81м/с 2 - ускорение свободного падения на уровне океана

(h = 0, r = R 3); h - высота тела над поверхностью Земли.

2.Потенциальная энергия упруго деформированного тела . Рассмотрим работу силы упругости при сжатии пружины из состояния 1 до состояния 2 (рис. 1.24б) с координатами х 1 и х 2 соответственно

Из (1.75) следует, что сила упругости является консервативной силой, а величинаявляется суммарной взаимной потенциальной энергией всех частей упруго деформированного тела (см. формулу (1.70)).

Обобщая формулы (1.71) и (1.75) можно сформулировать : работа консервативных сил, действующих между телами или частями одного тела равна убыли их взаимной потенциальной энергии .

Для тела, движение которого слабо влияет на движение другого тела, создающего силовое поле, теорему о потенциальной энергии можно сформулировать так: работа консервативных сил, действующих на тело, равна убыли потенциальной энергии тела в поле этих сил

1.4.5. Формула связи потенциальной энергии W p и консервативной силы

Между консервативной силой , действующей между телами, и потенциальной энергией их взаимодействия W p . существуют определенные формулы взаимосвязи, установим их. Для этого распишем выражение для элементарной работы консервативной силы вдоль произвольного направления () и подставим его в теорему о потенциальной энергии (1.76). Тогда

Выбирая направление, совпадающим с направлениями координатных осей, можно оценить проекции силы на эти оси и тем самым записать формулу взаимосвязи вектора силы и потенциальной энергии

До сих пор мы рассматривали системы невзаимодействующих частиц. Теперь перейдем к рассмотрению системы из двух взаимодействующих друг с другом частиц.

Обозначим силу, с которой вторая частица действует на первую, символом а силу, с которой первая частица действует на вторую, - символом . В соответствии с третьим законом Ньютона

Введем вектор где и - радиусы-векторы частиц (рис. 23.1). Расстояние между частицами равно модулю этого вектора. Допустим, что силы имеют величину, зависящую только от расстояния между частицами, и направлены вдоль соединяющей частицы прямой.

Это, как мы знаем, справедливо для сил гравитационного и кулоновского взаимодействий (см. формулы (11.2) и (13.1)).

При сделанных допущениях силы можно представить в виде

где - орт вектора (рис. 23.2), - некоторая функция положительная в случае взаимного притяжения частиц и отрицательная в случае их отталкивания друг от друга.

Считая систему замкнутой (внешних сил нет), напишем уравнения движения обеих частиц:

Умножим первое уравнение на второе - на и сложим их вместе. В результате получится соотношение

Левая часть этого соотношения представляет собой приращение кинетической энергии системы за время (см. (19.3)), правая часть - работу внутренних сил за то же время.

С учетом выражений (23.1) правую часть формулы (23.2) можно преобразовать следующим образом:

Из рис. 23.2 видно, что скалярное произведение равно - приращению расстояния между частицами.

Таким образом,

Выражение можно рассматривать как приращение некоторой функции от Обозначив эту функцию через придем к равенству

Следовательно,

С учетом всего сказанного выражение (23.2) можно представить в виде

откуда следует, что величина для рассматриваемой замкнутой системы сохраняется. Функция представляет собой потенциальную энергию взаимодействия. Она зависит от расстояния между частицами.

Пусть частицы переместились из положений, в которых расстояние между ними было равно в новые положения, в которых расстояние между ними стало равным В соответствии (23.6) внутренние силы. совершают при этом над частицами работу

Из (23.8) вытекает, что работа сил (23.1) не зависит от путей, до которым перемещались частицы, и определяется лишь начальным и конечным расстояниями между частицами (начальной и конечной конфигурациями системы). Таким образом, силы взаимодействия вида (23-1) являются консервативными.

Если движутся обе частицы, полная энергия системы равна

Предположим, что частица 1 закреплена в некоторой точке, которую мы примем за начало, координат . В результате эта частица утратит возможность двигаться так что кинетическая энергия будет состоять лишь из одного слагаемого Потенциальная энергия в этом случае будет функцией только Поэтому выражение (23.9) примет вид

(23.10)

Если рассматривать систему, состоящую из одной только частицы 2, то функция будет играть роль потенциальной энергии частицы 2 в поле сил, создаваемых частицей 1

Хотя по существу эта функция является потенциальной энергией взаимодействия частиц 1 и 2. Вообще потенциальная энергия во внешнем поле сил по существу является энергией взаимодействия между телами системы и телами, создающими внешнее по отношению к системе силовое поле.

Обратимся снова к системе из двух взаимодействующих свободных («незакрепленных») частиц. Если на первую частицу, кроме внутренней силы, действует внешцяя сила F, а на вторую частицу - сила , то в правой части соотношения (23.2) появятся слагаемые которые в сумме дадут работу внешних сил Соответственно формула (23.7) примет вид

В случае, когда суммарная кинетическая энергия частиц остается постоянной (например, равной нулю), соотношение (23.11) выглядит следующим образом:

Проинтегрировав это соотношение от конфигурации а до конфигурации получим, что

(ср. с формулой (22.13))

Распространим полученные результаты на систему из трех взаимодействующих частиц. В этом случае работа внутренних сил равна

Учтя, что придадим выражению (23.14) вид

Предположим, что внутренние силы могут быть представлены в виде (ср. с (23.1)). Тогда

Каждое из произведений равно приращению расстояния между соответствующими частицами Поэтому

Потенциальная энергия взаимодействия системы.

Она слагается из энергий взаимодействия частиц, взятых попарно.

Приравняв сумме работ придем к соотношению (23.11), в котором под следует понимать выражение (23.17).

Полученный результат легко обобщается на систему с любым числом частиц. Для системы из N взаимодействующих. частиц потенциальная энергия взаимодействия слагается из энергий взаимодействия частиц, взятых попарно:

Эту сумму можно написать следующим образом:

(23.19)

(обратите внимание на то, что в выражении (23.18) у каждого слагаемого первый индекс имеет значение меньшее, чем второй). В связи с тем, что энергию взаимодействия можно представить также в виде

В суммах (23.19) и (23.20) индексы пробегают значения от 1 до N, согласующиеся с условием или а в случае отталкивания частиц друг от друга (см. текст, следующий за формулой (23.1)).

В соответствии с (23.5)

Интегрирование дает

(23.23)

Как и потенциальная энергия во внешнем поле сил, потенциальная энергия взаимодействия определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Обычно полагают, что при потенциальная энергия обращается в нуль (при таком расстоянии сила (23.22) обращается в нуль - взаимодействие между частицами исчезает). Тогда аддитивная константа в (23.23) становится равной нулю и выражение для потенциальной энергии взаимодействия приобретает вид

В соответствии с (23.13) для того, чтобы удалить частицы друг от друга от расстояния до бесконечно большого расстояния, не изменяя при этом их скоростей, требуется совершить работу

Подстановка соответствующих значений функции (23.24) приводит к выражению

В случае притяжения между частицами соответственно для удаления частиц друг от друга требуется совершить положительную работу.

В случае отталкивания частиц друг от друга и работа (23.25) оказывается отрицательной. Эту работу приходится совершать, чтобы воспрепятствовать отталкивающимся частицам увеличить скорость своего движения.