где длине волны соответствует максимальное значение спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела,

- постоянная Вина.

Квантовая гипотеза Планка устанавливает пропорциональность между энергией кванта излучения и частотой колебаний

,

где

- постоянная Планка.

Формула Планка для спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела имеет вид

.

Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта

,

где - работа выхода электрона из металла,

- максимальная кинетическая энергия электрона.

Красная граница фотоэффекта может быть определена по формулам

,

.

Величина запирающего напряжения вычисляется по формуле

.

Масса фотона определяется при помощи формул Планка и Эйнштейна

,

а его импульс равен

.

Давление света, падающего нормально на некоторую поверхность, определяется по формуле

,

где - энергия всех фотонов, падающих на единицу площади поверхности за единицу времени (энергетическая освещенность поверхности),- коэффициент отражения света от поверхности,- объемная плотность энергии излучения.

Изменение длины волны коротковолнового излучения при его рассеянии на свободных (или слабосвязанных) электронах (эффект Комптона) определяется по формуле

где - угол рассеяния,

- комптоновская длина волны (для рассеяния фотона на электроне

).

Длина волны коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра определяется по формуле

,

где - напряжение на рентгеновской трубке.

Примеры решения задач

Задача 1. Излучение Солнца близко по своему спектральному составу к излучению абсолютно черного тела, для которого максимум испускательной способности приходится на длину волны

. Найти массу, теряемую Солнцем ежесекундно за счет излучения. Оценить время, за которое масса Солнца уменьшится на 1%.

Воспользуемся законом смещения Вина и определим температуру поверхности Солнца

. (2.1.1)

Тогда энергетическая светимость Солнца по закону Стефана – Больцмана и при помощи (2.1.1) запишется в виде

. (2.1.2)

Умножая (2.1.2) на площадь излучающей поверхности и время, находим энергию, излучаемую Солнцем

. (2.1.3)

Для определения массы, теряемой Солнцем вследствие излучения, воспользуемся формулой Эйнштейна для взаимосвязи массы и энергии, что с учетом (2.1.3) позволит записать

. (2.1.4)

Учитывая, что площадь излучающей поверхности (сферы)

, из (2.1.4) находим

Чтобы оценить время уменьшения массы Солнца на 1%, предположим, что в течение этого времени энергия, излучаемая Солнцем, не изменяется, тогда

.

Задача 2. Определить установившуюся температуру зачерненного шарика, расположенного на половине расстояния от Земли до Солнца. Температуру поверхности Солнца принять равной

.

Очевидно, что находясь в состоянии теплового равновесия, шарик должен получать в единицу времени такую же энергию излучения от Солнца, которую сам излучает в окружающее пространство. Тогда, обозначая мощность солнечного излучения, упавшего на шарик через , а мощность, излученную шариком – через, имеем

. (2.1.5)

Предполагая, что Солнце излучает как абсолютно черное тело, выражение для мощности солнечного излучения можно записать в виде

, (2.1.6)

где - температура поверхности Солнца,

- площадь поверхности Солнца. Долю мощности солнечного излучения, приходящуюся на поверхность шарика, найдем из пропорции

, (2.1.7)

где

- площадь круга радиуса, равного радиусу шарика,

- расстояние от Земли до Солнца. Из (2.1.6), (2.1.7) находим

. (2.1.8)

Определим теперь мощность излучения шарика, предполагая, что он тоже излучает как абсолютно черное тело, а температура всех его точек одинакова. Тогда получим

. (2.1.9)

Из (2.1.5), (2.1.8), (2.1.9) следует

.

Используя табличные данные, получаем ответ

.

Задача 3. Медный шарик, удаленный от других тел, под действием света, падающего на него, зарядился до потенциала

. Определить длину волны света.

Согласно уравнению Эйнштейна для фотоэффекта максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов равна

. (2.1.10)

Вследствие вылета электронов с шарика под действием света он приобретает положительный заряд, в результате чего вокруг него создается электрическое поле, тормозящее движение вылетевших электронов. Шарик будет заряжаться до тех пор, пока максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов не станет равной работе тормозящего электрического поля при перемещении электронов на бесконечно большое расстояние. Так как потенциал бесконечно удаленной точки равен нулю, по теореме о кинетической энергии получаем

,

что с учетом (2.1.10) позволяет найти длину волны света

. (2.1.11)

Подставляя в (2.1.11) числовые значения (работа выхода электронов из меди равна

), находим

.

Задача 4. Плоская поверхность освещается светом с длиной волны

. Красная граница фотоэффекта для данного вещества

. Непосредственно у поверхности создано однородное магнитное поле с индукцией

, линии которого параллельны поверхности. На какое максимальное расстояние от поверхности смогут удалиться фотоэлектроны, если они вылетают перпендикулярно поверхности?

Воспользуемся уравнением Эйнштейна для фотоэффекта и определим максимальную скорость вылетающих фотоэлектронов

. (2.1.12)

Используя формулу для красной границы фотоэффекта

,

выражение (2.1.12) можно записать в виде

. (2.1.13)

После вылета с поверхности электроны попадает в перпендикулярное к вектору скорости однородное магнитное поле, следовательно, движутся в нем по окружности, и их максимальное удаление от поверхности будет равно радиусу этой окружности. Радиус окружности можно найти, применяя второй закон Ньютона и используя формулу Силы Лоренца

. (2.1.14)

Тогда из (2.1.13), (2.1.14) находим максимальное удаление электронов от поверхности

.

Вычисления дают

.

Задача 5. Катод фотоэлемента освещают монохроматическим светом. При задерживающем напряжении между катодом и анодом

ток в цепи прекращается. При изменении длины волны света в

раза потребовалось подать на электроды задерживающую разность потенциалов

. Определить работу выхода электронов из материала катода.

Используя уравнение Эйнштейна для фотоэффекта и формулу для задерживающего напряжения, получаем

, (2.1.15)

, (2.1.16)

где длины волн связаны условием

. (2.1.17)

Решая систему уравнений (2.1.15) – (2.1.17), находим

Задача 6. Определить, с какой скоростью должен двигаться электрон, чтобы его импульс был равен импульсу фотона с длиной волны

.

Предварительно сравним энергию фотона с энергией покоя электрона

Вычисления показывают, что энергия фотона больше энергии покоя электрона, следовательно, при решении задачи необходимо использовать формулы специальной теории относительности. Приравнивая формулы импульса фотона и релятивистского электрона, получаем

. (2.1.18)

Решая (2.1.18) относительно скорости электрона, получаем

.

Задача 7. В космосе движется пылинка плотностью

, поглощающая весь падающий на нее свет. Зная мощность излучения Солнца

, найти радиус пылинки, при котором ее гравитационное притяжение к Солнцу компенсируется силой светового давления.

Согласно условию задачи сила всемирного тяготения должна уравновешиваться силой светового давления, поэтому

. (2.1.19)

По закону всемирного тяготения

, (2.1.20)

где массу пылинки можно записать в виде

; (2.1.21)

здесь - радиус пылинки,- расстояние от пылинки до Солнца.

Сила светового давления равна

, (2.1.22)

где проекция поверхности пылинки на плоскость, перпендикулярную солнечным лучам, имеет площадь

, (2.1.23)

а давление связано с мощностью излучения , пронизывающего поверхность пылинки формулой

. (2.1.24)

Мощность излучения, приходящуюся на пылинку, можно выразить через мощность солнечного излучения при помощи пропорции

. (2.1.25)

Исключая из системы (2.1.19) – (2.1.25) неизвестные, получаем формулу для радиуса пылинки

.

Подстановка числовых значений дает

Задача 8. В результате столкновения фотона и протона, летевших по взаимно перпендикулярным направлениям, протон остановился, а длина волны фотона изменилась на

. Чему был равен импульс фотона? Скорость протона считать

.

Воспользуемся для решения задачи законами сохранения импульса и энергии. Пусть первоначальный импульс фотона направлен по оси

, импульс протона – по оси

, а импульс фотона после рассеянияобразует с осью

угол(рис. 2.1.1). Учитывая, что движение протона по условию можно описывать классическими формулами, по закону сохранения энергии имеем

. (2.1.26)

Рис. 2.1.1

Закон сохранения импульса в проекциях на оси

и

дает

,

. (2.1.27)

Изменение длины волны рассеянного фотона по условию удовлетворяет формуле

. (2.1.28)

Выразим из (2.1.27)

и

, возведем эти уравнения в квадрат, сложим и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством. В результате получим

. (2.1.29)

Исключая из (2.1.26), (2.1.29)

при помощи (2.1.28), преобразуем эти уравнения к виду

, (2.1.30)

. (2.1.31)

Исключая теперь из системы (2.1.30), (2.1.31) скорость протона, находим длину волны фотона до рассеяния

,

после чего определяем первоначальный импульс фотона

Задача 9. Узкий пучок монохроматического рентгеновского излучения падает на рассеивающее вещество. При этом длины волн смещенных составляющих излучения, рассеянного под углами

и

, отличаются друг от друга в

раза. Считая, что рассеяние происходит на свободных электронах, найти длину волны падающего излучения.

Воспользуемся формулами изменения длины волны при комптоновском рассеянии для двух углов рассеяния, упомянутых в условии

,

. (2.1.32)

Деля второе уравнение (2.1.32) на первое, получаем

. (2.1.33)

Решая (2.1.33), находим длину волны падающего на вещество излучения

.

Задача 10. Фотон с энергией, в

раза превышающей энергию покоя электрона, рассеялся назад на неподвижном свободном электроне. Найти радиус кривизны траектории электрона отдачи в магнитном поле с индукцией

, предполагая, что линии индукции перпендикулярны вектору скорости электрона.

Запишем выражение изменения длины волны света при комптоновском рассеянии

. (2.1.34)

Перейдем в (2.1.34) от длин волн к энергиям при помощи соотношения

и учтем, что угол рассеяния

. В результате получим

, (2.1.35)

где

- энергия покоя электрона. С учетом того, что

, находим из (2.1.35) энергию рассеянного фотона

и кинетическую энергию электрона отдачи

. (2.1.36)

Как известно, радиус окружности, по которой электрон движется в магнитном поле, определяется по формуле

, (2.1.37)

где с учетом релятивистского характера движения электрона

. (2.1.38)

Используя релятивистскую формулу кинетической энергии

,

из (2.1.36) после алгебраических преобразований можно получить

,

что после подстановки в (2.1.37), (2.1.38) позволяет найти радиус кривизны траектории электрона

. (2.1.39)

Подстановка в (2.1.39) числовых значений дает

.

Задача 11. При увеличении напряжения на рентгеновской трубке в

раза длина волны коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра изменилась на

. Найти первоначальное напряжение на трубке.

Применим формулу длины волны коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра для случаев до и после изменения напряжения на трубке

,

. (2.1.40)

Вычитая из первого уравнения (2.1.40) второе, находим

,

откуда следует формула первоначального напряжения на трубке

№1 Свет, падающий на металл, вызывает эмиссию электронов из металла. Если интенсивность света уменьшается, а его частота при этом остается неизменной, то …

Решение: Согласно уравнению Эйнштейна для фотоэффекта, где hυ – энергия фотона; работа выхода электронов из металла; - максимальная кинетическая энергия электронов, которая зависит от энергии фотона, следовательно, от частоты света. Поскольку частота не меняется, то и кинетическая энергия остается неизменной. Интенсивность света пропорциональна числу фотонов, а количество выбитых электронов пропорционально числу падающих фотонов; значит, с уменьшением интенсивности света количество выбитых электронов уменьшается.

Ответ: количество выбитых электронов уменьшается, а их кинетическая энергия остается неизменной

№2 Катод вакуумного фотоэлемента освещается светом с энергией квантов 10 эВ . Если фототок прекращается при подаче на фотоэлемент задерживающего напряжения 4 В , то работа выхода электронов из катода (в эВ ) равна …

Решение: Согласно уравнению Эйнштейна для фотоэффекта, , где hυ – энергия фотона; работа выхода электронов из металла; максимальная кинетическая энергия электронов, которая равна , где задерживающее напряжение. Следовательно,

№3 Наблюдается явление внешнего фотоэффекта. При этом с увеличением длины волны падающего света …

Ответ: уменьшается величина задерживающей разности потенциалов

На рисунке представлено распределение энергии в спектре излучения абсолютно черного тела в зависимости от длины волны для температуры . При увеличении температуры в 2 раза длина волны (в ), соответствующая максимуму излучения, будет равна …

Ответ: 250

№5 Распределение энергии в спектре излучения абсолютно черного тела в зависимости от частоты излучения для температур Т 1 и Т 2 () верно представлено на рисунке …

№6 На рисунке приведены две вольтамперные характеристики вакуумного фотоэлемента. Если Е – освещенность фотоэлемента, ν - частота падающего на него света, то

Решение: Приведенные на рисунке вольтамперные характеристики отличаются друг от друга величиной тока насыщения. Величина тока насыщения определяется числом выбитых за 1 секунду электронов, которое пропорционально числу падающих на металл фотонов, то есть освещенности фотоэлемента. Следовательно, Задерживающее напряжение одинаково для обеих кривых. Величина задерживающего напряжения определяется максимальной скоростью фотоэлектронов: Тогда уравнение Эйнштейна можно представить в виде . Отсюда поскольку следовательно, одинакова кинетическая энергия электронов, а значит, и частота падающего на фотокатод света, то есть

Ответ:

№ 7 На рисунке показаны кривые зависимости спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела от длины волны при разных температурах. Если кривая 2 соответствует спектру излучения абсолютно черного тела при температуре

1450 , то кривая 1 соответствует температуре (в ) …

Решение. Воспользуемся законом смещения Вина для излучения абсолютно черного тела , где длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела его термодинамическая температура, постоянная Вина:

.

Так как, согласно графику, , то

№8 Установите соответствие между приведенными характеристиками теплового равновесного излучения и характером их зависимости от частоты температуры.

1.Спектральная плотность энергии в спектре излучения абсолютно черного тела,согласно формуле Рэлея-Джинса,с увеличением частоты 2. Спектральная плотность энергии в спектре излучения абсолютно черного тела, согласно формуле Планка,с увеличением частоты…

3.Энергетическая светимость абсолютно черного тела с увеличением температуры…

4.Длина волны,на которую приходится максимум спектральной плотности энергии в спектре излучения абсолютно черного тела,с увеличением температуры…

Варианты ответа:(укажите соответствие для каждого нумерованного элемента задания)

1.Стремится к 0

2. Возрастает пропорционально

3. Возрастает пропорционально

4. Неограниченно возрастает

5. Убывает пропорционально

Решение: 1.Последовательная классическая теория для спектральной плотности энергии излучения абсолютно черного тела приводит к формуле Рэлея-Джинса. При этом используется теорема класической физики о равнораспределении энергии системы по степеням свободы и электромагнитная теория света,которая позволяет подсчитать число степеней свободы,приходящихся на единицу объема области,занятой равновесным монохроматическим тепловым излучением. Поскольку, согласно классической теории, это число степеней свободы пропорционально третьей степени частоты и не зависит от температуры,с пектральная плотность энергии равновесного теплового излучения должна неограниченно возрастать при увеличении частоты. Этот результат П.Эренфест образно назвал ультрафиолетовой катастрофой.

2.Формула Планка дает распределение энергии в спектре излучения абсолютно черного тела,согласующееся с экспериментом на всех частотах, т.е во всем спектре, и дает,таким образом, исчерпывающее описание равновесного теплового излучения. Согласно формуле Планка, с ростом частоты убывает число степеней свободы, приходящихся на единицу объема, и ультрафиолетовая катастрофа не возникает.

3.Согласно закону Стефана-Больцмана,энергетическя светимость абсолютно черного тела с увеличением температуры возрастает пропорционально . Из формулы Планка, интегрируя по всем длинам волн или частотам, можно получить энергетическую светимость абсолютно черного тела, т.е закон Стефана-Больцмана, и выражение постоянной Стефана-Больцмана через универсальные физические константы.

4.Согласно закону смещения Вина, длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергии в спектре излучения абсолютно черного тела, с увеличением температуры убывает пропорционально .

№9 На рисунке изображен спектр излучения абсолютно черного тела при температуре Т . Площадь под кривой увеличится в 81 раз, если температура будет равна …

Ответ: 3Т

№10 Абсолютно черное тело и серое тело имеют одинаковую температуру. При этом интенсивность излучения …

Ответ: больше у абсолютно черного тела

Страница 2 из 3

201. Определите работу выхода A электронов из вольфрама, если "красная граница" фотоэффекта для него λ 0 = 275 нм.

202. Калий освещается монохроматическим светом с длиной волны 400 нм. Определите наименьшее задерживающее напряжение, при котором фототок прекратится. Работа выхода электронов из калия равна 2,2 эВ.

203. Красная граница фотоэффекта для некоторого металла равна 500 нм. Определите: 1) работу выхода электронов из этого металла; 2) максимальную скорость электронов, вырываемых из этого металла светом с длиной волны 400 нм.

204. Выбиваемые светом при фотоэффекте электроны при облучении фотокатода видимым светом полностью задерживаются обратным напряжением U 0 = 1,2 В. Специальные измерения показали, что длина волны падающего света λ = 400 нм. Определите красную границу фотоэффекта.

205. Задерживающее напряжение для платиновой пластинки (работа выхода 6,3 эВ) составляет 3,7 В. При тех же условиях для другой пластинки задерживающее напряжение равно 5,3 В. Определите работу выхода электронов из этой пластинки.

206. Определите, до какого потенциала зарядится уединенный серебряный шарик при облучении его ультрафиолетовым светом длиной волны λ = 208 нм. Работа выхода электронов из серебра A = 4,7 эВ.

207. При освещении вакуумного фотоэлемента монохроматическим светом с длиной волны λ 1 = 0,4 мкм он заряжается до разности потенциалов φ 1 = 2 В. Определите, до какой разности потенциалов зарядится фотоэлемент при освещении его монохроматическим светом с длиной волны λ 1 = 0,3 мкм.

208. Плоский серебряный электрод освещается монохроматическим излучением с длиной волны λ = 83 нм. Определите, на какое максимальное расстояние от поверхности электрода может удалиться фотоэлектрон, если вне электрода имеется задерживающее электрическое поле напряженностью E = 10 В/см. Красная граница фотоэффекта для серебра λ 0 = 264 нм.

209. Фотоны с энергией ε = 5 эВ вырывают фотоэлектроны из металла с работой выхода A = 4,7 эВ. Определите максимальный импульс, передаваемый поверхности этого металла при вылете электрона.

210. При освещении катода вакуумного фотоэлемента монохроматическим светом с длиной волны λ = 310 нм фототок прекращается при некотором задерживающем напряжении. При увеличении длины волны на 25% задерживающее напряжение оказывается меньше на 0,8 В. Определите по этим экспериментальным данным постоянную Планка.

211. Определите максимальную скорость V max фотоэлектронов, вырываемых с поверхности цинка (работа выхода A = 4 эВ), при облучении у -излучением с длиной волны λ = 2,47 пм.

212. Определите для фотона с длиной волны λ = 0,5 мкм: 1) его энергию; 2) импульс; 3) массу.

213. Определите энергию фотона, при которой его эквивалентная масса равна массе покоя электрона. Ответ выразите в электрон-вольтах.

214. Определите, с какой скоростью должен двигаться электрон, чтобы его импульс был равен импульсу фотона, длина волны которого λ = 0,5 мкм.

215. Определите длину волны фотона, импульс которого равен импульсу электрона, прошедшего разность потенциалов U = 9,8 В.

216. Определите температуру, при которой средняя энергия молекул трехатомного газа равна энергии фотонов, соответствующих излучению λ = 600 нм.

217. Определите, с какой скоростью должен двигаться электрон, чтобы его кинетическая энергия была равна энергии фотона, длина волны которого λ = 0,5 мкм.