ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Рассмотрим эти предметы:

Строительный кирпич, игральный кубик, микроволновая печь. Эти предметы объединяет форма.

Поверхность, состоящая из двух равных параллелограммов АВСD и А1В1С1D1

и четырех параллелограммов АА1В1В и ВВ1С1С, СС1D1D, АА1D1D называется параллелепипедом.

Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются гранями. Грань А1В1С1D1. Грань ВВ1С1С. Грань АВСD.

При этом грани АВСD и А1В1С1D1 чаще называют основаниями, а остальные грани боковыми.

Стороны параллелограммов называются ребрами параллелепипеда. Ребро А1В1. Ребро СС1. Ребро АD.

Ребро СС1, не принадлежит основаниям, оно называются боковое ребро.

Вершины параллелограммов называют вершинами параллелепипеда.

Вершина D1. Вершина В. Вершина С.

Вершины D1 и В

не принадлежат одной грани и называются противоположными.

Параллелепипед можно изображать разными способами

Параллелепипед в основании, которого лежит ромб, При этом изображениями граней являются параллелограммы.

Параллелепипед в основании, которого лежит квадрат. Невидимые рёбра АА1, АВ, АD изображаются штриховыми линиями.

Параллелепипед в основании, которого лежит квадрат

Параллелепипед в основании, которого лежит прямоугольник или параллелограмм

Параллелепипед, у которого все грани квадраты. Чаще его называют кубом.

Все рассмотренные параллелепипеды обладают свойствами. Сформулируем и докажем их.

Свойство 1. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.

Рассмотрим параллелепипед АВСDА1В1С1D1 и докажем, например, параллельность и равенство граней ВВ1С1С и АА1D1D.

По определению параллелепипеда грань АВСD параллелограмм, значит по свойству параллелограмма ребро ВС параллельно ребру АD.

Грань АВВ1А1 тоже параллелограмм, значит ребра ВВ1 и АА1 параллельны.

Это означает что две пересекающиеся прямые ВС и BB1 одной плоскости соответственно параллельны двум прямым АD и АА1 соответственно другой плоскости, значит плоскости АВВ1А1 и ВСС1D1 параллельны.

Все грани параллелепипеда параллелограммы а значит ВС=АD, ВВ1 =АА1.

При этом стороны углов В1ВС и А1АD соответственно сонаправлены, значит они равны.

Таким образом, две смежные стороны и угол между ними параллелограмма АВВ1А1 соответственно равны двум смежным сторонам и углу между ними параллелограмма ВСС1D1, значит эти параллелограммы равны.

Параллелепипед обладает ещё свойством о диагоналях. Диагональю параллелепипеда называется отрезок соединяющий не соседние вершины. На чертеж пунктирной линией показаны диагонали В1D, BD1, А1С.

Итак, свойство 2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.

Для доказательства свойства рассмотрим четырехугольник ВВ1D1D. Его диагонали В1D, BD1 являются диагоналями параллелепипеда АВСDА1В1С1D1.

В первом свойстве мы уже выяснили, что ребро ВВ1 параллельно и равно ребру АА1, но ребро АА1 параллельно и равно ребру DD1. Следовательно рёбра ВВ1 и DD1 параллельны и равны, что доказывает четырехугольник ВВ1D1D- параллелограмм. А в параллелограмме по свойству диагонали В1D, BD1 пересекаются в некоторой точке О и этой точкой делятся пополам.

Четырехугольник ВС1D1А также является параллелограммом и его диагонали С1А, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Диагонали параллелограмма С1А, ВD1 являются диагоналями параллелепипеда, а значит сформулированное свойство доказано.

Для закрепления теоретических знаний о параллелепипеде рассмотрим задачу на доказательство.

На рёбрах параллелепипеда отмечены точки L,M,N,P так, что BL=CM=A1N=D1P. Доказать, что ALMDNB1C1P параллелепипед.

Грань ВВ1А1А параллелограмм, значит ребро ВВ1 равно и параллельно ребру АА1, но по условию отрезки BL и A1N, значит равны и параллельны отрезки LB1 и NA.

3)Следовательно, четырехугольник LB1NA по признаку параллелограмм.

4) Так как СС1D1D-параллелограмм, значит ребро СС1 равно и параллельно ребру D1D, а СМ равно D1P по условию, значит равны и параллельны отрезки МС1и DP

Следовательно, что четырехугольник MC1PD тоже параллелограмм.

5) Углы LB1N и MC1P равны как углы с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами.

6) Мы получили, что у параллелограммов и MC1PD соответствующие стороны равны и углы между ними равны, значит параллелограммы равны.

7) Отрезки равны по условию, значит BLMC- параллелограмм и сторона BC параллельна стороне LM параллельна стороне В1С1.

8) Аналогично из параллелограмма NA1D1P следует, что сторона A1D1 параллельна стороне NP и параллельна стороне AD.

9)Противоположные грани ABB1A1 и DCC1D1 параллелепипеда по свойству параллельны, а отрезки параллельных прямых заключенных между параллельными плоскостями равны, значит отрезки В1С1, LM, AD,NP равны.

Получено, что в четырехугольниках ANPD, NB1C1P, LB1C1M, ALMD две стороны параллельны и равны, значит они параллелограммы. Тогда наша поверхность ALMDNB1C1P состоит из шести параллелограммов, два из которых равны, а по определению это параллелепипед.

Или (равносильно) многогранник, у которого шесть граней и каждая из них - параллелограмм .

Типы параллелепипеда

Различается несколько типов параллелепипедов:

• Прямоугольный параллелепипед - это параллелепипед, у которого все грани - прямоугольники .
• Прямой параллелепипед - это параллелепипед, у которого 4 боковые грани прямоугольники.
• Наклонный параллелепипед - это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основаниям.

Основные элементы

Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противоположными, а имеющие общее ребро - смежными. Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противоположными. Отрезок , соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называют его измерениями.

Свойства

• Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
• Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
• Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
• Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Основные формулы

Прямой параллелепипед

Площадь боковой поверхности S б =Р о *h, где Р о - периметр основания, h - высота

Площадь полной поверхности S п =S б +2S о, где S о - площадь основания

Объём V=S о *h

Прямоугольный параллелепипед

Площадь боковой поверхности S б =2c(a+b), где a, b - стороны основания, c - боковое ребро прямоугольного параллелепипеда

Площадь полной поверхности S п =2(ab+bc+ac)

Объём V=abc, где a, b, c - измерения прямоугольного параллелепипеда.

Куб

Площадь поверхности : $S=6a^2$
Объём : $V=a^3$, где $a$ - ребро куба.

Произвольный параллелепипед

Объём и соотношения в наклонном параллелепипеде часто определяются с помощью векторной алгебры. Объём параллелепипеда равен абсолютной величине смешанного произведения трёх векторов, определяемых тремя сторонами параллелепипеда, исходящими из одной вершины. Соотношение между длинами сторон параллелепипеда и углами между ними даёт утверждение, что определитель Грама указанных трёх векторов равен квадрату их смешанного произведения :215 .

В математическом анализе

В математическом анализе под n-мерным прямоугольным параллелепипедом $B$ понимают множество точек $x\; =\; (x\_1,\backslash ldots,x\_n)$ вида $B\; =\; \backslash \{x|a\_1\backslash leqslant\; x\_1\backslash leqslant\; b\_1,\backslash ldots,a\_n\backslash leqslant\; x\_n\backslash leqslant\; b\_n\backslash \}$

Напишите отзыв о статье "Параллелепипед"

Примечания

Ссылки

Правильные Правильные невыпуклые Выпуклые Формулы , теоремы , теории Прочее

Отрывок, характеризующий Параллелепипед

– On dit que les rivaux se sont reconcilies grace a l"angine… [Говорят, что соперники примирились благодаря этой болезни.]
Слово angine повторялось с большим удовольствием.
– Le vieux comte est touchant a ce qu"on dit. Il a pleure comme un enfant quand le medecin lui a dit que le cas etait dangereux. [Старый граф очень трогателен, говорят. Он заплакал, как дитя, когда доктор сказал, что случай опасный.]
– Oh, ce serait une perte terrible. C"est une femme ravissante. [О, это была бы большая потеря. Такая прелестная женщина.]
– Vous parlez de la pauvre comtesse, – сказала, подходя, Анна Павловна. – J"ai envoye savoir de ses nouvelles. On m"a dit qu"elle allait un peu mieux. Oh, sans doute, c"est la plus charmante femme du monde, – сказала Анна Павловна с улыбкой над своей восторженностью. – Nous appartenons a des camps differents, mais cela ne m"empeche pas de l"estimer, comme elle le merite. Elle est bien malheureuse, [Вы говорите про бедную графиню… Я посылала узнавать о ее здоровье. Мне сказали, что ей немного лучше. О, без сомнения, это прелестнейшая женщина в мире. Мы принадлежим к различным лагерям, но это не мешает мне уважать ее по ее заслугам. Она так несчастна.] – прибавила Анна Павловна.
Полагая, что этими словами Анна Павловна слегка приподнимала завесу тайны над болезнью графини, один неосторожный молодой человек позволил себе выразить удивление в том, что не призваны известные врачи, а лечит графиню шарлатан, который может дать опасные средства.
– Vos informations peuvent etre meilleures que les miennes, – вдруг ядовито напустилась Анна Павловна на неопытного молодого человека. – Mais je sais de bonne source que ce medecin est un homme tres savant et tres habile. C"est le medecin intime de la Reine d"Espagne. [Ваши известия могут быть вернее моих… но я из хороших источников знаю, что этот доктор очень ученый и искусный человек. Это лейб медик королевы испанской.] – И таким образом уничтожив молодого человека, Анна Павловна обратилась к Билибину, который в другом кружке, подобрав кожу и, видимо, сбираясь распустить ее, чтобы сказать un mot, говорил об австрийцах.
– Je trouve que c"est charmant! [Я нахожу, что это прелестно!] – говорил он про дипломатическую бумагу, при которой отосланы были в Вену австрийские знамена, взятые Витгенштейном, le heros de Petropol [героем Петрополя] (как его называли в Петербурге).
– Как, как это? – обратилась к нему Анна Павловна, возбуждая молчание для услышания mot, которое она уже знала.
И Билибин повторил следующие подлинные слова дипломатической депеши, им составленной:
– L"Empereur renvoie les drapeaux Autrichiens, – сказал Билибин, – drapeaux amis et egares qu"il a trouve hors de la route, [Император отсылает австрийские знамена, дружеские и заблудшиеся знамена, которые он нашел вне настоящей дороги.] – докончил Билибин, распуская кожу.
– Charmant, charmant, [Прелестно, прелестно,] – сказал князь Василий.
– C"est la route de Varsovie peut etre, [Это варшавская дорога, может быть.] – громко и неожиданно сказал князь Ипполит. Все оглянулись на него, не понимая того, что он хотел сказать этим. Князь Ипполит тоже с веселым удивлением оглядывался вокруг себя. Он так же, как и другие, не понимал того, что значили сказанные им слова. Он во время своей дипломатической карьеры не раз замечал, что таким образом сказанные вдруг слова оказывались очень остроумны, и он на всякий случай сказал эти слова, первые пришедшие ему на язык. «Может, выйдет очень хорошо, – думал он, – а ежели не выйдет, они там сумеют это устроить». Действительно, в то время как воцарилось неловкое молчание, вошло то недостаточно патриотическое лицо, которого ждала для обращения Анна Павловна, и она, улыбаясь и погрозив пальцем Ипполиту, пригласила князя Василия к столу, и, поднося ему две свечи и рукопись, попросила его начать. Все замолкло.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Теорема. Во всяком параллелепипеде противоположные грани равны и параллельны.

Так, грани (рис.) BB 1 С 1 С и AA 1 D 1 D параллельны, потому, что две пересекающиеся прямые BB 1 и B 1 С 1 одной грани параллельны двум пересекающимся прямым AA 1 и A 1 D 1 другой. Эти грани и равны, так как B 1 С 1 =A 1 D 1 , B 1 B=A 1 A (как противоположные стороны параллелограммов) и ∠BB 1 С 1 = ∠AA 1 D 1 .

Теорема. Во всяком параллелепипеде все четыре диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

Возьмем (рис.) в параллелепипеде какие-нибудь две диагонали, например, AС 1 и DB 1 , и проведем прямые AB 1 и DС 1 .

Так как ребра AD и B 1 С 1 соответственно равны и параллельны ребру BС, то они равны и параллельны между собой.

Вследствие этого фигура ADС 1 B 1 есть параллелограмм, в котором С 1 A и DB 1 - диагонали, а в параллелограмме диагонали пересекаются пополам.

Это доказательство можно повторить о каждых двух диагоналях.

Поэтому диагональ AC 1 пересекается с BD 1 пополам, диагональ BD 1 с A 1 С пополам.

Таким образом, все диагонали пересекаются пополам и, следовательно, в одной точке.

Теорема. В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.

Пусть (рис.) AC 1 есть какая-нибудь диагональ прямоугольного параллелепипеда.

Проведя AC, получим два треугольника: AC 1 С и ACB. Оба они прямоугольные:

первый потому, что параллелепипед прямой, и следовательно, ребро СС 1 перпендикулярно к основанию,

второй потому, что параллелепипед прямоугольный, значит в основании его лежит прямоугольник.

Из этих треугольников находим:

AC 2 1 = AC 2 + СС 2 1 и AC 2 = AB 2 + BC 2

Следовательно, AC 2 1 = AB 2 + BC 2 + СС 2 1 = AB 2 + AD 2 + AA 2 1

Следствие. В прямоугольном параллелепипеде все диагонали равны .

Параллелепипедом называется призма, основаниями которой служат параллелограммы. При этом все грани будут параллелограммами .
Каждый параллелепипед можно рассматривать как призму тремя различными способами, так как за основания можно принять каждые две противоположные грани (на черт. 5 грани ABCD и A"B"C"D", или АВА"В" и CDC"D", или ВСВ"С" и ADA"D").
Рассматриваемое тело имеет двенадцать рёбер, по четыре равных и параллельных между собой.
Теорема 3 . Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке, совпадающей с серединой каждой из них.
Параллелепипед ABCDA"B"C"D" (черт. 5) имеет четыре диагонали AC", BD", CA", DB". Мы должны доказать, что середины двух каких-либо из них, например АС и BD", совпадают. Это следует из того, что фигура ABC"D", имеющая равные и параллельные стороны АВ и C"D", есть параллелограмм.
Определение 7 . Прямым параллелепипедом называется параллелепипед, являющийся одновременно и прямой призмой, т. е. параллелепипед, боковые рёбра которого перпендикулярны к плоскости основания.
Определение 8 . Прямоугольным параллелепипедом называется прямой параллелепипед, основанием которого служит прямоугольник. При этом все его грани будут прямоугольниками.
Прямоугольный параллелепипед представляет собой прямую призму, какую бы из его граней мы ни приняли за основание, так как каждое его ребро перпендикулярно к рёбрам, выходящим с ним из одной вершины, и будет, следовательно, перпендикулярно и к плоскостям граней, определяемых этими рёбрами. В противоположность этому прямой, но не прямоугольный, параллелепипед можно рассматривать как прямую призму только одним способом.
Определение 9 . Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, из которых никакие два не параллельны между собой (например трёх рёбер, выходящих из одной вершины), называются его измерениями. Два |прямоугольных параллелепипеда, имеющих соответственно равные изме- рения, очевидно, равны между собой.
Определение 10 .Кубом называется прямоугольный параллелепипед, все три измерения которого равны между собой, так что все его грани - квадраты. Два куба, рёбра которых равны между собой, равны.
Определение 11 . Наклонный параллелепипед, у которого все рёбра равны между собой и углы всех граней равны или пополнительны, называется ромбоэдром.
Все грани ромбоэдра - равные ромбы. (Форму ромбоэдра имеют некоторые кристаллы, имеющие большое значение, например кристаллы исландского шпата.) В ромбоэдре можно найти такую вершину (и даже две противололожные вершины), что все прилежащие к ней углы равны между собой.
Теорема 4 . Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны между собой. Квадрат диагонали равен сумме квадратов трёх измерений.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA"B"C"D" (черт. 6) диагонали АС" и BD" равны, так как четырёхугольник ABC"D" - прямоугольник (прямая АВ перпендикулярна к плоскости ВСВ"С", в которой лежит ВС").
Кроме того, AC" 2 =BD" 2 = AB2+AD" 2 на основании теоремы о квадрате гипотенузы. Но на основании той же теоремы AD" 2 = AA" 2 + +A"D" 2 ; отсюда имеем:
АС" 2 = АВ 2 + АА" 2 +A"D" 2 =АВ 2 + AA" 2 + AD 2 .