Логарифм числа. Свойства логарифмов.
ГБОУ ЦО № 173 Попова Л.А.
Определение логарифма
Логарифмом положительного числа b по основанию a, а>0,a≠1, называется показатель степени в которую надо возвести число a, чтобы получить число b.
Десятичный логарифм - это логарифм по основанию Обозначение:
Натуральный логарифм – это логарифм по основанию е (е - иррациональное число, приближенное значение которого: е=2,7.Обозначение:
Основное логарифмическое тождество
, где
Свойства логарифмов
Логарифм единицы
Логарифм произведения положительных чисел
Логарифм частного положительных чисел
Логарифм степени положительных чисел
Формула перехода от одного основания логарифма к другому
Следствия
Вычислите:
log 464=
52 5log53=
lg1=
lg0,1 =
log381=
lоg77 =
log1/216=
log12√ 144
lg3√100=
log1/31/81=
log1/21/32=
lоg5125
log23√2=
log1/749
lg0,001 =
log2 log 381=
lg10000=
log2 log 5625=
Устный счет
Формула перехода к десятичным и натуральным логарифмам
Замените данный логарифм логарифмом по основанию 3:
1.
2.
.3
4.
5.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ОТКРЫТОГО ЗАНЯТИЯ «Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Переход от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической форме, показательной форме и обратно»

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ОТКРЫТОГО ЗАНЯТИЯпо предмету: Элементы высшей математики (ЕН 01) по теме:«Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Переход от алгебраической формы...

Методические рекомендации по оказанию помощи в обеспечении жильем детей-сирот, детей, оставшихся без попечения родителей, и лиц из их числа (лицам из числа детей-сирот, социальным педагогам, педагогическим работникам, воспитателям, родителям (законным

Целью урока является повторение понятия логарифм. Научить студентов использовать свойства логарифма при вычислении значении логарифмических выражении. Ознакомитьстудентов исторической справкой изобрет...

Корень n-й степени из действительного числа и его свойства

Цели урока: Образовательная: формирование у учащихся целосного представления о корне n-ой степени....

ДЖОН НЕПЕР (1550-1617)

Шотландский математик –

изобретатель логарифмов.

В 1590-х годах пришел к идее

логарифмических вычислений

и составил первые таблицы

логарифмов, однако свой знаменитый

труд “Описание удивительных таблиц логарифмов” опубликовал лишь в 1614 году.

Ему принадлежит определение логарифмов, объяснение их свойств, таблицы логарифмов, синусов, косинусов, тангенсов и приложения логарифмов в сферической тригонометрии.

Из истории логарифмов

• Логарифмы появились 350 лет назад в связи с потребностями вычислительной практики.

• В те времена для решения задач астрономии и мореплавания приходилось производить весьма громоздкие вычисления.

• Известный астроном Иоганн Кеплер первым ввел в1624 году знак логарифма – log. Он применил логарифмы для нахождения орбиты Марса.

• Слово « логарифм» - греческого происхождения, что в переводе означает – отношение чисел

Определение

Логарифмом положительного числа b по основанию a, где а0, а ≠1 называется показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить b.

Вычислить:

log 2 16; log 2 64; log 2 2;

log 2 1 ; log 2 (1/2); log 2 (1/8);

log 3 27; log 3 81; log 3 3;

log 3 1; log 3 (1/9); log 3 (1/3);

log 1/2 1/32; log 1/2 4; log 0,5 0,125;

Log 0,5 (1/2); log 0,5 1; log 1/2 2.

Основное логарифмическое тождество

По определению логарифма

Вычислите:

3 log 3 18 ; 3 5log 3 2 ;

5 log 5 16 ; 0,3 2log 0,3 6 ;

10 log 10 2 ; (1/4) log (1/4) 6 ;

8 log 2 5 ; 9 log 3 12 .

При каких значениях х существует логарифм

Не существует ни при

каком х

1. Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов множителей.

log a (bc) = log a b + log a c

( b

c )

a log a (bc) =

a log a b

= a log a b + log a c

a log a c

a log a b

a log a c

1. Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов множителей. log a (bc) = log a b + log a c

Пример:

log a

= log a b - log a c

= a log a b - log a c

a log a b

a log a

a log a c

b = a log a b

c = a log a c

2. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя.

log a

= log a b – log a c,

a 0; a ≠ 1; b 0; c 0.

Пример:

3. Логарифм степени с положительным основанием равен показателю степени, умноженному на логарифм основания

log a b r = r log a b

Пример

a log a b =b

(a log a b ) r =b r

a rlog a b =b r

Формула перехода от одного основания

логарифма к другому, примеры.

Практическое применение логарифмов

Логарифмические функции распространены чрезвычайно широко как в математике, так и в естественных науках. Ряд явлений природы помогает описать логарифмическая зависимость. Иначе говоря, математики, пытаясь составить математическую модель того или иного явления, достаточно часто обращаются именно к логарифмической функции.

Одним из наиболее наглядных примеров является логарифмическая спираль. Спираль в одну сторону развертывается до бесконечности, а вокруг полюса, напротив, закручивается, стремясь к нему, но не достигая.

Раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причем рост совершается так, что сохраняется подобие раковины с её первоначальной формой. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали. Биология

Один из наиболее распространенных пауков, эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмическим спиралям. Биология

Рога таких млекопитающих, как горные козлы, закручены по логарифмической спирали В подсолнухе семечки расположены по дугам, близким к логарифмической спирали. Биология

Механика и физика Принцип Больцмана в статистической термодинамике - одна из важнейших функций состояния термодинамической системы, характеризующая степень её хаотичности. Формула Циолковского применяется для расчёта скорости ракеты.

Единицей громкости звука служит «бел», практически - его десятая доля, «децибел». Разности громкостей в 1 бел отвечает отношение силы шумов 10. Значит, громкость шума, выраженная в белах, равна десятичному логарифму его физической силы.

Химия Водородный показатель, " pH ", - это мера активности ионов водорода в растворе, количественно выражающая его кислотность, вычисляется как отрицательный десятичный логарифм концентрации водородных ионов, выраженной в молях на литр

Астрономия По логарифмическим спиралям закручены и многие Галактики, в частности Галактика, которой принадлежит Солнечная система.

Астрономы распределяют звезды по степеням видимой яркости на светила первой величины, второй величины, третьей и т. д. Легко понять, что «величина» звезды представляет собой не что иное, как логарифм ее физической яркости. Оценивая видимую яркость звезд, астроном оперирует с таблицей логарифмов, составленной при основании 2,5.

Музыка «Ступени " темперированной хроматической гаммы не расставлены на равных расстояниях ни по отношению к числам колебаний, ни по отношению к длинам волн соответствующих звуков, а представляют собой логарифмы этих величин. Отсюда видим, что номера клавишей рояля представляют собой логарифмы чисел колебаний соответствующих звуков.

География Рихтер предложил для оценки силы землетрясения (в его эпицентре) десятичный логарифм перемещения (в микрометрах) иглы стандартного сейсмографа Вуда-Андерсона, расположенного на расстоянии не более 600 км от эпицентра.

Психология Закон Вебера - Фехнера - эмпирический психофизиологический закон, заключающийся в том, что интенсивность ощущения пропорциональна логарифму интенсивности раздражителя.

Психология Закон Фи́ттса - общий закон, связывающий время движения с точностью движения и с расстоянием перемещения: чем дальше или точнее выполняется движение, тем больше коррекции необходимо для его выполнения, и соответственно, больше времени требуется для внесения этой коррекции

Психология Время на принятие решения при наличии выбора можно оценить по закону Хикса.

Информатика Применяется для вычисления основной единицы – бита. Бит - это двоичный логарифм вероятности равновероятных событий или сумма произведений вероятности на двоичный логарифм вероятности при равновероятных событиях

Источники информации: http://ru.wikipedia.org/wiki/ http://s_2_petrop.ven.edu54.ru/p89aa1.html http://images.yandex.ru/?uinfo=ww-1341-wh-591-fw-1274-fh-448-pd-1

Логарифмы – прихоть математиков или жизненная необходимость?

Логарифмы – это рифмы,

Словно в музыке слова.

С ними проще вычисленья –

Не сложней, чем дважды два.

Л. Нестерова

Заседание «Учебного совета»

• Систематизируем и расширим знания по теме «Логарифмы»;
• Рассмотрим практическое и теоретическое применение логарифмов;
• Решим логарифмы из заданий ЕГЭ;
• И просто отдохнем вместе с логарифмами.

План заседания:

Приветственная речь

председателя Ученого Совета

Введение в мир логарифмов с математической точки зрения

Черно- белое оппонирование

История развития логарифмов. Логарифм-это занимательно?!

Черно- белое оппонирование

Логарифм- это обычное математическое понятие или нечто большее?

Черно- белое оппонирование

Логарифм в заданиях ЕГЭ.

Мини-соревнования

Рефлексия

Математики - теоретики

Историки

Делимся на группы

Науковеды

Математики - практики

Группа «Математики-теоретики»

Логарифмы в математике

Определить необходимость изучения логарифмов в математике

Слово «логарифм» происходит от греческих слов  - число и  - отношение . Переводится как «отношения чисел», одно из которых является членом арифметической прогрессии, а другое –геометрической.

Словарь русского языка С. И. Ожегова

Логарифм - в математике: показатель степени, в которую надо возвести число, называемое основанием, чтобы получить данное число.

Толковый словарь живого великорусского языка" В. Даль

Логарифм . Если под рядом чисел геометрической прогрессии (лествицы) выставить ряд отвечающих им чисел арифметической прогрессии, то каждое из последних будет логарифмом дружки своей, в первом порядке; сим способом умножение обращают в сложение, деление в вычитанье, что и облегчает выкладки.

«Осознав, что в математике нет ничего более скучного и утомительного, чем умножение, деление, извлечение квадратных и кубических корней, и что названные операции являются бесполезной тратой времени и неиссякаемым источником неуловимых ошибок, я решил найти простое и надежное средство, чтобы избавиться от них».

Джон Непер, «Канон о логарифмах»

Джон Непер (1550-1617)

Генри Бригс (1561-1631)

Бригсов логарифм - то же, что десятичный логарифм.

Назван по имени Г. Бригса

Десятичный логарифм - логарифм по основанию 10. Десятичный логарифм числа а обозначают lgа

Неперов логарифм - (по имени Дж. Непера), то же, что натуральный логарифм

Натуральный логарифм - логарифм, основание которого - неперово число е = 2,718 28... Натуральный логарифм числа а обозначают ln а.

В мире нет ничего, кроме Красоты.

В Красоте нет ничего, кроме Формы.

В Форме нет ничего, кроме пропорций.

В пропорциях нет ничего, кроме Числа.

Пифагор

«Золотые» логарифмы – это логарифмы с основанием равным числу

Ф (1, 6180339) описываются формулой

log Ф M = P

Три основания логарифмов:

10,000 ; 3,838 ; 2,71 .

Во-первых , логарифмы и сегодня позволяют упрощать вычисления.

Во-вторых , испокон веков целью математической науки было помочь людям узнать больше об окружающем мире, познать его закономерности и тайны.

Логарифмы – важные составляющие не только математики, но и всего окружающего мира, поэтому интерес к ним не ослабевает с годами и их необходимо продолжать изучать.

Группа «Историки»

История появления логарифмов

Установить картину возникновения понятия «логарифм»

Проект предполагает сбор и анализ данных, их представление в четком визуальном виде и направлен на формирование понимания содержательного смысла термина «логарифм»

Кем и когда были введены логарифмы?

Изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлило ему жизнь.

П. С. Лаплас

Архиме́д (III в. до н.э.) - древнегреческий физик, механик и инженер из Сиракуз.

Продолжил работу в XVI веке шотландский барон Непер

Непер Джон (1550-1617) - шотландский математик, изобретатель логарифмов. Учился в Эдинбургском университете. Основными идеями учения о логарифмах Непер овладел не позднее 1594, однако его «Описание удивительной таблицы логарифмов», в котором изложено это учение, было издано в 1614.

В этом труде содержались определение логарифмов, объяснение их свойств, таблицы логарифмов синусов, косинусов, тангенсов и приложения логарифмов в сферической тригонометрии.

Непер вошёл в историю как изобретатель замечательного вычислительного инструмента - таблицы логарифмов. Это открытие вызвало гигантское облегчение труда вычислителя.

В честь Джона Непера названы:

• В честь Джона Непера названы:

• кратер на Луне;

• астероид 7096 Непер;
• логарифмическая безразмерная единица, измеряющая отношение двух величин;
• университет в Эдинбурге

Логарифмическая линейка - инструмент вычислений

В 1623 г. английский математик Д. Гунтер изобрёл первую логарифмическую линейку, ставшую рабочим инструментом для многих поколений.

Принцип действия логарифмической линейки основан на том, что умножение и деление чисел заменяется соответственно сложением и вычитанием их логарифмов.

При помощи таких логарифмических линеек советские инженеры выполняли расчеты при проектировании зданий, сооружений, крупных промышленных объектов, возводимых в СССР, новых самолетов, машин, кораблей. Ее использовали бухгалтеры и специалисты, которых сейчас назвали бы менеджерами. Когда-то логарифмические линейки значительно облегчали жизнь и студентам.

Ныне неумолимый прогресс предал логарифмические линейки забвению и оставил им место только на музейной полке.

Знаменитости и спираль

Впервые о логарифмической спирали говорится в письме французского математика Рене Декарта в 1638 г.

Великий немецкий поэт Иоганн Вольфганг Гете считал логарифмическую спираль математическим символом жизни.

Логарифмическая спираль так поразила математика Якоба Бернулли, что он завещал высечь ее изображение на своем надгробном камне вместе с надписью на латинском «Измененная, возрождаюсь прежней».

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ «КОМЕДИЯ 2 3»

Комедия начинается с неравенства бесспорно правильного.

Затем следует преобразование тоже не внушающее сомнение.

Большему числу соответствует больший логарифм, значит,

После сокращения на lg получаем: 23.

В чем ошибка этого рассуждения?

Ошибка в том, что lg

Группа «Науковеды»

Логарифмы - это обычные математические понятия или нечто большее?!

В каких науках применяются логарифмы

Как многие реальные объекты астрономии, биологии, физики, химии и других естественных наук связаны с логарифмами?

«Изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлило ему жизнь».

Во II веке до н.э. Гиппарх разделил звезды на 6 групп. Самые яркие – звезды 1-ой величины, самые слабые – 6-ой величины.

Установлено, что звезда 1-ой вел. ярче звезды 6-ой вел. ровно в 6 раз.

• звезда 1 вел. ярче зв. 2 вел. в 2,512;
• звезда 1 вел. ярче зв. 3 вел. В 2,512 2 ;

Область применения логарифмов весьма разнообразна: математика, литература, биология, психология, сельское хозяйство, музыка, астрономия, физика

Так что астрологи, оценивая видимую яркость звезд, оперируют с таблицей логарифмов, составленный

при основании 2,512.

«Величина» звезды есть не что иное, как логарифм ее физической яркости.

• Водородный показатель pH - это мера активности ионов водорода в растворе, количественно выражающая его кислотность, вычисляется как отрицательный десятичный логарифм концентрации водородных ионов, выраженной в молях на литр:
• pH = -lg

Логарифмическая спираль в технике

И эту спираль мы повсюду встречаем: К примеру, ножи в механизме вращая. В изгибе трубы мы ее обнаружим - Турбины тогда максимально послужат!

Величина ощущения пропорциональна логарифму величины раздражения

Номера клавишей рояля представляют собой логарифмы чисел колебаний соответствующих звуков.

• Один из наиболее распространенных пауков ЭПЕЙРА, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмической спирали

• По логарифмическим спиралям закручены и многие галактики, в частности, галактика, которой принадлежит Солнечная Система

Спиральная галактика Водоворот

Любопытная задача, взятая из книги “Господа Головлевы” Салтыкова-Щедрина:

“ Порфирий Владимирович сидит у себя в кабинете, исписывая цифирными выкладками листы бумаги. На этот раз его занимает вопрос: Сколько было бы у него денег, если бы маменька подаренные ему при рождении дедушкой на зубок 100 рублей не присвоила себе, а положила в ломбард на имя малолетнего Порфирия? Выходит, однако, немного: всего 800 рублей?

Предполагая, что Порфирию в момент расчета было 50 лет, и, сделав допущение, что он произвел вычисления правильно (допущения маловероятное, т.к. едва ли Головлев знал логарифмы и умел вычислять сложные проценты), требуется установить, сколько % платил в то время ломбард.

Однако в начале XXI века логарифмические линейки получили второе рождение в наручных часах . Дело в том, что следуя моде производители дорогих и престижных марок часов перешли от электронных хронометров с ЖК- экранами к стрелочным и соответственно места для встраиваемого калькулятора оказалось недостаточно. Однако спрос на хронометры со встроенным вычислительным устройством среди следящих за модой людей заставил производителей часов выпустить модели с встроенной логарифмической линейкой выполненной в виде вращающихся колец со шкалами вокруг циферблата.

Поистине безграничны приложения логарифмической функции и логарифмов в самых различных областях науки и техники.

Многообразное применение функции вдохновило английского поэта Э. Брилла на написание оды о логарифмах.

Были поэты, которые не посвящали логарифмам целых од, но упоминали их в своих стихах. Известный поэт Борис Слуцкий в своём нашумевшем стихотворении «Физики и лирики» писал:

«Потому-то, словно пена,

Опадают наши рифмы

И величие степенно

Отступает в логарифмы».

Выполняя данную работу, мы сделали для себя открытие, что логарифмы и логарифмическая функция помогли человеку следовать путём технического прогресса и объяснить многие тайны природы, человеческих ощущений. Быть может человечество стоит на пороге новых революционных открытий, и поможет нам в этом «царица наук»- математика!

Группа «Математики-практики»

Цель нашей работы:

показать решение примеров, взятых из заданий ЕГЭ.

Мы поставили перед собой задачу:

показать, что знания о логарифмах необходимы и на ЕГЭ по математике.

Только зная все свойства логарифма, можно научиться решать примеры

log

a

=

log

+

b

с

log

с

b

log

=

a

a

a

a

log

b

b

b

b

a

=

log

–

b

a

a

с

log

a

=

log

с

a

a

a

b

log

b

log

log

c

b

log

b

=

=

b

a

a

a

a

log

log

b

c

log

b

log

a

=

r

b

a

log

b

r

log

b

=

a

a

b

log

log

b

=

r

r

a

r

a

Вывод:

логарифмы – важные составляющие не только математики, но и всего окружающего мира, поэтому интерес к ним не ослабевает с годами и их необходимо продолжать изучать.

Мини – соревнования

Конкурс №1

Назовите фамилию математика, который продолжил работу Непера по созданию таблиц логарифмов?

Ключ к ответу:

Ответ: Бригс

Конкурс №2

Укажите географические координаты острова Ян - Майен, где проживал Непер – создатель логарифмов.

Географические координаты:

х °00′ северной широты, у °00′ западной долготы.

Чтобы найти х и у, решите уравнения:

71°00′ северной широты, 8°00′ западной долготы

Черный ящик

Здесь лежит результат деятельности многих ученых. То, что здесь находится использовалось в учебных заведениях и инженерных расчетах до конца прошлого века.

Здесь лежит, то что еще в 20 годах 17 века придумал английский математик Уильям Отред.

о с н в а н и е

ч а с т н о о

п о к з а т е л ь

д е с я т ч н ы й

л о г а р и м и р о в а н и е

Любимая цифра

А теперь возьмите, пожалуйста, ручки и запишите свою любимую цифру.

Умножьте эту цифру на 9. Полученное число умножьте на 12345679.

Если Вы сделали правильно, то у Вас получится букет из Ваших любимых цифр. А теперь припишите справа к полученному числу 9 нулей. Пусть в Вашей жизни будет столько счастливых дней.

Описание:

Проведение уроков с использованием этого методического материала даст понятие ученикам с использованием визуальных изображений и логически выстроенного материала. Использование для примеров подробно расписанные решенные задания вместе с иллюстрациями графиков поможет разобраться каждому ученику. Задачи типовые и разделены по группам. Это помогает системно изучить поданный материал и позволяет увидеть возможные виды заданий, встречающиеся наиболее часто и возможные методы решения.

Частями презентации являются:

• Как определять логарифм по основанию.
• Рассказывается о восьми свойствах логарифма, которые являются основными.
• Рассказывается о натуральных и десятичных логарифмах.
• Уделяется внимание самой логарифмической функции и ее свойствам.
• Практически иллюстрируется методика решения уравнений, систем уравнений, а также, неравенств.

Презентацию будет удобно использовать не только в качестве своевременного обучающего источника информации на уроке, а и во время повторного восстановления в памяти материала у ученика.

Категория:

Слайды:

Информация:

• Дата создания материала: 07 Мая 2013 г.
• Слайды: 10 слайдов
• Дата создания файла презентации: 07 Мая 2013 г.
• Размер презентации: 22 Кб
• Тип файла презентации: .rar
• Скачана: 692 раза
• Последний раз скачана: 17 Октября 2019 г., в 21:35
• Просмотров: 3471 просмотр