К базису {е 1 , ..., е п )модуля Еотносительно формы f - такой базис {c 1 , ..., с п } модуля Е, что

где Е- свободный K-модуль над коммутативным кольцом Кс единицей, а f - неособая на Е.

Пусть Е* -модуль, сопряженный к Е, a {e* 1 , . . ., е* п )- базис Е*, сопряженный к исходному базису Е: е i * (е i )=1, е i * (е i ) = 0, . Тогда каждой билинейной форме f на Еотвечают отображения j f , y f : определяемые равенствами

Если f неособая, то каждое из отображении , j f y f является изоморфизмом, и обратно. При этом двойственный к { е 1 , ..., е п }базис {c i . . ., с п }характеризуется тем свойством, что

Е. Н. Кузьмин.

Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .

Смотреть что такое "ДВОЙСТВЕННЫЙ БАЗИС" в других словарях:

Множества X минимальное порождающее его подмножество В. Порождение означает, что применением операций нек рого класса к элементам получается любой элемент Это понятие связано с понятием зависимости: элементы Xпосредством операций из ставятся в… … Математическая энциклопедия

В математике инвариант Казимира, или оператор Казимира примечательный элемент центра универсальной обёртывающей алгебры алгебры Ли. Примером является квадрат оператора момента импульса, который является инвариантом Казимира 3 х мерной группы… … Википедия

Или двойственное пространство пространство линейных функционалов на данном линейном пространстве. Содержание 1 Линейно сопряжённое пространство определение 2 Свойства … Википедия

Не путать с «симплекс методом» методом оптимизации произвольной функции. См. Метод Нелдера Мида Симплекс метод алгоритм решения оптимизационной задачи линейного программирования путём перебора вершин выпуклого многогранника в… … Википедия

Планарный граф, граф, допускающий правильную укладку на плоскости (см. Графа укладка). Иными словами, граф G наз. плоским, если он может быть изображен на плоскости так, что вершинам соответствуют различные точки плоскости, а линии,… … Математическая энциклопедия

Биография. Учение Маркса. Философский материализм. Диалектика. Материалистическое понимание истории. Классовая борьба. Экономическое учение Маркса. Стоимость. Прибавочная стоимость. Социализм. Тактика классовой борьбы пролетариата … Литературная энциклопедия

Дифференциально алгебраический метод исследования систем дифференциальных уравнений и многообразий с различными структурами. Алгебраич. основу метода составляет алгебра Грассмана. Пусть Vесть 2n мерное векторное пространство над произвольным… … Математическая энциклопедия

Якобиан, алгебраической кривой S главно поляризованное абелево многообразие сопоставляемое этой кривой. Иногда Я. м. является просто коммутативной алгебраич. группой. Если S гладкая проективная кривая рода. над полем С или, в классич.… … Математическая энциклопедия

ОТНОШЕНИЯ ОБЩЕСТВЕННЫЕ отношения, включающие в качестве своих элементов: 1) субъектов с их статусами и ролями, ценностями и нормами, потребностями и интересами, стимулами и мотивами; 2) содержание деятельности субъектов и их взаимодействий,… … Философская энциклопедия

Содержание: I. Р. Современный; II. История города Р.; III. Римская история до падения западной Р. империи; IV. Римское право. I. Рим (Roma) столица Итальянского королевства, на реке Тибре, в так называемой Римской Кампанье, под 41°53 54 северной… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Дуальный базис

Часто тензор представляют как многомерную таблицу (где d - размерность векторного пространства , над которым задан тензор, а число сомножителей совпадает с «валентностью тензора»), заполненную числами (компонентами тензора ).

Такое представление (за исключением тензоров валентности ноль - скаляров) возможно только после выбора базиса (или системы координат), при смене базиса компоненты тензора меняются определённым образом. При этом сам тензор как «геометрическая сущность» от выбора базиса не зависит. Это можно увидеть на примере вектора , являющегося частным случаем тензора: компоненты вектора меняются при смене координатных осей, но сам вектор - наглядным образом которого может быть просто нарисованная стрелка - от этого не изменяется.

Термин «тензор» также зачастую служит сокращением для термина «тензорное поле», изучением которых занимается тензорное исчисление .

Определения

Современное определение

Тензор ранга (n ,m ) над d -мерным векторным пространством V есть элемент тензорного произведения m пространств V и n сопряжённых пространств V * (то есть пространств линейных функционалов (1-форм) на V )

Сумма чисел n + m называется валентностью тензора (её также часто называют рангом). Тензор ранга (n ,m ) также называется n раз ковариантным и m раз контравариантным .

Тензор как полилинейная функция

Точно так же как ковариантный тензор ранга (1,0) можно представлять как линейный функционал , тензор τ ранга (n ,0) удобно представлять себе как функцию от n векторных аргументов , которая линейна по каждому аргументу v i (такие функции называются полилинейными), то есть для любой константы c из поля F (над которым определено векторное пространство)

В том же ключе, тензор τ произвольного ранга (n ,m ) представляется полилинейным функционалом от n векторов и m ковекторов:

Компоненты тензора

Выберем в пространстве V базис , и соответственно - дуальный базис в сопряженном пространстве V * (то есть , где - символ Кронекера).

Тогда в тензорном произведении пространств естественным образом возникает базис

Если определить тензор как полилинейную функцию, то его компоненты определяются значениями этой функции на базисе :

После этого тензор можно записать как линейную комбинацию базисных тензорных произведений:

Нижние индексы компонент тензора называются ковариантными, а верхние - контравариантными. Например, разложение некоторого дважды ковариантного тензора h будет таким:

О классическом определении

Классический подход к определению тензора, более распространённый в физической литературе, начинает с представления тензоров в компонентах. Тензор определяется как геометрический объект, который описывается многомерным массивом , то есть набором чисел, занумерованных несколькими индексами, или, иначе говоря, таблицей (вообще говоря, n -мерной, где n - валентность тензора (см. выше)).

Основными тензорными операциями являются сложение, в этом подходе сводящееся к покомпонентному сложению, аналогично векторам, и свёртка - с векторами, между собой и сами с собой, обобщающая матричное умножение, скалярное произведение векторов и взятие следа матрицы. Умножение тензора на число (на скаляр) можно при желании считать частным случаем свёртки, оно сводится к покомпонентному умножению.

Значения чисел в массиве, или компоненты тензора , зависят от системы координат, но при этом сам тензор, как геометрическая сущность , от них не зависит. Под проявлениями этой геометрической сущности можно понимать много что: различные скалярные инварианты, симметричность/антисимметричность индексов, соотношения между тензорами и другое. Например, скалярное произведение и длина векторов не меняется при поворотах осей, а метрический тензор всегда остаётся симметричным. Свёртки любых тензоров с самими собой и/или другими тензорами (в том числе векторами), если в результате не осталось ни одного индекса, являются скалярами, то есть инвариантами относительно замены координат: это общий способ постороения скалярных инвариантов.

При замене системы координат компоненты тензора преобразуются по определённому линейному закону.

Зная компоненты тензора в одной координатной системе, всегда можно вычислить его компоненты в другой, если задана матрица преобразования координат. Таким образом, второй подход можно суммировать в виде формулы:

Следует заметить, что при этом подразумевается, что все тензоры (все тензоры над одним векторным пространством), независимо от их ранга (то есть и векторы в том числе), преобразуются через одну и ту же матрицу преобразования координат (и дуальную ей, если есть верхние и нижние индексы). Компоненты тензора, таким образом, преобразуется по тому же закону, что и соответствующие компоненты тензорного произведения векторов (в количестве, равном валентности тензора), учитывая ковариантность-контравариантность компонент.

Например, компоненты тензора

преобразуется так же, как компоненты тензорного произведения трёх векторов, то есть как произведение компонент этих векторов

Так как преобразование компонент вектора известно, то таким образом можно легко сформулировать простейший из вариантов классического определения тензора.

Примеры

Как следует из определения, компоненты тензора должны меняться определённым образом синхронно с компонентами векторов того пространства, на котором он определён, при преобразовании координат. Поэтому не любая табличка или величина с индексами, выглядящая как представление тензора, на самом деле представляет тензор.

• Простым, хотя в целом несколько искусственным, примером такой таблички, не представляющей тензор, может быть табличка, компоненты которой представляют набор произвольных чисел, никак не меняющихся при произвольных преобразованиях координат. Такой объект не представляет тензора, или, во всяком случае, не представляет тензора на линейном пространстве, в котором произошло преобразование координат. Так, набор из трёх чисел не представляет трёхмерного вектора, если эти числа не преобразуются при замене координат совершенно определённым образом.

• Также в общем случае подмножество компонент тензора высшего ранга не является тензором низшего ранга.
• Не представляет тензора также объект, все компоненты которого нули хотя бы в одной невырожденной системе координат (в полном базисе), тогда как в другой хотя бы одна компонента ненулевая. Этот факт - следствие (поли-)линейности тензоров.

Существуют объекты, которые не только похожи на тензоры, но для которых определены (и имеют разумный и корректный смысл) тензорные операции (свёртка с другими тензорами, в частности, с векторами), однако при этом тензорами не являющиеся :

• Прежде всего к тензорам не относятся сами матрицы (матрицы Якоби) преобразования координат, являющегося частным случаем диффеоморфизма между двумя многообразиями, с помощью которых и вводится классическое определение тензора, хотя по многим своим свойствам они напоминают тензор. Для них также можно ввести верхние и нижние индексы, операции умножения, сложения и свёртки. Однако, в отличие от тензора, компоненты которого зависят лишь от координат на заданном многообразии, компоненты матрицы Якоби также зависят от координат на многообразии-образе. Это различие очевидно в том случае, когда рассматриваются матрицы Якоби диффеоморфизма двух произвольных многообразий, однако при отображении многообразия в себя его можно не заметить, так как касательные пространства образа и прообраза изоморфны (не канонически). Тем не менее, оно сохраняется. Аналогию между матрицами Якоби и тензорами можно развить, если рассматривать произвольные векторные расслоения над многообразием и их произведения, а не только касательное и кокасательное расслоение.

Тензорные операции

Тензоры допускают следующие алгебраические операции:

• Умножение на скаляр - как и вектор или скаляр (частные случаи тензора);

• Сложение тензоров одинаковой валентности и состава индексов (вычислять сумму можно покомпонентно, как и для векторов);
  • Наличие умножения на скаляр и сложения тензоров делают пространство тензоров одного и того же типа линейным пространством .

Симметрии

В различного рода приложениях часто возникают тензоры с определённым свойством симметрии .

Симметричным по двум ко-(контра-)вариантным индексам называется тензор, который удовлетворяет следующему требованию:

или в компонентах

Линейные операторы квантовой механики , конечно, также могут быть интерпретированы как тензоры над некими абстрактными пространствами (пространствами состояний), но традиционно такое применение термина тензор практически не используется, как и вообще крайне редко используется для описания линейных операторов над бесконечномерными пространствами. Вообще в физике термин тензор имеет тенденцию применяться только к тензорам над обычным физическим 3-мерным пространством или 4-мерным пространством-временем, или, в крайнем случае, над наиболее простыми и прямыми обобщениями этих пространств, хотя принципиальная возможность применения его в более общих случаях не является секретом.

Примерами тензоров в физике являются:

• метрический тензор над псевдоримановым 4-мерным многообразием, являющийся в ОТО развитием понятия ньютоновского гравитационного потенциала.
• выражающийся через него тензор Римановой кривизны и его свёртки, связанные в этой же теории с энергией гравитационного поля и непосредственно входящие в основное уравнение теории .
• тензор электромагнитного поля над пространством Минковского, содержащий напряженности электрического и магнитного поля и являющийся главным объектом классической электродинамики в 4-мерной записи. В частности, уравнения Максвелла записываются с его помощью в виде единственного 4-мерного уравнения.
• напряжения и деформации в теории упругости описываются тензорами над 3-мерным евклидовым пространством. То же касается таких величин, как модули упругости.
• едва ли не большинство величин, являющихся скалярными характеристиками вещества в случае изотропности последнего, являются тензорами в случае анизотропного вещества. Говоря конкретнее, это относится к субстанциальным коэффициентам, связывающим векторные величины или стоящие перед произведениями (в частности, квадратами) векторов. Примерами могут быть удельная электропроводность (также и обратное ей удельное сопротивление), теплопроводность , диэлектрическая восприимчивость и диэлектрическая проницаемость , скорость звука (зависящая от направления) и т. д.
• в механике абсолютно твердого тела важнейшую роль играет тензор инерции , связывающий угловую скорость с моментом импульса и кинетической энергией вращения. Этот тензор отличается от большинства других тензоров в физике, представляющих собой, вообще говоря, тензорные поля, тем, что один тензор характеризует одно абсолютно твердое тело, полностью определяя, вместе с массой, его инерцию.
• аналогичным свойством обладают тензоры, входящие в мультипольное разложение: всего один тензор целиком представляет момент распределения зарядов соответствующего порядка в данное время.
• часто в физике полезен псевдотензор Леви-Чивиты , входящий, например, в координатную запись векторного и смешанного произведений векторов. Компоненты этого тензора всегда записываются практически одинаково (с точностью до скалярного множителя, зависящего от метрики), а в правом ортонормированном базисе - совершенно одинаково всегда (каждая равна 0, +1 или −1).

Нетрудно заметить, что большинство тензоров в физике (не рассматривая скаляров и векторов) имеют всего два индекса. Тензоры, имеющие большую валентность (такие, как тензор Римана в ОТО) встречаются, как правило, только в теориях, считающихся достаточно сложными, да и то нередко фигурируют в основном в виде своих свёрток меньшей валентности. Большинство симметрично или антисимметрично.

Простейшей иллюстрацией, позволяющей понять физический (и отчасти геометрический) смысл тензоров, а более точно - симметричных тензоров второго ранга, будет, вероятно, рассмотрение тензора (удельной) электропроводности σ . Интуитивно понятно, что анизотропная среда, например, кристалл, или даже какой-то специально изготовленный искусственный материал, не будет в общем случае проводить ток одинаково легко во всех направлениях (например, из-за формы и ориентации молекул, атомных слоев или каких-то надмолекулярных структур - можно представить себе, например, тонкие проволочки хорошо проводящего металла, одинаково ориентированные и вплавленные в плохо проводящую среду). Возьмем за основу для простоты и конкретности, последнюю модель (хорошо проводящие проволочки в плохо проводящей среде). Электропроводность вдоль проволочек будет большой, назовем ее σ 1 , а поперек - маленькой, обозначим ее σ 2 . (Ясно, что в общем случае (например, когда проволочки сплюснуты в сечении и эта сплюснутость также ориентирована у всех проволочек одинаково, электропроводность σ 3 будет отличаться от σ 2 , в случае же круглых равномерно распределенных проволочек - σ 2 = σ 3 , но не равны σ 1 ). Довольно нетривиальный в общем случае, но довольно очевидный в нашем примере, факт состоит в том, что найдутся три взаимно перпендикулярных направления, для которых связь вектора плотности тока и напряженности вызывающего его электрического поля будут связаны просто числовым множителем (в нащем примере - это направление вдоль проволочек, второе - вдоль их сплюснутости и третье перепендикулярное первым двум). Но любой вектор можно разложить на компоненты по этим удобным направлениям:

тогда можно для каждой компоненты записать:

И мы увидим, что для любого направления, не совпадающего с 1, 2 и 3, вектор уже не будет совпадать по направлению с , если только не равны хотя бы два из σ 1 , σ 2 и σ 3 .

Переходя к произвольным декартовым координатам, не совпадающим с этими выделенными направлениями, мы вынуждены будем включить матрицу поворота для преобразования координат, и поэтому в произвольной системе координат соотношение между и будет выглядеть так:

то есть тензор электропроводности будет представлен симметричной матрицей .

Определение 10.1. Отображение f: L → R которое опрелено на линейном пространстве L и принимает действительные значения, называют линейной функцией (также линейной формой, линейным функционалом) , если оно у довлев творяет двум условиям:

а) f(x + у) = f(x) + f(x), х,у ∈ L;

б) f(λx) = λf(x), х ∈ L,λ ∈ R.

Сравнив данное определение с определением 4.1 линейного оператора , увидим много общего. Бели рассматривать множе-ство действительных чисел как одномерное линейное простран-ство, то можно сказать, что линейная функция - это линейный оператор, пространство образов которого одномерно.

Выберем в линейном пространстве L некоторый базис е = (e 1 ... е n). Тогда для любого вектора х ∈ L с координатами х = (х 1 ; ... х n) T

f(x) = f(x 1 e 1 +... + x n e n) = xi 1 f(e 1) + ... + x n f(e n) = a 1 x 1 + ... + a n x n = ax,

где a = (ai ... an), a* = /(e*), i = 1, n. Поэтому линейная функция однозначно определяется своими значениями на базисных векторах. Наоборот, если функция /(ж) через координаты х вектора ж выражается в виде /(ж) = аж, то эта функция ли-нейная, а строка а составлена из значений этой функции на базисных векторах. Таким образом, между множеством линей-ных форм, заданных на линейном пространстве £, и строками длины п установлено взаимно однозначное соответствие.

Линейные формы можно складывать и умножать на действительные числа согласно правилам:

(f + g)(x)=f(x)+g(x), (λf)(x) = λf(x).

Введенные таким способом операции превращают множество линейных форм в пространстве L в линейное пространство. Это линейное пространство называют сопряженным пространством по отношению к линейному пространству L и обозначают L*.

Опираясь на базис е, выбранный в пространстве L, построим базис в сопряженном пространстве L*. Для каждого вектора e i из базиса е рассмотрим линейную форму f i , для которой f i (е i) = 1 и f i (е j)= 0 для всех векторов e j , кроме е i . Мы получим систему линейных форм f1, ..., /” е С*. Покажем, что это линейно независимая система. Пусть некоторая линейная комбинация этих форм равна нулевой линейной форме / = aif1 +... + anfn = 0. Форма / на всех базисных векторах принимает нулевые значения. Но

Нулевые значения f на базисных векторах эквивалентны равенствам α i = 0, i = 1,n , и поэтому система линейных форм f 1 , ..., f n линейно независима.

Система линейных форм f 1 , ..., f n является базисом в сопряженном пространстве. Действительно, так как это линейно независимая система линейных форм, то достаточно доказать, что любая линейная форма из L* является их линейной комбинацией. Выберем произвольную линейную форму f из L* и пусть а 1 ..., а n - значения формы f на базисных векторах. Эти значения однозначно определяют линейную форму. Но линейная комбинация f" = a 1 f i +... + a n f n также является линейной формой, которая на базисных векторах принимает те же значения a 1 , ..., а n . Значит, эти две линейные формы совпадают, и мы получаем равенство f = f" = a 1 f 1 +... + a n f n , т.е. разложение произвольно выбранной линейной формы по системе форм f 1 , ..., f n

Приведенное рассуждение показывает, что сопряженное пространство L* имеет ту же размерность , что и L. Построенный нами базис f 1 , ..., f n зависит от выбора базиса е в пространстве L.

Определение 10.2. Базисы e 1 , ..., е n и f 1 , ..., f n линейного пространства L и сопряженного пространства L* называют биортогоналъными, или взаимными , если

Если базисы e 1 , ..., е n и f 1 , ..., f n взаимны, то координатами произвольной формы f в базисе f 1 , ..., f n являются значения этой формы на векторах взаимного базиса e 1 , ..., е n . При совместном рассмотрении линейного пространства L и сопряженного пространства L* элементы каждого из этих пространств называют векторами, но элементы сопряженного пространства L* именуют ковариантными векторами (ковекторами) , а элементы из линейного пространства L - контравариантными векторами (или просто векторами). Координаты тех и других определяются преимущественно во взаимных базисах, при этом у координат контравариантных векторов индекс ставится вверху, а у ковариантных - внизу.

На запись f(x) можно смотреть двояко. Зафиксировав форму f, мы варьируем вектор x, получая всевозможные значения линейной формы. Но если мы зафиксируем вектор х и будем варьировать линейную форму f, то получим функцию, определенную на сопряженном пространстве L*. Нетрудно убедиться, что эта функция линейная, так как, согласно определению сум-мы линейных форм и произведения линейной формы на число,

(f + g)(x) = f(x) + g(x), (λf)(x) = λf(x)

Итак, каждому вектору x ∈ L соответствует линейная форма на сопряженном пространстве L, или элемент двойного сопряженного пространства (L*)* = L**. Мы получаем отображение φ: L → L**. Несложно убедиться, что это отображение линейно и что оно инъективно . Из инъективности следует, что dimimφ = dimL = n. Но сопряженное пространство L* имеет ту же размерность, что и L, a dimL** = dimL* = dimL. Таким образом, размерность линейного подпространства imφ в L** совпадает с размерностью всего двойного сопряженного пространства. Значит, imφ = L** и отображение φ является изоморфизмом . Обратим внимание, что этот изоморфизм не связан с выбором какого-либо базиса. Поэтому естественно отождествить линейные формы, заданные на L*, с элемента-ми пространства L. Это означает, что двойное сопряженное пространство совпадает с исходным линейным пространством: L** = L. Если L* является сопряженным к L, то и L является сопряженным к L*.

Взаимность линейного пространства и сопряженного к нему пространства указывает на симметричность связи между векторами и ковекторами. Поэтому вместо записи f(x) более удобно использовать другую форму записи, симметричную: (f,x). Линейные формы мы также будем теперь обозначать полужирным курсивом: (f,x). Принятое обозначение похоже на обозначение скалярного произведения, но в отличие от последнего аргументы в новом обозначении берутся из разных пространств. Саму запись (f, x) можно рассматривать как запись отображения, определенного на множестве L*×L, которое паре из ковектора и вектора ставит в соответствие действительное число. При этом указанное отображение линейно по каждому из аргументов.

Теорема 10.1. Пусть b и с - два базиса n-мерного линейного пространства L,U - матрица перехода из b в с. Базисы b* и с* сопряженного пространства L*, взаимные с базисами b и с соответственно, связаны между собой соотношениями

c* = b*(U T) -1 Ь* =c*U T

Координатами f c = (f c 1 ... f c n) линейной формы f в базисе с* являются значения этой формы на векторах базиса с = (c 1 ... c n). Выясним, как связаны координаты формы f в двух базисах с* и b*.

Базисы b и с связаны между собой при помощи матрицы" перехода матричным соотношением с = bU (см. 1.8). Это соотношение представляет собой равенство строк длины n, составленных из векторов. Из равенства строк векторов следует равенство строк значений линейной формы f на этих векторах:

((f,c 1) ... (f,c n)) = ((f,b 1) ... (f,b n))U,

где f b и f c - обозначения строк координат формы f в базисах Ь* и с* соответственно. Транспонировав это равенство, мы получим принятую форму связи координат элементов линейного пространства, в которой координаты записываются по столбцам:

(f c) T = U T (f b) T .

Это соотношение означает, что матрица U T является матрицей перехода из базиса с*, играющего в формуле роль старого, в базис b*, играющий роль нового. Следовательно, b* = c*U T , откуда умножением на матрицу (U T) -1 получаем с* = b*(U T) -1 .

Бели линейное пространство L евклидово, то скалярное про-изведение порождает изоморфизм между L и l*, не зависящий от базиса, который позволяет отождествить евклидово про-странство с его сопряженным. Действительно, для любого вектора a ∈ L отображение x → (а,x) представляет собой линейную форму в L, так как скалярное произведение линейно по второму из своих аргументов. Возникает отображение ψ, которое вектору a ∈ L ставит в соответствие линейную форму f a (x) - (а,x). Это отображение линейно в силу свойств скалярного произведения и инъективно. Инъективность следует из того, что если (а,x) = 0 для любого x ∈ L, то и (a,а) = 0, т.е. a = 0. Так как линейные пространства L и L* конечномерны и имеют одинаковые размерности, отображение ∈ биективно и реализует изоморфизм этих пространств. Итак, для евклидова пространства L* = L. В этом смысле евклидово пространство есть " самосопряженное " пространство.