Видеоурок «Неравенства с двумя переменными» предназначен для обучения алгебре по данной теме в 9 классе общеобразовательной школы. Видеоурок содержит описание теоретических основ решения неравенств, подробно описывает процесс решения неравенств графическим способом, его особенности, демонстрирует примеры решения заданий по теме. Задача данного видеоурока - при помощи наглядного представления информации облегчить понимание материала, способствовать формированию умений в решении задач с применением изученных математических методов.

Основными инструментами видеоурока являются использование анимации в представлении графиков и теоретических сведений, выделение понятий, особенностей, важных для понимания и запоминания материала, цветом и другими графическими способами, голосовое сопровождение объяснения с целью более легкого запоминания информации и формирования умения использования математического языка.

Видеоурок начинается и представления темы и примера, демонстрирующего понятие решения неравенства. Для формирования понимания смысла понятия решения представлено неравенство 3х 2 -у<10, в которое подставляется пара значений х=2 и у=6. Демонстрируется, как после подстановки данных значений неравенство становится верным. Понятие решения данного неравенства как пары значений (2;6) выведено на экран, подчеркивая его важность. Затем представляется определение рассмотренного понятия для запоминания его учениками или записи в тетрадь.

Важной частью умения решать неравенства является умение изобразить на координатной плоскости множество его решений. Формирование такого умения в данном уроке начинается с демонстрации нахождения множества решений линейных неравенств ax+byc. Отмечаются особенности задания неравенства - х и у являются переменными, a, b, c - некоторыми числами, среди которых a и b не равны нулю.

Примером такого неравенства является х+3у>6. Чтобы преобразовать неравенство в равносильное неравенство, отражающее зависимость значений у от значений х, обе части неравенства делятся на 3, у остается в одной части уравнения, а х переносится в другую. Произвольно выбирается значение х=3 для подстановки в неравенство. Отмечается, что данное значение х подставить в неравенство и заменить знак неравенства знаком равенства, можно найти соответствующее значение у=1. Пара (3;1) будет являться решением уравнения у=-(1/3)х+2. Если же подставлять любые значения у, большие 1, то неравенство с данным значением х будет верно: (3;2), (3;8) и др. Аналогично данному процессу нахождения решения рассматривается общий случай для поиска множества решений данного неравенства. Поиск множества решений неравенства начинается с подстановки некоторого значения х 0 . В правой части неравенства получается выражение -(1/3)х 0 +2. Некоторая пара чисел (х 0 ;у 0) является решением уравнения у=-(1/3)х+2. Соответственно решениями неравенства у>-(1/3)х 0 +2 будут соответствующие пары значений с х 0 , где у больше значений у 0 . То есть решениями этого неравенства будут пары значений (х 0 ;у).

Чтобы найти на координатной плоскости множество решений неравенства х+3у>6, на ней демонстрируется построение прямой, соответствующей уравнению у=-(1/3)х+2. На данной прямой отмечается точка М с координатами (х 0 ;у 0). При этом отмечается, что все точки К(х 0 ;у) с ординатами у>у 0 , то есть расположенные выше данной прямой, будут удовлетворять условиям неравенства у>-(1/3)х+2. Из анализа делается вывод о том, что данным неравенство задается множество точек, которые располагаются выше прямой у=-(1/3)х+2. Это множество точек составляют полуплоскость над данной прямой. Так как неравенство строгое, сама прямая не входит в число решений. На рисунке данный факт отмечен пунктирным обозначением.

Обобщая данные, полученные в результате описания решения неравенства х+3у>6, можно говорить о том, что прямая х+3у=6 разбивается плоскость на две полуплоскости, при этом расположенная выше полуплоскость отражает множество значений удовлетворяющих неравенству х+3у>6, а распложенная ниже прямой - решение неравенства х+3у<6. Данный вывод является важным для понимания, каким образом решаются неравенства, поэтому выведен на экран отдельно в рамке.

Далее рассматривается пример решения нестрогого неравенства второй степени у>=(х-3) 2 . Для определения множества решений рядом на рисунке строится парабола у=(х-3) 2 . На параболе отмечается точка М(х 0 ;у 0), значения которой будут решениями уравнения у=(х-3) 2 . В данной точке строится перпендикуляр, на котором выше параболы отмечается точка К(х 0 ;у), которая будет решением неравенства у>(х-3) 2 . Можно сделать вывод о том, что исходному неравенству удовлетворяют координаты точек, расположенных на данной параболе у=(х-3) 2 и выше ее. На рисунке данную область решений отмечают штрихованием.

Следующим примером, демонстрирующим положение на плоскости точек, являющихся решением неравенства второй степени, является описание решения неравенства х 2 +у 2 <=9. На координатной плоскости строится окружность радиусом 3 с центром в начале координат. Отмечается, что решениями уравнения будут точки, сумма квадратов координат которых не превышает квадрата радиуса. Также отмечается, что окружность х 2 +у 2 =9 разбивает плоскость на области внутри окружности и вне круга. Очевидно, что множество точек внутренней части круга удовлетворяют неравенству х 2 +у 2 <9, а внешняя часть - неравенству х 2 +у 2 >9. Соответственно, решением исходного неравенства будет множество точек окружности и области внутри ее.

Далее рассматривается решение уравнения ху>8. На координатной плоскости рядом с заданием строится гипербола, удовлетворяющая уравнению ху=8. Отмечается точка М(х 0 ;у 0), принадлежащая гиперболе и К(х 0 ;у) выше ее параллельно оси у. Очевидно, что координаты точки К соответствуют неравенству ху>8, так как произведение координат данной точки превосходит 8. Указывается, что таким же способом доказывается соответствие точек, принадлежащих области В, неравенству ху<8. Следовательно, решением неравенства ху>8 будет множество точек, лежащих в областях А и С.

Видеоурок «Неравенства с двумя переменными» может послужить наглядным пособием учителю на уроке. Также материал поможет ученику, самостоятельно осваивающему материал. Полезно использование видеоурока при дистанционном обучении.

Неравенством с двумя переменными х и у называется неравенство вида:

(или знак )

где – некоторое выражение с данными переменными.

Решением неравенства с двумя переменными называют упорядоченную пару чисел при которой это неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Решить неравенство – значит найти множество всех его решений. Решением неравенства с двумя переменными является некоторое множество точек координатной плоскости.

Основным методом решений данных неравенств является графический метод. Он заключается в том, что строятся линии границ (если неравенство строгое, линия строится пунктиром). Уравнение границы получаем, если в заданном неравенстве заменяем знак неравенства на знак равенства. Все линии в совокупности разбивают координатную плоскость на части. Искомое множество точек, которое соответствует заданному неравенству или системе неравенств, можно определить, если взять контрольную точку внутри каждой области области.

Совокупность неравенств с двумя переменными имеет вид

Решением совокупности является объединение всех решений неравенств.

Пример 1. Решить систему

Решение. Построим в системе Оху соответствующие линии (рис.19):

Уравнение задает окружность с центром в точке О ¢(0; 1) и R = 2.

Уравнение определяет параболу с вершиной в точке О (0; 0).

Найдем решения каждого из неравенств, входящих в систему. Первому неравенству соответствует область внутри окружности и сама окружность (в справедливости этого убеждаемся, если подставим в неравенство координаты любой точки из этой области). Второму неравенству соответствует область, расположенная под параболой.

Решение системы – пересечение двух указанных областей (на рис.19 показано наложением двух штриховок).

Задания

I уровень

1.1. Решить графически:

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ;

II уровень

2.1. Решите графически:

1) 2)

2.2. Найдите количество целочисленных решений системы:

1) 2) 3)

2.3. Найдите все целочисленные решения системы:

1) 2)

3)

2.4. Решите неравенство. В ответе укажите количество решений с двумя целочисленными координатами

Если в школьном курсе математики и алгебры отдельно выделить тему «неравенства», то основную часть времени постигаются азы работы с неравенствами , которые содержат в своей записи переменную. В данной статье мы разберем, что такое неравенства с переменными, скажем, что называют их решением, а также разберемся, как записываются решения неравенств. Для пояснения будем приводить примеры и необходимые комментарии.

Навигация по странице.

Что такое неравенства с переменными?

Например, если неравенство не имеет решений, то так и пишут «нет решений» или используют знак пустого множества ∅.

Когда общим решением неравенства является одно число, то его и так и записывают, к примеру, 0 , −7,2 или 7/9 , а иногда еще заключают в фигурные скобки.

Если решение неравенства представляется несколькими числами и их количество невелико, то их просто перечисляют через запятую (или через точку с запятой), или записывают через запятую в фигурных скобках. Например, если общее решение неравенства с одной переменной составляют три числа −5 , 1,5 и 47 , то записывают −5 , 1,5 , 47 или {−5, 1,5, 47} .

А для записи решений неравенств, имеющих бесконечное множество решений используют как принятые обозначения множеств натуральных, целых, рациональных, действительных чисел вида N , Z , Q и R , обозначения числовых промежутков и множеств отдельных чисел, простейшие неравенства, так и описание множества через характеристическое свойство, и все не названные способы. Но на практике наиболее часто пользуются простейшими неравенствами и числовыми промежутками. Например, если решением неравенства является число 1 , полуинтервал (3, 7] и луч , ∪ ; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.

https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Неравенства с двумя переменными и их системы Урок 1

Неравенства с двумя переменными Неравенства 3х – 4у  0; и являются неравенствами с двумя переменными х и у. Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая его в верное числовое неравенство. При х = 5 и у = 3 неравенство 3х - 4у  0 обращается в верное числовое неравенство 3  0. Пара чисел (5;3) является решением данного неравенства. Пара чисел (3;5) не является его решением.

Является ли пара чисел (-2; 3) решением неравенства: № 482 (б, в) Не является Является

Решением неравенства называется упорядоченная пара действительных чисел, обращающая это неравенство в верное числовое неравенство. Графически это соответствует заданию точки координатной плоскости. Решить неравенство - значит найти множество его решений

Неравенства с двумя переменными имеют вид: Множество решения неравенства - совокупность всех точек координатной плоскости, удовлетворяющих заданному неравенству.

Множества решения неравенства F(x,y) ≥ 0 х у F(x,y)≤0 х у

F(x, у)>0 F(x, у)

Правило пробной точки Построить F(x ; y)=0 Взяв из какой - либо области пробную точку установить, являются ли ее координаты решением неравенства Сделать вывод о решении неравенства х у 1 1 2 А(1;2) F(x ; y)=0

Линейные неравенства с двумя переменными Линейным неравенством с двумя переменными называется неравенство вида ax + bx +c  0 или ax + bx +c

Найдите ошибку! № 484 (б) -4 2 x 2 -6 y 6 -2 0 4 -2 - 4

Решить графически неравенство: -1 -1 0 x 1 -2 y -2 2 2 1 Строим сплошными линиями графики:

Определим знак неравенства в каждой из областей -1 -1 0 x 1 -2 y -2 2 2 1 3 4 - + 1 + 2 - 7 + 6 - 5 +

Решение неравенства - множество точек, из областей, содержащих знак плюс и решения уравнения -1 -1 0 x 1 -2 y -2 2 2 1 3 4 - + 1 + 2 - 7 + 6 - 5 +

Решаем вместе № 485 (б) № 486 (б, г) № 1. Задайте неравенством и изобразите на координатной плоскости множество точек, у которых: а) абсцисса больше ординаты; б) сумма абсциссы и ординаты больше их удвоенной разности.

Решаем вместе № 2. Задайте неравенством открытую полуплоскость, расположенную выше прямой АВ, проходящей через точки А(1;4) и В(3;5). Ответ: у  0,5х +3,5 № 3. При каких значениях b множество решений неравенства 3х – b у + 7  0 представляет собой открытую полуплоскость, расположенную выше прямой 3х – b у + 7 = 0. Ответ: b  0.

Домашнее задание П. 21, № 483; № 484(в,г); № 485(а); № 486(в).

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Неравенства с двумя переменными и их системы Урок 2

Системы неравенств с двумя переменными

Решением системы неравенств с двумя переменными называется пара значений переменных, которая каждое из неравенств системы в верное числовое неравенство. № 1. Изобразить множество решений систем неравенств. № 496 (устно)

а) x у 2 2 x у 2 2 б)

Решаем вместе № 1. При каких значениях k система неравенств задаёт на координатной плоскости треугольник? Ответ: 0

Решаем вместе x у 2 2 2 2 № 2. На рисунке изображён треугольник с вершинами А(0;5), В(4;0), С(1;-2), D(-4 ;2). Задайте этот четырёхугольник системой неравенств. А В С D

Решаем вместе № 3. При каких k и b множеством точек координатной плоскости, задаваемым системой неравенств является: а)полоса; б) угол; в) пустое множество. Ответ: а) k= 2,b  3; б) k ≠ 2, b – любое число; в) k = 2; b

Решаем вместе № 4. Какая фигура задаётся уравнением? (устно) 1) 2) 3) № 5. Изобразите на координатной плоскости множество решений точек, задаваемое неравенством.

Решаем вместе № 497(в,г), 498(в)

Домашнее задание П.22 №496, №497(а,б), №498(а,б), № 504.

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Неравенства с двумя переменными и их системы Урок 3

Найдите ошибку! -4 2 x 2 -6 y 6 -2 0 4 -2 - 4

Найдите ошибку! | | | | | | | | | | | | | | | | | | 1 x y 2

Определите неравенство 0 - 6 - 1 5 3 1 2 у х - 3 - 2 1 -3 4

0 - 6 - 1 5 3 1 2 у х - 3 - 2 1 -3 4 Определите неравенство

0 - 3 - 1 5 3 1 2 у х - 3 - 2 1 Определите знак неравенства ≤

Решить графически систему неравенств -1 -1 0 x 1 -2 y -2 2 2 1

Неравенства и системы неравенств высших степеней с двумя переменными № 1. Изобразите на координатной плоскости множество точек, задаваемых системой неравенств

Неравенства и системы неравенств высших степеней с двумя переменными № 2. Изобразите на координатной плоскости множество точек, задаваемых системой неравенств

Неравенства и системы неравенств высших степеней с двумя переменными № 3. Изобразите на координатной плоскости множество точек, задаваемых системой неравенств Преобразуем первое неравенство системы:

Неравенства и системы неравенств высших степеней с двумя переменными Получим равносильную систему

Неравенства и системы неравенств высших степеней с двумя переменными № 4. Изобразите на координатной плоскости множество точек, задаваемых системой неравенств

Решаем вместе № 502 Сборник Галицкого. № 9.66 б) y ≤ |3x -2| 0 - 6 - 1 5 3 1 2 у х - 3 - 2 1 -3 4

. № 9.66(в) Решаем вместе 0 - 6 - 1 5 3 1 2 у х - 3 - 2 1 -3 4 |y| ≥ 3x - 2

Решаем вместе № 9.66(г) 0 - 6 - 1 5 3 1 2 у х - 3 - 2 1 -3 4 |y|

Решить неравенство: x y -1 -1 0 1 -2 -2 2 2 1

0 - 6 - 1 5 3 1 2 у х - 3 - 2 1 -3 4 Запишите систему неравенств

11:11 3) Какую фигуру задает множество решений системы неравенств? Найдите площадь каждой фигуры. 6)Сколько пар натуральных чисел являются решениями системы неравенств? Вычислите сумму всех таких чисел. Решение тренировочных упражнений 2) Запишите систему неравенств с двумя переменными, множество решений которой изображено на рисунке 0 2 х у 2 1) Изобразите на координатной плоскости множество решений системы: 4) Задайте системой неравенств кольцо, изображенное на рисунке. 5)Решите систему неравенств у х 0 5 10 5 10

Решение тренировочных упражнений 7) Вычислите площадь фигуры, заданной множеством решений системы неравенств и найдите наибольшее расстояние между точками этой фигуры 8) При каком значении m система неравенств имеет только одно решение? 9)Укажите какие-нибудь значения k и b , при которых система неравенств задает на координатной плоскости: а) полосу; б) угол.

Это интересно Английский математик Томас Гарриот (Harriot T., 1560-1621) ввёл знакомый нам знак неравенства, аргументируя его так: "Если символом равенства служат два параллельных отрезка, то символом неравенства должны быть пересекающиеся отрезки". В 1585 году молодой Гарриот был послан королевой Англии в исследовательскую экспедицию по Северной Америке. Там он увидел популярную среди индейцев татуировку в виде Вероятно поэтому Гарриот предложил знак неравенства в двух его видах: ">" больше, чем… и "

Это интересно Символы ≤ и ≥ нестрогого сравнения предложил Валлис в 1670 году. Первоначально черта была выше знака сравнения, а не под ним, как сейчас. Общее распространение эти символы получили после поддержки французского математика Пьера Бугера (1734), у которого они приобрели современный вид.

Тема урока: Неравенства с двумя переменными.

Цель урока: Обучать учащихся решению неравенств с двумя переменными.

Задачи урока:

1. Ввести понятие неравенства с двумя переменными. Учить учащихся решению неравенств. Формировать навыки применения графического метода при решении неравенств, умения показать решение на координатной плоскости.

2.Развивать мышление учащихся, развивать практические навыки учащихся.

3.Воспитывать у учащихся трудолюбие, самостоятельность, ответственное отношение к делу, инициативу и самостоятельность принятия решения.

Учебник/литература: Алгебра 9, дидактические материалы.

Ход урока:

1. Понятие неравенства с двумя переменными и его решения.

2. Линейное неравенство с двумя переменными.

Рассмотрим неравенства: 0,5х 2 -2у+l 20 -неравенство с двумя переменными.

Рассмотрим неравенство 0,5х 2 -2у+l

При х=1, у=2. Получим верное неравенство 0,5 1 - 2 2 + 1

Пару чисел (1; 2), в которой на первом месте - значение х, а на втором - значение у, называют решением неравенства 0,5х 2 -2у+l

Определение. Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений этих переменных, обращающая данное неравенство в верное числовое неравенство.

Если каждое решение неравенства с двумя переменными изобразить точкой в координатной плоскости, то получится график этого неравенства. Он является некоторой фигурой. Говорят, что эта фигура задается или описывается неравенством.

Рассмотрим линейные неравенства с двумя переменными.

Определение. Линейным неравенством с двумя переменными называется неравенство вида ах + by с, где х и у - переменные, а, b и с - некоторые числа.

Если в линейном неравенстве с двумя переменными знак неравенства заменить знаком равенства, то получится линейное уравнение. Графиком линейного уравнения ах + by = с, в котором а или b не равно нулю, является прямая линия. Она разбивает множество не принадлежащих ей точек координатной плоскости на две области, представляющие открытые полуплоскости.

На примерах рассмотрим, как изображается множество решений неравенства с двумя переменными на координатной плоскости.

Пример 1. Изобразим на координатной плоскости множество решений неравенства 2у+3х≤6.

Строим прямую 2у+3х=6, у=3-1,5х

Прямая разбивает множество всех точек координатной плоскости на точки, расположенные ниже ее, и точки, расположенные выше ее. Возьмем из каждой области по контрольной точке: А(1;1), В(1;3).

Координаты точки А удовлетворяют данному неравенству 2у+3х≤6, 2·1+3·1≤6, 5≤6

Координаты точки В не удовлетворяют данному неравенству 2у+3х≤6, 2·3+3·1≤6.

Данному неравенству удовлетворяет множество точек той области, где расположена точка А. Заштрихуем эту область. Мы изобразили множество решений неравенства 2у+3х≤6.

Для изображения множества решений неравенства на координатной плоскости поступают следующим образом:

1. Строим график функции y = f(x), который разбивает плоскость на две области.

2. Выбираем любую из полученных областей и рассматриваем в ней произвольную точку. Проверяем выполнимость исходного неравенства для этой точки. Если в результате проверки получается верное числовое неравенство, то заключаем, что исходное неравенство выполняется во всей области, которой принадлежит выбранная точка. Таким образом, множеством решений неравенства – область, которой принадлежит выбранная точка. Если в результате проверки получается неверное числовое неравенство, то множеством решений неравенства будет вторая область, которой выбранная точка не принадлежит.

3. Если неравенство строгое, то границы области, то есть точки графика функции y = f(x), не включают в множество решений и границу изображают пунктиром. Если неравенство нестрогое, то границы области, то есть точки графика функции y = f(x), включают в множество решений данного неравенства и границу в таком случае изображают сплошной линией.

Вывод: - решением неравенства f(x,y)˃0, }