Законы кеплера о движении планет. Основы астрономии. Движение небесных тел. Законы Кеплера

Законы Кеплера

В мире атомов и элементарных частиц гравитационные силы пренебрежимо малы по сравнению с другими видами силового взаимодействия между частицами. Очень непросто наблюдать гравитационное взаимодействие и между различными окружающими нас телами, даже если их массы составляют многие тысячи килограмм. Однако именно гравитация определяет поведение «больших» объектов, таких, как планеты, кометы и звезды, именно гравитация удерживает всех нас на Земле.

Что касается древнего египетского происхождения обелиска, мы узнаем от римского историка Плиния, современника Калигулы, который был создан для «Нункорей, сын Сезостриса». Гелиополис, конечно же, был сердцем древней египетской религии солнца и имел для древних египтян ту же силу, что сегодня имеет Св. Петра для католиков.

Затем сайт был восстановлен, чтобы стать центром католического мира: Ватикана. Базилика Святого Петра была начата в 334 году от Костантино-Великого, но она была завершена только в 16 веке архитектором и скульптором Браманте, а затем Раффаэлло и, наконец, Микеланджело.

Гравитация управляет движением планет Солнечной системы. Без нее планеты, составляющие Солнечную систему, разбежались бы в разные стороны и потерялись в безбрежных просторах мирового пространства.

Закономерности движения планет с давних пор привлекали внимание людей. Изучение движения планет и строения Солнечной системы и привело к созданию теории гравитации – открытию закона всемирного тяготения.

Базилика расположена над серединой верхней части древнего Цирка Ватикана Калигулы. Между тем, обелиск Калигулы закончился около южной стены Базилики, почти забытой в небольшой переулке, частично покрытой мусором и мусором до 15 века. Папа хотел, чтобы база обелиска стояла на четырех бронзовых статуях в евангелизме, и его точка была увенчанный огромной бронзовой статуей Иисуса с золотым крестом в руке.

Но папа Никколо умер, прежде чем он мог поручить работу, и проект был отложен. Когда Бернини начал работать над проектом площади Святого Петра и его колоннады, Базилика уже давно была завершена Браманте и Микеланджело. Во всяком случае, когда Бернини позже планировал площадь, он исправил эту ошибку и убедился, что ось востока и запада квадрата была выровнена точно на восток.

С точки зрения земного наблюдателя планеты движутся по весьма сложным траекториям (рис. 1.24.1). Первая попытка создания модели Вселенной была предпринятаПтолемеем (~ 140 г.). В центре мироздания Птолемей поместил Землю, вокруг которой по большим и малым кругам, как в хороводе, двигались планеты и звезды.

Геоцентрическая система Птолемея продержалась более 14 столетий и только в середине XVI века была заменена гелиоцентрической системой Коперника. В системе Коперника траектории планет оказались более простыми. Немецкий астроном И. Кеплер в начале XVII века на основе системы Коперника сформулировал три эмпирических закона движения планет Солнечной системы. Кеплер использовал результаты наблюдений за движением планет датского астронома Т. Браге .

Это различие между выравниваниями базилики и квадрата можно отчетливо видеть при взгляде на базилику на фронт. Два фонтана могут выглядеть одинаково, но на самом деле они были построены на расстоянии 50 лет. Обелиск позже использовался как гномон. Пролонгация его тени в полдень в разное время года была отмечена на полу белыми мраморными плитами, на которых были выгравированы в месяцах года. Тамплиеры, Ватиканские мистерии, Символы, Священная архитектура.

Наше неутомимое любопытство, познакомившись с нашими маленькими друзьями, такими как друзья, привлекло внимание, чтобы поговорить с занятым Ньютоном, и, чтобы обмануть ожидание, написал это приложение, посвященное купионам, которые хотят углубить темы, касающиеся в истории.

Первый закон Кеплера (1609 г.):

Все планеты движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце.

На рис. 1.24.2 показана эллиптическая орбита планеты, масса которой много меньше массы Солнца. Солнце находится в одном из фокусов эллипса. Ближайшая к Солнцу точкаP траектории называется перигелием , точка A , наиболее удаленная от Солнца – афелием . Расстояние между афелием и перигелием – большая ось эллипса.

Причина, по которой после Птолемея в течение четырнадцати веков астрономическая наука не добилась прогресса, ее можно найти по разным причинам. Прежде всего, распад Римской империи и четкое разделение между Западной и Восточной Европой, которые ее характеризовали: это способствовало тому, что на Западе почти полностью забыл научный багаж греков. Более того, распространение христианства привело к тому, что он буквально интерпретировал Библию. Книги Бытия включают наивные астрономические представления, заимствованные у других народов.

Подобные заявления не были особенно опасны для еврейского народа, который никогда не интересовался астрономией, но вызвал серьезный регресс и замедлил развитие этой науки на Западе. Также пришло время высмеять сферичность Земли, первое великое открытие греков. Мы должны ждать шестнадцатого века, чтобы начать настоящую астрономическую революцию. Хотя достоинство таких эпохальных изменений обычно дается Николаю Копернику, следует помнить, что он был на практике только инициатором долгого и мучительного процесса культурного обновления, который привел к ньютоновскому видению мира.

Почти все планеты Солнечной системы (кроме Плутона) движутся по орбитам, близким к круговым.

Второй закон Кеплера (1609 г.):

Радиус-вектор планеты описывает в равные промежутки времени равные площади.

Рис. 1.24.3 иллюстрирует 2-й закон Кеплера.

Второй закон Кеплера эквивалентен закону сохранения момента импульса . На рис. 1.24.3 изображен вектор импульса тела и его составляющиеиПлощадь, заметенная радиус-вектором за малое время Δt , приближенно равна площади треугольника с основанием r Δθ и высотой r :

Модель Коперника, гелиоцентрическая, на самом деле не делала никаких больших упрощений в расчетах для прогнозирования положения звезд. Одной из основополагающих причин отказа Коперника было желание устранить равное, то есть наличие кругового движения, скорость которого была однородной не по отношению к центру окружности, а в другой точке, явно контрастирующей с диктовкой платонический. Чтобы объяснить все явления, не прибегая к уравнениям, ему все еще приходилось вводить эксцентричные сферы и эпициклы, поэтому система Коперника сегодня не представляет собой известную элиоцентрическую систему.

Здесь – угловая скорость (см. §1.6 ).

Момент импульса L по абсолютной величине равен произведению модулей векторов и

Поэтому, если по второму закону Кеплера то и момент импульсаL при движении остается неизменным.

В частности, поскольку скорости планеты в перигелии и афелиинаправлены перпендикулярно радиус-векторамииз закона сохранения момента импульса следует:

Эллиптические движения планет по-прежнему интерпретировались как состав круговых движений. Только с эмпирическими законами Кеплера удалось преодолеть этот древний «предрассудок». Реальный революционный аспект работы Коперника заключается в том, что после него многие ученые стали верить в физическую реальность модели.

Давайте теперь более подробно рассмотрим, какими были неподвижные точки, на которых был основан Коперник: 1 - Единого центра для всех небесных орбит нет. 2 - Центр Земли не является центром Вселенной, а только центром притяжения тяжелых тел и лунной орбиты3. Все орбиты «окружают» Солнце, которое находится «посередине», как центр мир близок к Солнцу. 4 - Расстояние Солнца от Земли очень мало по сравнению с расстоянием неподвижных звезд. 5 - Каждый мотоцикл, принадлежащий неподвижным звездам, исходит от них, но с Земли.

Третий закон Кеплера выполняется для всех планет Солнечной системы с точностью выше 1 %.

На рис. 1.24.4 изображены две орбиты, одна из которых – круговая с радиусом R , а другая – эллиптическая с большой полуосью a . Третий закон утверждает, что если R = a , то периоды обращения тел по этим орбитам одинаковы.

Несмотря на то, что законы Кеплера явились важнейшим этапом в понимании движения планет, они все же оставались только эмпирическими правилами, полученными из астрономических наблюдений. Законы Кеплера нуждались в теоретическом обосновании. Решающий шаг в этом направлении был сделан Исааком Ньютоном , открывшим в 1682 году закон всемирного тяготения :

Таким образом, Земля совершает полное вращение вокруг своей оси, в то время как небосвод или последнее небо остаются неподвижными. 6 - Движения, которые кажутся нам принадлежащими Солнцу, связаны с Землей и ее орбитой, на которой она вращается вокруг Солнца, как и любая другая планета. 7 - Ретроградное и прямое движение планет не вызвано ими, а Землей. Единственного движения Земли достаточно, чтобы объяснить большое количество неровностей на небесах.

Из этих предварительных аксиом мы сразу видим, что разрыв Коперника со старой космологией не столь ясен, как и следовало ожидать. Центр космоса Коперника находится не в центре Солнца, а вблизи центра Солнца. Он точно расположен в центре орбиты Земли, которая эксцентрична для Солнца.

где M и m – массы Солнца и планеты, r – расстояние между ними, G = 6,67·10 –11 Н·м 2 /кг 2 – гравитационная постоянная. Ньютон первый высказал мысль о том, что гравитационные силы определяют не только движение планет Солнечной системы; они действуют между любыми телами Вселенной. В частности, уже говорилось, что сила тяжести, действующая на тела вблизи поверхности Земли, имеет гравитационную природу.

Как вы можете видеть, движения всегда круговые и однородные. Коперник всегда использует эпицидиды, за исключением Земли и Луны. Показано, что Земля вращается вокруг Солнца, но на самом деле центр ее орбиты близок к звезде, как будет видно на следующем рисунке. Луна вращается вокруг них, и у обоих нет эпос. Положение неподвижных звезд не в масштабе, на самом деле их следует размещать на гораздо большем расстоянии. Следующая цифра относится к движению Земли к движению Марса. В нем хорошо известно, что Земля циркулирует во внутреннем круге, сосредоточенном на точке, которая не совпадает с центром Солнца.

Для круговых орбит первый и второй закон Кеплера выполняются автоматически, а третий закон утверждает, что T 2 ~ R 3 , где Т – период обращения, R – радиус орбиты. Отсюда можно получить зависимость гравитационной силы от расстояния. При движении планеты по круговой траектории на нее действует сила, которая возникает за счет гравитационного взаимодействия планеты и Солнца:

Эта точка является фактическим центром системы и берет свое название как Среднее Солнце. Солнце вместо этого является центром приземления Марса. Фигура ясно показывает еще одну привилегию, о которой упоминали, что Коперник соглашается с Землей: она, в отличие от других планет, лишена эпицикло. Коперник даже не понижает Землю до ранга общей планеты.

Земля и Луна не имеют эпициклов. В заключение можно сказать, что теория Коперника представляет собой синтез между смелым нововведением и технико-культурной сумкой прошлого. Поставив Солнце «почти» в центр системы, тем не менее позволило значительно облегчить объяснение явных неровностей планетарной погоды. Но отношения с Птолемеем показывают четкую связь с аристотелевскими построениями. Совсем не Кеплер должен был сказать, что Коперник бы лучше интерпретировал природу, чем Птолемей.

Если T 2 ~ R 3 , то

Свойство консервативности гравитационных сил (см. §1.10 ) позволяет ввести понятие потенциальной энергии . Для сил всемирного тяготения удобно потенциальную энергию отсчитывать от бесконечно удаленной точки.

Незадолго до начала телескопической эры датский астроном Тихо Браге достиг непревзойденного уровня точности астрономических наблюдений невооруженным глазом. Он действительно сделал науку астрономического наблюдения правилом абсолютной жизни. Несмотря на то, что он отказался от «почти» хелиолирующей системы Коперника и снова рассматривал неподвижную Землю, ее вклад, несомненно, составлял один из незаменимых факторов для достижения истины, которая была бы полностью понята в дальнейшем благодаря наблюдениям Галилея, эмпирическим законам Кеплера и позже с гениальным синтезом Ньютона, который начал классическую механику.

Потенциальная энергия тела массы m , находящегося на расстоянии r от неподвижного тела массы M , равна работе гравитационных сил при перемещении массы m из данной точки в бесконечность.

Математическая процедура вычисления потенциальной энергии тела в гравитационном поле состоит в суммировании работ на малых перемещениях (рис. 1.24.5).

Земля снова находится в центре космоса, а Луна и Солнце вращаются вокруг по круговым орбитам. Меркурий, Венера, Марс, Юпитер и Сатурн циркулируют вокруг Солнца, а также неподвижные звезды. Модель можно рассматривать как попытку примирить старые и новые идеи. Более того, Тичо никогда не разрабатывал свою систему, пока не получил полную планетарную теорию, подобную теории Птолемея и Коперника, хотя, возможно, у него была идея. Однако, хотя Луна и Солнце вращаются вокруг них напрямую, другие планеты вращаются вокруг Солнца и вместе с ним вокруг Земли.

Закон всемирного тяготения применим не только к точеным массам, но и к сферически симметричным телам . Работа гравитационной силына малом перемещенииесть:

В пределе при Δr i → 0 эта сумма переходит в интеграл. В результате вычислений для потенциальной энергии получается выражение

В соответствии с законом сохранения энергии полная энергия тела в гравитационном поле остается неизменной.

Орбита Солнца становится отклонением и планетными траекториями огромных эпициклов. Несмотря на его идеи, вклад Браэ в успех гелиоцентрической модели был крайне важен. В дополнение к открытиям Кеплера, он полностью разрушил концепцию сплошных шаров, на которых лежали планеты, представляя реальную орбиту. Фактически, в своей модели орбита Солнца пересекает орбиты Меркурия, Венеры и Марса, что было бы невозможно, если бы такие планеты были перемещены в их движении древними и никогда ранее не сомневающимися кристаллическими шарами.

Более того, даже если он неподвижен, Земля больше не является реальным центром вращения всей вселенной, так как эта роль в основном принимается Солнцем. Немецкий Иоганн Кеплер был математиком, оптиком, астрономом и признанным музыкантом. Он вошел в историю науки, чтобы сформулировать знаменитые три эмпирических закона, описывающих движение планет. Однако по важным причинам законы Кеплера дают только описание движения планет вокруг Солнца, но они не дают нам никаких указаний на то, почему планеты движутся таким образом.

Полная энергия может быть положительной и отрицательной, а также равняться нулю. Знак полной энергии определяет характер движения небесного тела (рис. 1.24.6).

При E = E 1 < 0 тело не может удалиться от центра притяжения на расстояние r > r max . В этом случае небесное тело движется по эллиптической орбите (планеты Солнечной системы, кометы).

Первый закон: орбита, которую планета перемещает вокруг Солнца, представляет собой эллипс, из которого Солнце занимает один из двух огней. Второй закон: векторный луч, соединяющий центр Солнца с центром планеты, разворачивает равные области в равные времена. Это означает, что планета, когда она ближе всего к Солнцу, движется быстрее, чем когда она находится дальше.

Третий закон: отношение куба большой половины оси орбиты и квадрата периода обращения является постоянной, действующей для всех планет. Этот закон очень важен: фактически периоды вращения планет вокруг Солнца очень легко измерить, так что достаточно знать расстояние от одной планеты от Солнца, чтобы сразу вычислить расстояния от Солнца всех других планет.

При E = E 2 = 0 тело может удалиться на бесконечность. Скорость тела на бесконечности будет равна нулю. Тело движется по параболической траектории .

При E = E 3 > 0 движение происходит по гиперболической траектории . Тело удаляется на бесконечность, имея запас кинетической энергии.

Законы Кеплера применимы не только к движению планет и других небесных тел в Солнечной системе, но и к движению искусственных спутников Земли и космических кораблей. В этом случае центром тяготения является Земля.

Первой космической скоростью называется скорость движения спутника по круговой орбите вблизи поверхности Земли.

отсюда

Второй космической скоростью называется минимальная скорость, которую нужно сообщить космическому кораблю у поверхности Земли, чтобы он, преодолев земное притяжение, превратился в искусственный спутник Солнца (искусственная планета). При этом корабль будет удаляться от Земли по параболической траектории.

отсюда

Рис. 1.24.7 иллюстрирует космические скорости. Если скорость космического корабля равна υ 1 = 7.9·10 3 м/с и направлена параллельно поверхности Земли, то корабль будет двигаться по круговой орбите на небольшой высоте над Землей. При начальных скоростях, превышающих υ 1 , но меньших υ 2 = 11,2·10 3 м/с, орбита корабля будет эллиптической. При начальной скорости υ 2 корабль будет двигаться по параболе, а при еще большей начальной скорости – по гиперболе.

Движение космических тел наблюдалось человеком очень давно. Еще в Древней Греции были придуманы модели движения планет Солнечной системы вокруг Солнца. Эти модели были очень сложными, поскольку видимое движение планет по небу описывается очень сложными линиями, они были названы эпициклами. Первая попытка описания вселенной была предпринята в Древней Греции во втором веке нашей эры Птолемеем (рис. 1).

Рис. 1. Геоцентрическая модель К. Птолемея ()

Он предложил поместить Землю в центр Вселенной, а движения планет описывались большими и малыми кругами, которые были названы эпициклами Птолемея.

Только в XVI веке Коперник предложил заменить геоцентрическую модель мира Птолемея на гелиоцентрическую. То есть поместить Солнце в центр Вселенной и предположить, что все планеты и Земля вместе с ними движутся вокруг Солнца (рис. 2).

Рис. 2. Гелиоцентрическая модель Н.Коперника ()

В начале XVII века немецкий астроном Иоганн Кеплер, обработав огромное количество астрономической информации, полученной датским астрономом Тихо Браге, предложил свои эмпирические законы, которые с тех пор носят название законы Кеплера.

Все планеты Солнечной Системы движутся по некоторым кривым, которые называются эллипс. Эллипс - это одна из простейших математических кривых, так называемая кривая второго порядка. В Средние века их называли коническими пересечениями - если пересечь конус или цилиндр некоторой плоскостью, то получим ту самую кривую, по которой движутся планеты Солнечной системы.

Рис. 3. Кривая движения планет ()

Эта кривая (Рис. 3) имеет две выделенные точки, которые называются фокусы. Для каждой точки эллипса сумма расстояний от нее до фокусов одинакова. В одном из этих фокусов находится центр Солнце (F), ближняя к Солнцу точка кривой (P) носит название перигелий, а самая дальняя (A) - афелий. Расстояние от перигелия до центра эллипса называется большой полуосью, а расстояние от центра эллипса по вертикали до эллипса малой полуосью эллипса.

В процессе движения планеты по эллипсу радиус-вектор, соединяющий центр Солнца с этой планетой, описывает некоторую площадь. Например, за время ∆t планета переместилась из одной точки в другую, радиус-вектор описал некоторую площадь ∆S.

Рис. 4. Второй закон Кеплера ()

Второй закон Кеплера гласит: за одинаковые промежутки времени радиус-вектора планет описывают одинаковые площади.

На рисунке 4 изображен угол ∆Θ, это угол поворота радиус-вектора за некоторое время ∆t и импульс планеты (), направленный по касательной к траектории, разложенный на две составляющие - составляющая импульса по радиус-вектору () и составляющая импульсов, в направлении, перпендикулярном радиус-вектору(⊥).

Произведем вычисления, связанные со вторым законом Кеплера. Утверждение Кеплера, что за равные промежутки проходятся равные площади, означает, что отношение этих величин есть величина постоянная. Отношение этих величин часто называют секторальной скоростью, это скорость изменения положения радиус-вектора. Какова же площадь ∆S, которую заметает радиус-вектор за время ∆t? Это площадь треугольника, высота которого примерно равна радиус-вектору, а основание примерно равно r ∆ω, воспользовавшись этим утверждением, напишем величину ∆S в виде ½ высоты на основание и разделим на ∆t, получим выражение:

Это скорость изменения угла, то есть угловая скорость.

Окончательный результат:

Квадрат расстояния до центра Солнца, умноженный на угловую скорость движения в данный момент времени, есть величина постоянная.

Но если мы умножим выражение r 2 ω на массу тела m, то получим величину, которую можно представить в виде произведения длины радиус-вектора на импульс в направлении, поперечном к радиус-вектору:

Эта величина, равная произведению радиус-вектора на перпендикулярную составляющую импульса, носит название «момент количества движения».

Второй закон Кеплера есть утверждение о том, что момент количества движения в гравитационном поле - величина сохраняющаяся. Отсюда следует простое, но очень важное утверждение: в точках наименьшего и наибольшего расстояния до центра Солнца, то есть афелий и перигелий, скорость направлена перпендикулярно к радиус-вектору, поэтому произведение радиус-вектора на скорость в одной точке равно этому произведению в другой точке.

Третий закон Кеплера утверждает, что отношение квадрата периода обращения планеты вокруг Солнца к кубу большой полуоси есть величина одинаковая для всех планет Солнечной системы.

Рис. 5. Произвольные траектории планет ()

На рисунке 5 представлены две произвольные траектории планет. Одна имеет явный вид эллипса с длиной полуоси (a), вторая имеет вид окружности с радиусом (R), время обращения по любой из этих траекторий, то есть период обращения, связан с длиной полуоси или с радиусом. А если эллипс превращается в окружность, то большая полуось как раз и становится радиусом этой окружности. Третий закон Кеплера утверждает, что в том случае, когда длина большой полуоси равна радиусу окружности, периоды обращения планет вокруг Солнца будут одинаковыми.

Для случая окружности можно вычислить это отношение, пользуясь вторым законом Ньютона и законом движения тела по окружности, эта константа есть 4π 2 , деленное на постоянную всемирного тяготения (G) и массу Солнца (M).

Таким образом, видно, что, если обобщить гравитационные взаимодействия, как это сделал Ньютон, и предположить, что все тела участвуют в гравитационном взаимодействии, законы Кеплера можно распространять на движение спутников вокруг Земли, на движение спутников вокруг любой другой планеты и даже на движение спутников Луны вокруг центра Луны. Только в правой части этой формулы буква М будет означать массу того тела, которое притягивает к себе спутники. Все спутники данного космического объекта будут иметь одинаковое отношение квадрата периода обращения (Т 2) к кубу большой полуоси (а 3). Этот закон может быть распространен на вообще все тела во Вселенной и даже на звезды, из которых состоит наша Галактика.

Во второй половине ХХ века было замечено, что некоторые звезды, которые находятся достаточно далеко от центра нашей Галактики, не подчиняются этому закону Кеплера. Это означает, что мы не всё знаем о том, как действует гравитация в размерах нашей Галактики. Одним из возможных объяснений того, почему далекие звезды движутся быстрее, чем это требуется по третьему закону Кеплера, оказалось следующее: мы видим не всю массу Галактики. Значительная ее часть может состоять из вещества, которое не наблюдаемо нашими приборами, не взаимодействует электромагнитно, не излучает и не поглощает свет, а участвует только в гравитационном взаимодействии. Такое вещество было названо скрытой массой или темной материей. Проблемы темной материи - это одна из основных проблем физики XXI века.

Тема следующего урока: системы материальных точек, центр масс, закон движения центра масс.

Список литературы