Диаграмма венна примеры. Круги Эйлера: почему один раз увидеть лучше, чем сто раз услышать. Решение задач с помощью кругов Эйлера
Некоторые задачи удобно и наглядно решать с помощью диаграмм Эйлера-Венна. Например, задачи на множества. Если Вы не знаете, что такое диаграммы Эйлера-Венна и как их строить, то сначала прочтите .
Теперь разберем типовые задачи о множествах.
Задача 1.
В школе с углубленным изучением иностранных языков провели опрос среди 100 учащихся. Ученикам задали вопрос: "Какие иностранные языки вы изучаете?". Выяснилось, что 48 учеников изучают английский, 26 - французский, 28 - немецкий. 8 школьников изучают английский и немецкий, 8 - английский и французский, 13 - французский и немецкий. 24 школьника не изучают ни английский, ни французский, ни немецкий. Сколько школьников, прошедших опрос, изучают одновременно три языка: английский, французский и немецкий?
Ответ: 3.
Решение:
- множество школьников, изучающих английский ("А");
- множество школьников изучающих французский ("Ф");
- множество школьников изучающих немецкий ("Н").
Изобразим с помощью диаграммы Эйлера-Венна то, что нам дано по условию.
Обозначим искомую область А=1, Ф=1, Н=1
как "х" (в таблице ниже область №7). Выразим остальные области через х.
0) Область А=0, Ф=0, Н=0
: 24 школьника - дано по условию задачи.
1) Область А=0, Ф=0, Н=1 : 28-(8-х+х+13-х)=7+х школьников.
2) Область А=0, Ф=1, Н=0 : 26-(8-х+х+13-х)=5+х школьников.
3) Область А=0, Ф=1, Н=1
: 13-х школьников.
4) Область А=1, Ф=0, Н=0 : 48-(8-х+х+8-х)=32+х школьников.
5) Область А=1, Ф=0, Н=1 : 8-х школьников.
6) Область А=1, Ф=1, Н=0 : 8-х школьников.
№ области | А |
Ф |
Н |
Количество школьников |
---|---|---|---|---|
0 | 0 |
0 |
0 |
24 |
1 | 0 |
0 |
1 |
7+х |
2 | 0 |
1 |
0 |
5+х |
3 | 0 |
1 |
1 |
13-х |
4 | 1 |
0 |
0 |
32+х |
5 | 1 |
0 |
1 |
8-х |
6 | 1 |
1 |
0 |
8-х |
7 | 1 |
1 |
1 |
х |
Определим х:
24+7+(х+5)+х+(13-х)+(32+х)+(8-х)+(8-х)+х=100.
х=100-(24+7+5+13+32+8+8)=100-97=3.
Получили, что 3 школьника изучают одновременно три языка: английский, французский и немецкий.
Так будет выглядеть диаграмма Эйлера-Венна при известном х:
Задача 2.
На олимпиаде по математике школьникам предложили решить три задачи: одну по алгебре, одну по геометрии, одну по тригонометрии. В олимпиаде участвовало 1000 школьников. Результаты олимпиады были следующие: задачу по алгебре решили 800 участников, по геометрии - 700, по тригонометрии - 600. 600 школьников решили задачи по алгебре и геометрии, 500 - по алгебре и тригонометрии, 400 - по геометрии и тригонометрии. 300 человек решили задачи по алгебре, геометрии и тригонометрии. Сколько школьников не решило ни одной задачи?
Ответ: 100.
Решение:
Сначала определим множества и введем обозначения. Их три:
- множество задач по алгебре ("А");
- множество задач по геометрии ("Г");
- множество задач по тригонометрии ("Т").
Изобразим то, что нам надо найти:
Определим количество школьников для всех возможных областей.
Обозначим искомую область А=0, Г=0, Т=0
как "х" (в таблице ниже область №0).
Найдем остальные области:
1) Область А=0, Г=0, Т=1 : школьников нет.
2) Область А=0, Г=1, Т=0 : школьников нет.
3) Область А=0, Г=1, Т=1 : 100 школьников.
4) Область А=1, Г=0, Т=0 : школьников нет.
5) Область А=1, Г=0, Т=1 : 200 школьников.
6) Область А=1, Г=1, Т=0 : 300 школьников.
7) Область А=1, Г=1, Т=1 : 300 школьников.
Запишем значения областей в таблицу:
№ области | А |
Г |
Т |
Количество школьников |
---|---|---|---|---|
0 | 0 |
0 |
0 |
х |
1 | 0 |
0 |
1 |
0 |
2 | 0 |
1 |
0 |
0 |
3 | 0 |
1 |
1 |
100 |
4 | 1 |
0 |
0 |
0 |
5 | 1 |
0 |
1 |
200 |
6 | 1 |
1 |
0 |
300 |
7 | 1 |
1 |
1 |
300 |
Изобразим значения для всех областей с помощью диаграммы:
Определим х:
х=U-(A V Г V Т), где U-универсум.
A V Г V Т=0+0+0+300+300+200+100=900.
Получили, что 100 школьников
не решило ни одной задачи.
Задача 3.
На олимпиаде по физике школьникам предложили решить три задачи: одну по кинематике, одну по термодинамике, одну по оптике. Результаты олимпиады были следующие: задачу по кинематике решили 400 участников, по термодинамике - 350, по оптике - 300. 300 школьников решили задачи по кинематике и термодинамике, 200 - по кинематике и оптике, 150 - по термодинамике и оптике. 100 человек решили задачи по кинематике, термодинамике и оптике. Сколько школьников решило две задачи?
Ответ: 350.
Решение:
Сначала определим множества и введем обозначения. Их три:
- множество задач по кинематике ("К");
- множество задач по термодинамике ("Т");
- множество задач по оптике ("О").
Изобразим с помощью диаграммы Эйлера-Венна то, что нам дано по условию:
Изобразим то, что нам надо найти:
Определим количество школьников для всех возможных областей:
0) Область К=0, Т=0, О=0 : не определено.
1) Область К=0,Т=0, О=1 : 50 школьников.
2) Область К=0, Т=1, О=0 : школьников нет.
3) Область К=0, Т=1, О=1 : 50 школьников.
4) Область К=1, Т=0, О=0 : школьников нет.
5) Область К=1, Т=0, О=1 : 100 школьников.
6) Область К=1, Т=1, О=0 : 200 школьников.
7) Область К=1, Т=1, О=1 : 100 школьников.
Запишем значения областей в таблицу:
№ области | К |
Т |
О |
Количество школьников |
---|---|---|---|---|
0 | 0 |
0 |
0 |
- |
1 | 0 |
0 |
1 |
50 |
2 | 0 |
1 |
0 |
0 |
3 | 0 |
1 |
1 |
50 |
4 | 1 |
0 |
0 |
0 |
5 | 1 |
0 |
1 |
100 |
6 | 1 |
1 |
0 |
200 |
7 | 1 |
1 |
1 |
100 |
Изобразим значения для всех областей с помощью диаграммы:
Определим х.
х=200+100+50=350.
Получили, 350 школьников решило две задачи.
Задача 4.
Среди прохожих провели опрос. Был задан вопрос: "Какое домашнее животное у Вас есть?". По результатам опроса выяснилось, что у 150 человек есть кошка, у 130 - собака, у 50 - птичка. У 60 человек есть кошка и собака, у 20 - кошка и птичка, у 30 - собака и птичка. У 70 человек вообще нет домашнего животного. У 10 человек есть и кошка, и собака, и птичка. Сколько прохожих приняли участие в опросе?
Ответ: 300.
Решение:
Сначала определим множества и введем обозначения. Их три:
- множество людей, у которых есть кошка ("К");
- множество людей, у которых есть собака ("С");
- множество людей, у которых есть птичка ("П").
Изобразим с помощью диаграммы Эйлера-Венна то, что нам дано по условию:
Изобразим то, что нам надо найти:
Определим количество человек для всех возможных областей:
0) Область К=0, С=0, П=0 : 70 человек.
1) Область К=0, С=0, П=1 : 10 человек.
2) Область К=0, С=1, П=0 : 50 человек.
3) Область К=0, С=1, П=1 : 20 человек.
4) Область К=1, С=0, П=0 : 80 человек.
5) Область К=1, Т=0, О=1 : 10 человек.
6) Область К=1, Т=1, О=0 : 50 человек.
7) Область К=1, Т=1, О=1 : 10 человек.
Запишем значения областей в таблицу:
№ области | К |
C |
П |
Количество человек |
---|---|---|---|---|
0 | 0 |
0 |
0 |
70 |
1 | 0 |
0 |
1 |
10 |
2 | 0 |
1 |
0 |
50 |
3 | 0 |
1 |
1 |
20 |
4 | 1 |
0 |
0 |
80 |
5 | 1 |
0 |
1 |
10 |
6 | 1 |
1 |
0 |
50 |
7 | 1 |
1 |
1 |
10 |
Изобразим значения для всех областей с помощью диаграммы:
Определим х:
х=U (универсум)
U=70+10+50+20+80+10+50+10=300.
Получили, что 300 человек
приняли участие в опросе.
Задача 5.
На одну специальность в одном из ВУЗов поступало 120 человек. Абитуриенты сдавали три экзамена: по математике, по информатике и русскому языку. Математику сдали 60 человек, информатику - 40. 30 абитуриентов сдали математику и информатику, 30 - математику и русский язык, 25 - информатику и русский язык. 20 человек сдали все три экзамена, а 50 человек - провалили. Сколько абитуриентов сдали русский язык?
Диаграмма Эйлера-Венна - наглядное средство для работы со множествами. На этих диаграммах изображаются все возможные варианты пересечения множеств. Количество пересечений (областей) n определяется по формуле:
n=2 N ,
где N - количество множеств.
Таким образом, если в задаче используется два множества, то n=2 2 =4, если три множества, то n=2 3 =8, если четыре множества, то n=2 4 =16. Поэтому диаграммы Эйлера-Венна используются в основном для двух или трех множеств.
Множества изображаются в виде кругов (если используется 2-3 множества) и эллипсов (если используется 4 множества), помещенных в прямоугольник (универсум).
Универсальное множество (универсум) U (в контексте задачи) - множество, содержащее все элементы рассматриваемой задачи: элементы всех множеств задачи и элементы, не входящие в них.
Пустое множество Ø
(в контексте задачи) - множество, не содержащее ни одного элемента рассматриваемой задачи.
На диаграмме строят пересекающиеся множества, заключают их в универсум. Выделяют области, количество которых равно количеству пересечений.
Диаграммы Эйлера-Венна также используются для визуального представления логических операций.
Разберем примеры построения диаграмм Эйлера-Венна для двух и трех множеств.
Пример 1
Универсум U={0,1,2,3,4,5,6}
Диаграммы Эйлера-Венна для двух множеств А и В:
Пример 2
Пусть есть следующие множества чисел:
Универсум U={0,1,2,3,4,5,6,7}
Диаграммы Эйлера-Венна для трех множеств А, В, С:
Определим области, и числа которые им принадлежат:
А |
B |
C |
Обозначение области | Числа |
---|---|---|---|---|
0 |
0 |
0 |
0) | 0 |
0 |
0 |
1 |
1) | 7 |
0 |
1 |
0 |
2) | 5 |
0 |
1 |
1 |
3) | 6 |
1 |
0 |
0 |
4) | 2 |
1 |
0 |
1 |
5) | 1 |
1 |
1 |
0 |
6) | 4 |
1 |
1 |
1 |
7) | 3 |
Пример 3
Пусть есть следующие множества чисел:
А={0,1,2,3,4,5,6,7}
В={3,4,5,7,8,9,10,13}
С={0,2,3,7,8,10,11,12}
D={0,3,4,6,9,10,11,14}
Универсум U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}
Диаграммы Эйлера-Венна для четырех множеств А, В, С, D:
Определим области, и числа которые им принадлежат:
А |
B |
C |
D | Обозначение области | Числа |
---|---|---|---|---|---|
0 |
0 |
0 |
0 | 0) | 15 |
0 |
0 |
0 |
1 | 1) | 14 |
0 |
0 |
1 |
0 | 2) | 12 |
0 |
0 |
1 |
1 | 3) | 11 |
0 |
1 |
0 |
0 | 4) | 13 |
0 |
1 |
0 |
1 | 5) | 9 |
0 |
1 |
1 |
0 | 6) | 8 |
0 | 1 | 1 | 1 | 7) | 10 |
1 |
0 |
0 |
0 | 8) | 1 |
1 | 0 | 0 | 1 | 9) | 6 |
1 | 0 | 1 | 0 | 10) | 2 |
1 | 0 | 1 | 1 | 11) | 0 |
1 | 1 | 0 | 0 | 12) | 5 |
1 | 1 | 0 | 1 | 13) | 4 |
1 | 1 | 1 | 0 | 14) | 7 |
1 | 1 | 1 | 1 | 15) | 3 |
Если Вы хотите порешать типовые задач на множества, то перейдите к статье.
Разделы: Информатика
1. Введение
В курсе Информатики и ИКТ основной и старшей школы рассматриваются такие важные темы как “Основы логики” и “Поиск информации в Интернет”. При решении определенного типа задач удобно использовать круги Эйлера (диаграммы Эйлера-Венна).
Математическая справка. Диаграммы Эйлера-Венна используются прежде всего в теории множеств как схематичное изображение всех возможных пересечений нескольких множеств. В общем случае они изображают все 2 n комбинаций n свойств. Например, при n=3 диаграмма Эйлера-Венна обычно изображается в виде трех кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника.
2. Представление логических связок в поисковых запросах
При изучении темы “Поиск информации в Интернет” рассматриваются примеры поисковых запросов с использованием логических связок, аналогичным по смыслу союзам “и”, “или” русского языка. Смысл логических связок становится более понятным, если проиллюстрировать их с помощью графической схемы – кругов Эйлера (диаграмм Эйлера-Венна).
3. Связь логических операций с теорией множеств
С помощью диаграмм Эйлера-Венна можно наглядно представить связь логических операций с теорией множеств. Для демонстрации можно воспользоваться слайдами в Приложение 1.
Логические операции задаются своими таблицами истинности. В Приложении 2 подробно рассматриваются графические иллюстрации логических операций вместе с их таблицами истинности. Поясним принцип построения диаграммы в общем случае. На диаграмме – область круга с именем А отображает истинность высказывания А (в теории множеств круг А – обозначение всех элементов, входящих в данное множество). Соответственно, область вне круга отображает значение “ложь” соответствующего высказывания. Что бы понять какая область диаграммы будет отображением логической операции нужно заштриховать только те области, в которых значения логической операции на наборах A и B равны “истина”.
Например, значение импликации равно “истина” в трех случаях (00, 01 и 11). Заштрихуем последовательно: 1) область вне двух пересекающихся кругов, которая соответствует значениям А=0, В=0; 2) область, относящуюся только к кругу В (полумесяц), которая соответствует значениям А=0, В=1; 3) область, относящуюся и к кругу А и к кругу В (пересечение) – соответствует значениям А=1, В=1. Объединение этих трех областей и будет графическим представлением логической операции импликации.
4. Использование кругов Эйлера при доказательстве логических равенств (законов)
Для того, чтобы доказать логические равенства можно применить метод диаграмм Эйлера-Венна. Докажем следующее равенство ¬(АvВ) = ¬А&¬В (закон де Моргана).
Для наглядного представления левой части равенства выполним последовательно: заштрихуем оба круга (применим дизъюнкцию) серым цветом, затем для отображения инверсии заштрихуем область за пределами кругов черным цветом:
Рис.3 Рис.4
Для визуального представления правой части равенства выполним последовательно: заштрихуем область для отображения инверсии (¬А) серым цветом и аналогично область ¬В также серым цветом; затем для отображения конъюнкции нужно взять пересечение этих серых областей (результат наложения представлен черным цветом):
Рис.5 Рис.6 Рис.7
Видим, что области для отображения левой и правой части равны. Что и требовалось доказать.
5. Задачи в формате ГИА и ЕГЭ по теме: “Поиск информации в Интернет”
Задача №18 из демо-версии ГИА 2013.
В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Для каждого запроса указан его код – соответствующая буква от А до Г. Расположите коды запросов слева направо в порядке убывания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Код | Запрос |
А | (Муха & Денежка) | Самовар |
Б | Муха & Денежка & Базар & Самовар |
В | Муха | Денежка | Самовар |
Г | Муха & Денежка & Самовар |
Для каждого запроса построим диаграмму Эйлера-Венна:
Запрос А | Запрос Б | Запрос В | Запрос Г |
Ответ: ВАГБ.
Задача В12 из демо-версии ЕГЭ-2013.
В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.
Запрос | Найдено страниц (в тысяч) |
Фрегат | Эсминец | 3400 |
Фрегат & Эсминец | 900 |
Фрегат | 2100 |
Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Эсминец ?
Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.
Ф – количество страниц (в тысячах) по запросу Фрегат ;
Э – количество страниц (в тысячах) по запросу Эсминец ;
Х – количество страниц (в тысячах) по запросу, в котором упоминается Фрегат и не упоминается Эсминец ;
У – количество страниц (в тысячах) по запросу, в котором упоминается Эсминец и не упоминается Фрегат.
Построим диаграммы Эйлера-Венна для каждого запроса:
Запрос | Диаграмма Эйлера-Венна | Количество страниц |
Фрегат | Эсминец | Рис.12 | 3400 |
Фрегат & Эсминец | Рис.13 | 900 |
Фрегат | Рис.14 | 2100 |
Эсминец | Рис.15 | ? |
Согласно диаграммам имеем:
- Х+900+У = Ф+У = 2100+У = 3400. Отсюда находим У = 3400-2100 = 1300.
- Э = 900+У = 900+1300= 2200.
Ответ: 2200.
6. Решение логических содержательных задач методом диаграмм Эйлера-Венна
В классе 36 человек. Ученики этого класса посещают математический, физический и химический кружки, причем математический кружок посещают 18 человек, физический - 14 человек, химический - 10. Кроме того, известно, что 2 человека посещают все три кружка, 8 человек - и математический и физический, 5 и математический и химический, 3 - и физический и химический.
Сколько учеников класса не посещают никаких кружков?
Для решения данной задачи очень удобным и наглядным является использование кругов Эйлера.
Самый большой круг – множество всех учеников класса. Внутри круга три пересекающихся множества: членов математического (М ), физического (Ф ), химического (Х ) кружков.
Пусть МФХ – множество ребят, каждый из которых посещает все три кружка. МФ¬Х – множество ребят, каждый из которых посещает математический и физический кружки и не посещает химический. ¬М¬ФХ - множество ребят, каждый из которых посещает химический кружок и не посещает физический и математический кружки.
Аналогично введем множества: ¬МФХ, М¬ФХ, М¬Ф¬Х, ¬МФ¬Х, ¬М¬Ф¬Х.
Известно, что все три кружка посещают 2 человека, следовательно, в область МФХ впишем число 2. Т.к. 8 человек посещают и математический и физический кружки и среди них уже есть 2 человека, посещающих все три кружка, то в область МФ¬Х впишем 6 человек (8-2). Аналогично определим количество учащихся в остальных множествах:
Просуммируем количество человек по всем областям: 7+6+3+2+4+1+5=28. Следовательно, 28 человек из класса посещают кружки.
Значит, 36-28 = 8 учеников не посещают кружки.
После зимних каникул классный руководитель спросил, кто из ребят ходил в театр, кино или цирк. Оказалось, что из 36 учеников класса двое не были ни в кино. ни в театре, ни в цирке. В кино побывало 25 человек, в театре - 11, в цирке 17 человек; и в кино, и в театре - 6; и в кино и в цирке - 10; и в театре и в цирке - 4.
Сколько человек побывало и в кино, и в театре, и в цирке?
Пусть х – количество ребят, которые побывали и в кино, и в театре, и в цирке.
Тогда можно построить следующую диаграмму и посчитать количество ребят в каждой области:
В кино и театре побывало 6 чел., значит,
только в кино и театре (6-х) чел. Аналогично, только в кино и цирке (10-х) чел. Только в театре и цирке (4-х) чел. В кино побывало 25 чел., значит, из них только в кино были 25 - (10-х) – (6-х) – х = (9+х). Аналогично, только в театре были (1+х) чел. Только в цирке были (3+х) чел. Не были в театре, кино и цирке – 2 чел. Значит, 36-2=34 чел. побывали на мероприятиях. С другой стороны можем просуммировать количество человек, которые были в театре, кино и цирке: (9+х)+(1+х)+(3+х)+(10-х)+(6-х)+(4-х)+х = 34 Отсюда следует, что только один человек побывал на всех трех мероприятиях. |
Таким образом, круги Эйлера (диаграммы Эйлера-Венна) находят практическое применение при решении задач в формате ЕГЭ и ГИА и при решении содержательных логических задач.
Литература
- В.Ю. Лыскова, Е.А. Ракитина. Логика в информатике. М.: Информатика и Образование, 2006. 155 с.
- Л.Л. Босова. Арифметические и логические основы ЭВМ. М.: Информатика и образование, 2000. 207 с.
- Л.Л. Босова, А.Ю. Босова. Учебник. Информатика и ИКТ для 8 класса: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. 220 с.
- Л.Л. Босова, А.Ю. Босова. Учебник. Информатика и ИКТ для 9 класса: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. 244 с.
- Сайт ФИПИ: http://www.fipi.ru/
Чтобы лучше представить себе множество, можно использовать рисунок, называемый диаграммой Эйлера_Венна.Это замкнутая линия, внутри которой расположены элементы данного множества, а с наружи -элементы, не пренадлежащие множеству.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Диаграмма Венна Знаки ∈ и ∉ 3 класс Математика Петерсон Л.Г.
Любое множество А можно изобразить графически в виде замкнутой линии. Считается, что элементы множества (А) расположены внутри этой линии, а все элементы, которые не принадлежат множеству (А), - снаружи. Такая схема называется диаграммой Венна. a 2 m Например, диаграмму множества В = { 2, m , } можно нарисовать так: В
Знаки ∈ и ∉ a 2 m Предложение «Число 2 принадлежит множеству В» записывают короче: 2 ∈ В. Знак ∈ читают: «принадлежит» Предложение «Буква а не принадлежит множеству В» также можно записать короче: а ∉ В. Знак ∉ читают: «не принадлежит» В
e 8 b A 4 На рисунке изображена диаграмма множества А. Какие элементы принадлежат множеству А, а какие ему не принадлежат? b … A e … A … A 8 … A 4 … A … A ∈ ∈ ∈ ∉ ∉ ∉ ∉ ∉ Прочти ещё раз полученные записи.
Отметь элементы, d, 10 , 5 на диаграмме множества С, если известно, что: ∈ С ∉ С С d ∉ C 10 ∈ C ∈ C 5 ∉ С d 10 5
Имеется множество М = {а, b, c, }. Какой знак поставить: ∈ или ∉ ? a … M … M c … M … M … M 8 … M ∈ ∈ ∈ ∉ ∉ ∉
D – множество двузначных чисел. Являются ли числа 26, 307, 8, 940, 15, 60 элементами множества D ? 26 … D 8 … D 15 … D 307 … D 940 … D 60 … D ∈ ∈ ∈ ∉ ∉ ∉ Отметим эти числа на диаграмме. 26 307 8 940 15 60 Назовите самое маленькое и самое большое число множества D. D = { 10 , …, …, … 99}
А – множество бабочек, а В – множество роз. Как построить диаграммы множеств А и В? Сколько бабочек принадлежит множеству А? Сколько роз принадлежит множеству В? Сколько общих элементов у множеств А и В?
Задание на дом. Стр.12 №11, 12
Равенство множеств.
Множества А и В считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
Равенство множеств обозначают так: А = В .
Если множества не равны, то пишут А ¹ В .
Запись равенства двух множеств А = В эквивалентна записи А Ì В , или В Ì А .
Например, множество решений уравнения x 2 - 5x + 6 = 0содержит те же самые элементы (числа 2 и 3), что и множество простых чисел, меньших пяти. Эти два множества равны. (Простым числом называется натуральное число, которое делится без остатка только на 1 и на само себя; при этом 1 - простым числом не является.)
Пересечение (умножение) множеств.
Множество D , состоящее из всех элементов, принадлежащих и множеству А и множеству В , называется пересечением множеств А и В и обозначается D = А В.
Рассмотрим два множества: X = {0, 1, 3, 5} и Y = {1, 2, 3, 4}. Числа 1 и 3 и только они принадлежат одновременно обоим множествам Х и Y. Составленное из них множество {1, 3} содер-жит все общие для множеств Х и Y элементы. Таким образом, множество {1, 3} является пересечением рас-смотренных множеств Х и Y :
{1, 3} = {0, 1, 3, 5} {1, 2, 3, 4}.
Для отрезка [-1; 1] и интервала ]0; 3[ пересечением, т. е. множеством, состоящим из общих элементов, является промежуток ]0; 1] (рис. 1).
Рис. 1. Пересечением отрезка [-1; 1] и интервала ]0; 3[ является промежуток ]0; 1]
Пересечением множества прямоугольников и множества ромбов является множество квадратов.
Пересечение множества учеников восьмых классов данной школы и множества членов химического кружка той же школы есть мно-жество учеников восьмых клас-сов, являющихся членами хими-ческого кружка.
Пересечение множеств (и другие операции - см. ниже) хорошо иллюстрируется при наглядном изображении множеств на плоскости. Эйлер предложил для этого использовать круги. Изображение пересечения (выделено серым) множеств А и В при помощи кругов Эйлера представлено на рис. 2.
Рис. 3. Диаграмма Эйлера-Венна пересечения (выделено серым) множеств А и В , являющихся подмножествами некоторого универсума, изображённого в виде прямоугольника
Если множества А и В не имеют общих элементов, то гово-рят, что эти множества не пересекаются или что их пересечение - пустое множество, и пишут А В = Æ.
Например, пересечение множества чётных чисел с множеством нечётных чисел пусто.
Пустым является и пересечение числовых промежутков ]-1; 0] и -1; 0] и }