Для выборки можно определить ряд числовых характеристик, которые аналогичны основным числовым характеристикам случайных величин в теории вероятностей (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, мода, медиана) и являются в некотором смысле (который будет ясен дальше) их приближенным значением.

Пусть дано статистическое распределение выборки объема n для частот и относительных частот:

Если внести множитель под знак суммы, то получим формулу для выборочного среднего через относительные частоты:

.

Отметим, что в случае интервального ряда выборочное среднее вычисляется по тем же формулам, если в качестве чисел х 1 , … , х k взять середины интервалов: , … ,.

Выборочной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборки от их выборочного среднего:

Снова внося множитель под знак суммы, получим формулу для выборочной дисперсии через относительные частоты:

Несложные преобразования приводят к более удобной формуле для вычисления выборочной дисперсии

,

где есть выборочное среднее квадрата изучаемой случайной величины, т.е.

Если выборка представлена интервальным статистическим рядом, то формулы для выборочной дисперсии остаются те ми же, где, как обычно, в качестве чисел х 1 , … , х k берутся середины интервалов: , … ,.

Выборочным средним квадратическим отклонением называется квадратный корень из выборочной дисперсии

.

Размахом вариации R называется разность между максимальным и минимальным значением в выборке. Если варианты в выборке ранжированы (размещены в возрастающем порядке), то

.

Коэффициент вариации определяется по формуле

.

Модой М о вариационного ряда называется вариант, имеющий наибольшую частоту (или относительную частоту).

Медианой М е вариационного ряда называется число, являющееся его серединой. Для дискретного ряда с нечетным числом вариант медиана равна его серединному варианту. Если же число вариант четно, то Медина равна среднему (т.е. полусумме) двух серединных вариант.

К основным статистическим характеристикам ряда измерений (вариацион­ного ряда) относятся характеристики положения(средние характе­ристики, или центральная тенденция выборки); характеристики рассеяния(ва­риации, или колеблемости) и характеристики формыраспределения.

К характеристикам положения относятся среднее арифметическое значе­ние (среднее значение), мода и медиана.

К характеристикам рассеяния (вариации, или колеблемости) относятся: размах вариации, дисперсия, среднее квадратическое (стандартное) отклонение, ошибка средней арифметической (ошибка средней), коэффициент вариации и др.

К характеристикам формы относятся коэффициент асимметрии, мера ско­шенности и эксцесс.

51. Оценка параметров генеральной совокупности. Точечная и интервальная оценка. Доверительный интервал. Уровень значимости

Оценка параметров генеральной совокупности

Существуют точечные и интервальные оценки генеральных параметров.

Точечной одним числом . К таким оценкам относятся, например,

Для того чтобы статистические оценки давали «хорошие» приближения оцениваемых параметров, они должны быть:

несмещенными;

эффективными;

состоятельными.

Оценка называется несмещенной, если математическое ожидание ее выборочного распределения совпадает со значением генерального параметра.

Точечная оценка называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию выборочного распределения по сравнению с другими аналогичными оценками, т.е. обнаруживает наименьшую случайную вариацию.

Точечная оценка называется состоятельной, если при увеличении объема выборочной совокупности она стремиться к величине генерального параметра.

Например, выборочная средняя есть состоятельная, несмещённая оценка генеральной средней. Для выборки из нормальной генеральной совокупности эта оценка является также и эффективной.

При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, т.е. приводить к грубым ошибкам. По этой причине при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала – доверительного интервала .

Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок.

Для оценки генерального параметра с помощью доверительного интервала необходимы три величины:

Например, доверительный интервал для генеральной средней находится по формуле:при уровне значимости.

Доверительный интервал - термин, используемый в математической статистике при интервальной оценке статистических параметров, более предпочтительной при небольшом объёме выборки, чем точечная.

Уровень значимости - это вероятность того, что мы сочли различия существенными, а они на самом деле случайны.

Когда мы указываем, что различия достоверны на 5%-ом уровне значимости, или при р < 0,05 , то мы имеем виду, что вероятность того, что они все-таки недостоверны, составляет 0,05.

Когда мы указываем, что различия достоверны на 1%-ом уровне значимости, или при р < 0,01 , то мы имеем в виду, что вероятность того, что они все-таки недостоверны, составляет 0,01.

Если перевести все это на более формализованный язык, то уровень значимости - это вероятность отклонения нулевой гипотезы, в то время как она верна.

Ошибка, состоящая в той, что мы отклонили нулевую гипотезу, в то время как она верна, называется ошибкой 1 рода. (См. Табл. 1)

Табл. 1. Нулевая и альтернативные гипотезы и возможные состояния проверки.

Вероятность такой ошибки обычно обозначается как α. В сущности, мы должны были бы указывать в скобках не р< 0,05 или р< 0,01, а α< 0,05 или α< 0,01.

Если вероятность ошибки - это α , то вероятность правильного решения: 1-α. Чем меньше α, тем больше вероятность правильного решения.

Исторически сложилось так, что в психологии принято считать низшим уровнем статистической значимости 5%-ый уровень (р≤0,05): достаточным – 1%-ый уровень (р≤0,01) и высшим 0,1%-ый уровень (р≤0,001), поэтому в таблицах критических значений обычно приводятся значения критериев, соответствующих уровням статистической значимости р≤0,05 и р≤0,01, иногда - р≤0,001. Для некоторых критериев в таблицах указан точный уровень значимости их разных эмпирических значений. Например, для φ*=1,56 р=О,06.

До тех пор, однако, пока уровень статистической значимости не достигнет р=0,05, мы еще не имеем права отклонить нулевую гипотезу. Мы будем придерживаться следующего правила отклонения гипотезы об отсутствии различий (Но) и принятия гипотезы о статистической достоверности различий (Н 1).

Для математико-статистического анализа результатов выборки знать только характеристики положения недостаточно. Одна и та же величина среднего значе­ния может характеризовать совершенно различные выборки.

Поэтому кроме них в статистике рассматривают также характеристики рассеяния (вариации, или колеблемости ) результатов .

1. Размах вариации

Определение. Размахом вариации называется разница между наибольшим и наименьшим результатами выборки, обозначается R и определяется

R =X max - X min .

Информативность этого показателя невелика, хотя при малых объёмах вы­борки по размаху легко оценить разницу между лучшим и худшим результатами спортсменов.

2. Дисперсия

Определение. Дисперсией называется средний квадрат отклонения значений признака от среднего арифметического.

Для несгруппированных данных дисперсия определяется по формуле

где Х i – значение признака, - среднее арифметическое.

Для данных, сгруппированных в интервалы, дисперсия определяется по формуле

,

где х i – среднее значение i интервала группировки, n i – частоты интервалов.

Для упрощения расчётов и во избежание погрешностей вычисления при округ­лении результатов (особенно при увеличении объёма выборки) используются также другие формулы для определения дисперсии. Если среднее арифметическое уже вычислено, то для несгруппированных данных используется следующая фор­мула:

 2 =
,

для сгруппированных данных:

.

Эти формулы получаются из предыдущих раскрытием квадрата разности под знаком суммы.

В тех случаях, когда среднее арифметическое и дисперсия вычисляются од­новременно, используются формулы:

для несгруппированных данных:

 2 =
,

для сгруппированных данных:

.

3. Среднее квадратическое (стандартное ) отклонение

Определение. Среднее квадратическое (стандартное ) отклонение характе­ризует степень отклонения результатов от среднего значения в абсолютных единицах, т. к. в отличие от дисперсии имеет те же единицы измерения, что и результаты измерения. Иначе говоря, стандартное отклонение показывает плотность распределения результатов в группе около среднего значения, или однородность группы.

Для несгруппированных данных стандартное отклонение можно определить по формулам

 =
,

 =
или =
.

Для данных, сгруппированных в интервалы, стандартное отклонение определяется по формулам:

,

или
.

4. Ошибка средней арифметической (ошибка средней)

Ошибка средней арифметической характеризует колеблемость средней и вычисляется по формуле:

.

Как видно из формулы, с увеличением объёма выборки ошибка средней уменьшается пропорционально корню квадратному из объёма выборки.

5. Коэффициент вариации

Коэффициент вариации определяется как отношение среднего квадратического отклонения к среднему арифметическому, выраженное в процентах:

.

Считается, что если коэффициент вариации не превышает 10 %, то выборку можно считать однородной, то есть полученной из одной генеральной совокупности.

Математическая статистика – это раздел математики, изучающий приближенные методы отыскания законов распределения и числовых характеристик по результатам эксперимента.

Генеральная совокупность – это множество всех мыслимых значений наблюдений (объектов), однородных относительно некоторого признака, которые смогли быть сделаны.

Выборка – это совокупность случайно отобранных наблюдений (объектов) для непосредственного изучения из генеральной совокупности.

Статистическое распределение – это совокупность вариант x i и соответствующих им частот n i .

Гистограмма частот – это ступенчатая фигура, состоящая из смежных прямоугольников, построенных га оной прямой, основания которых одинаковы и равны ширине класса, а высота равна или частоте попадания в интервал n i или относительной частоте n i /n. Ширину интервала i можно определить по формуле Стерджеса :

I=(x max -x min)/(1+3,32lgn),

Где x max – максимальное; x min – минимальное значение вариант, а их разность носит название вариационный размах ; n – объем выборки.

Полигон частот – ломаная линия, отрезки которой соединяют точки с координатами x i , n i .

5. Характеристики положения (мода, медиана, выборочное среднее) и рассеяния (выборочная дисперсия и выборочное среднее квадратическое отклонение).

Мода (М о ) – это такое значение варианты, что предшествующее и следующее за ним значения имеют меньшие частоты встречаемости.

Для одномодальных распределений мода – это наиболее часто встречающаяся варианта в данной совокупности.

Для определения моды интервальных рядов служит формула:

M 0 =x ниж +i*((n 2 -n 1 )/(2n 2 -n 1 +n 3 )),

где х ниж – нижняя граница модального класса, т.е. класса с наибольшей частотой встречаемости n 2 ; n 2 – частота модального класса; n 1 – частота класса, предшествующего модальному; n 3 – частота класса, следующего за модальным; i – ширина классового интервала.

Медиана (М е )- это значение признака. Относительно которого ряд распределения делится на 2 равные по объему части.

Выборочная средняя – это среднее арифметическое значение вариант статистического ряда

Выборочная дисперсия – среднее арифметическое квадратов отклонения вариант от их среднего значения:

Среднее квадратическое отклонение – это квадратный корень из выборочной дисперсии:

S в =√(S в 2 )

6. Оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке (точечная и интервальная). Доверительный интервал и доверительная вероятность.

Числовые значения, характеризующие генеральную совокупность, называются параметрами.

Статистическое оценивание может выполняться двумя способами:

1)точечная оценка – оценка, которая дается для некоторой определенной точки;

2)интервальная оценка – по данным выборки оценивается интервал, в котором лежит истинное значение с заданной вероятностью.

Точечная оценка – это оценка, которая определяется одним числом. И это число определяется по выборке.

Точечная оценка называется состоятельной , если при увеличении объема выборки выборочная характеристика стремится к соответствующей характеристике генеральной совокупности.

Точечная оценка называется эффективной , если она имеет наименьшую дисперсию выборочного распределения по сравнению с другими аналогичными оценками.

Точечную оценку называют несмещенной , если ее математическое ожидание равно оценивающему параметру при любом объеме выборки.

Несмещенной оценкой генеральной средней (математического ожидания) служит выборочная средняя в:

в = i n i ,

где x i – варианты выборки; n i – частота встречаемости вариант x i ; n – объем выборки.

Интервальная оценка – это числовой интервал, который определяется двумя числами – границами интервала, содержащий неизвестный параметр генеральной совокупности.

Доверительный интервал – это интервал, в котором с той или иной заранее заданной вероятностью находится неизвестный параметр генеральной совокупности.

Доверительная вероятность p – это такая вероятность, что событие вероятности (1-р) можно считать невозможным. α=1-р – это уровень значимости. Обычно в качестве доверительных вероятностей используют вероятности, близкие к 1. Тогда событие, что интервал накроет характеристику, будет практически достоверным. Это р≥0,95, р≥0,99, р≥0,999.

Для выборки малого объема (n<30) нормально распределенного количественного признака х доверительный интервал может иметь вид:

в - m t≤≤ в + m t (р≥0,95),

где – генеральное среднее; в – выборочное среднее; t – нормированный показатель распределения Стьюдента с(n-1) степенями свободы, который определяется вероятностью попадания генерального параметра в данный интервал; m – ошибка выборочной средней.

Как ни важны средние характеристики, но не менее важной характеристикой массива числовых данных является поведение остальных членов массива по отношению к среднему показателю, на сколько они отличаются от средних показателей, как много членов массива значительно отличаются от среднего. На тренировках по стрельбе говорят о кучности результатов, в статистике исследуют характеристики рассеяния (разброса).

Отличие какого-либо значения х, от среднего значения х называют отклонением и вычисляют как разность х, - х. При этом отклонение может принимать как положительные значения, если число больше среднего, так и отрицательные значения, если число меньше среднего. Однако в статистике часто важно иметь возможность оперировать одним числом, характеризующим «кучность» всех числовых элементов массива данных. Любое суммирование всех отклонений членов массива приведет к нулю, так как положительные и отрицательные отклонения взаимно уничтожатся. Чтобы избежать обнуления, используют для характеристики рассеяния квадраты разностей, точнее, среднее арифметическое квадратов отклонений. Такую характеристику рассеяния называют выборочная дисперсия.

Чем больше дисперсия, тем больше рассеяние значений случайной величины. Для вычисления дисперсии используют приближенное значение выборочного среднего х с запасом на один разряд по отношению ко всем членам массива данных. В противном случае при суммировании большого количества приближенных значений будет накапливаться существенная ошибка. В связи с размерностью числовых значений следует отметить один недостаток такого показателя рассеяния, как выборочная дисперсия: единица измерения дисперсии D является квадратом единицы измерения значений х, характеристикой которых дисперсия является. Чтобы избавиться от этого недостатка, в статистике введена такая характеристика рассеяния, как выборочное среднее квадратичное отклонение , которое обозначается символом а (читается «сигма») и вычисляется по формуле

В норме более половины членов массива данных отличаются от среднего показателя меньше, чем на величину среднего квадратичного отклонения, т.е. принадлежат отрезку [х - а; х + а]. Иначе говорят: средний показатель с учетом разброса данных равен х ± а.

Введение еще одной характеристики рассеяния связано с размерностью членов массива данных. Все числовые характеристики в статистике вводятся с целью сравнения результатов исследования разных числовых массивов, характеризующих разные случайные величины. Однако сравнивать средние квадратичные отклонения от разных средних величин разных массивов данных не показательно, особенно если еще и размерность этих величин отличается. Например, если сравнивается длина и вес каких- либо объектов или рассеяния при изготовлении микро- и макроизделий. В связи с вышеизложенными соображениями вводится характеристика относительного рассеяния, которая называется коэффициентом вариации и вычисляется по формуле

Для подсчета числовых характеристик рассеяния значений случайной величины удобно использовать таблицу (табл. 6.9).

Таблица 6.9

Подсчет числовых характеристик рассеяния значений случайной величины

В процессе заполнения этой таблицы находится выборочное среднее х, которое в дальнейшем будет использоваться в двух видах. Как итоговая средняя характеристика (например, в третьем столбце таблицы) выборочное среднее х должно быть округлено до разряда, соответствующего наименьшему разряду какого-либо члена массива числовых данных х г Однако этот показатель используется в таблице при дальнейших вычислениях, и в этой ситуации, а именно при вычислениях в четвертом столбце таблицы, выборочное среднее х должно быть округлено с запасом на один разряд по отношению к наименьшему разряду какого-либо члена массива числовых данных х { .

Итогом вычислений при помощи таблицы типа табл. 6.9 будет получение значения выборочной дисперсии, а для записи ответа надо на основе значения выборочной дисперсии посчитать значение среднего квадратичного отклонения а.

В ответе указывается: а) средний результат с учетом разброса данных в виде х±о ; б) характеристика стабильности данных V. В ответе следует оценить качество коэффициента вариации: плохой или хороший.

Допустимым коэффициентом вариации как показателем однородности или стабильности результатов в спортивных исследованиях считается 10-15%. Коэффициент вариации V = 20% в любых исследованиях считается весьма большим показателем. Если объем выборки п > 25, то V > 32% - очень плохой показатель.

Например, для дискретного вариационного ряда 1; 5; 4; 4; 5; 3; 3; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 3; 3; 5; 3; 5; 4; 4; 3; 3; 3; 3; 3 табл. 6.9 будет заполнена следующим образом (табл. 6.10).

Таблица 6.10

Пример подсчета числовых характеристик рассеяния значений

Ответ : а) средняя характеристика с учетом разброса данных равна х ± а = = 3 ± 1,4; б) стабильность полученных измерений находится на низком уровне, так как коэффициент вариации V = 48% > 32%.

Аналог табл. 6.9 может быть использован и для вычисления характеристик рассеяния интервального вариационного ряда. При этом варианты х г будут заменены представителями промежутков x v ja абсолютные частоты вариант f { - на абсолютные частоты промежутков f v

На основании вышеизложенного можно сделать следующие выводы.

Выводы математической статистики правдоподобны, если обрабатывается информация о массовых явлениях.

Обычно исследуется выборка из генеральной совокупности объектов, которая должна быть репрезентативна.

Опытные данные, полученные в результате исследования какого-либо свойства объектов выборки, представляют собой значение случайной величины, поскольку исследователь заранее не может предсказать, какое именно число будет соответствовать определенному объекту.

Для выбора того или иного алгоритма описания и первичной обработки опытных данных важно уметь определять тип случайной величины: дискретная, непрерывная или смешанная.

Дискретные случайные величины описываются дискретным вариационным рядом и его графической формой - полигоном частот.

Смешанные и непрерывные случайные величины описываются интервальным вариационным рядом и его графической формой - гистограммой.

При сравнении нескольких выборок по уровню сформированное™ некоторого свойства используют средние числовые характеристики и числовые характеристики рассеяния случайной величины по отношению к средним.

При вычислении средней характеристики важно правильно выбрать вид средней характеристики, адекватный области ее применения. Структурные средние значения мода и медиана характеризуют структуру расположения вариант в упорядоченном массиве опытных данных. Количественное среднее значение дает возможность судить о среднем размере вариант (выборочная средняя).

Для вычисления числовых характеристик рассеяния - выборочной дисперсии, среднего квадратичного отклонения и коэффициента вариации - эффективен табличный способ.

Вариационный ряд

В генеральной совокупности исследуется некоторый количественный признак. Из нее случайным образом извлекается выборка объема n , то есть число элементов выборки равно n . На первом этапе статистической обработки производят ранжирование выборки, т.е. упорядочивание чисел x1, x2, …, xn по возрастанию. Каждое наблюдаемое значение xi называется вариантой . Частота mi – это число наблюдений значения xi в выборке. Относительная частота (частость) wi – это отношение частоты mi к объему выборки n : wi=mi/n.

При изучении вариационного ряда также используют понятия накопленной частоты и накопленной частости. Пусть x некоторое число. Тогда количество вариантов, значения которых меньше x , называется накопленной частотой: miнак=mi для xi называется накопленной частостью: wiнак=miнак/n.