Взгляните на рисунок. Вы видите две мензурки, в каждой из которых налито некоторое количество жидкости. Скажите, в какой из мензурок жидкости больше? Если вы считаете, что в правой – вы ошибаетесь! Правильный ответ такой: погрешность, возникающая при измерении объема жидкости этими мензурками, не позволяет сказать, в какой мензурке налито больше жидкости.

Как же это следует понимать? Давайте вспомним, что использование любого измерительного прибора обязательно сопровождается погрешностью измерения. Она зависит от цены деления шкалы этого прибора. Поскольку на правой мензурке деления более крупные, значит, погрешность измерения объема будет больше. Измерим объемы жидкостей в мензурках с учетом погрешностей.

Изобразим на двух числовых прямых измеренные значения объемов (отмечены желтыми точками) и интервалы между границами погрешностей измерений:

В отличие от измеренных значений, истинные значения объемов жидкостей находятся в неизвестном месте внутри интервалов. Истинный объем жидкости в левой мензурке может быть равен, например, 270 мл, а истинный объем жидкости в правой мензурке, например, 250 мл (отмечены красными точками).

Мы специально выбрали второе «красное» число меньше первого (ведь такая ситуация тоже может быть). А это значит, что правая мензурка может содержать меньший объем жидкости, чем левая, несмотря на то, что уровень жидкости в правой мензурке выше. Невероятно, но факт!

Предмет: математика

Наименование учебно-методического комплекта (УМК): «РИТМ »

Тема урока: Сравнение чисел и величин по длине, объёму, массе .

Тип урока: Систематизация и обобщение знаний.

Цель урока: учить первоклассников устанавливать связи «схема-признак»; восстановить в их памяти способы сравнения предметов по изученным признакам; обобщить и закрепить материал о величинах (на примере величин длина, объем, масса).

Задачи урока:

Сформировать способность к описанию результатов наблюдений за свойствами предметов (цвет, форма, размер, материал, объем, площадь, масса);

Сформировать умение выделять совокупности предметов или фигур, обладающих общим признаком;

Тренировать мыслительные операции, развивать моторику мелких мышц, способность к самоконтролю, развивать навыки общения;

Воспитывать у учащихся отношения делового сотрудничества (доброжелательность друг к другу, уважать мнение других, уметь слушать товарищей);

Прививать интерес к предмету.

Планируемые результаты:

Личностные :

Формировать учебно-познавательный интерес к материалу;

Умение оценивать свою работу и работу своих товарищей;

Воспитывать ответственность за свою работу;

Развивать мотивацию к учению и познанию;

готовность и способность к саморазвитию, развитие толерантности.

Метапредметные:

регулятивные:

Уметь определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя;

Проговаривать последовательность действий на уроке;

Понимать учебную задачу урока; осуществлять решение учебной задачи под руководством учителя;

Оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной ретроспективной оценки;

Высказывать своё предположение;

познавательные:

Уметь ориентироваться в своей системе знаний;

Находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке;

коммуникативные:

Формулировать собственное мнение и позицию;

Слушать и понимать мнение других;

Выполнять правила работы в паре;

Предметные:

Умение отличать свойства предметов, которые являются величинами, от тех свойств, которые не являются величинами;

Знания о том, что можно делать с величинами: сравнивать, измерять;

Умение сравнивать величины и их числовые значения;

Умение сравнивать результаты;

Умение работать в группе.

Оборудование урока : демонстрационные карточки с названиями признаков (длина, объем, цвет, площадь, форма, периметр, ширина, материал, масса), карточки (индивидуальные), весы, 4 кубика (внешне одинаковые, но различные по массе – 2 кубика одинаковой массы), демонстрационный кораблик, презентация к уроку.

Оборудование: мультимедийный проектор, компьютер, раздаточный материал для работы групп (шарики, мячики, коробочки из разного материала, разные по размеру, воздушные шары, проволока), математический веер, карточки для индивидуальной работы.

ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА УРОКА

Сначала рассмотрим задачу сравнения величины измеряемой в эксперименте, с константой а. Величину можно определить лишь приближенно, вычисляя среднее по измерениям. Надо узнать, выполняется ли соотношение . В этом случае ставят две задачи, прямую и обратную:

а) по известной величине найти константу а, которую превосходит с заданной вероятностью

б) найти вероятность того, что , где а - заданная константа.

Очевидно, если то вероятность того, что меньше 1/2. Этот случай не представляет интереса, и далее будем считать, что

Задача сводится к задачам, разобранным в п. 2. Пусть по измерениям определены X и его стандарт

Число измерений будем считать не очень малым, так что есть случайная величина с нормальным распределением. Тогда из критерия Стьюдента (9) при учете симметрии нормального распределения следует, что для произвольно выбранной вероятности выполняется условие

Полагая перепишем это выражение в следующем виде:

где - заданные в таблице 23 коэффициенты Стьюдента. Тем самым, прямая задача решена: найдена константа а, которую с вероятностью превышает

Обратная задача решается при помощи прямой. Перепишем формулы (23) следующим образом:

Это значит, что надо вычислить t по известным значениям а, выбрать в таблице 23 строку с данным - и найти по величине t соответствующее значение Оно определяет искомую вероятность

Две случайные величины. Часто требуется установить влияние некоторого фактора на исследуемую величину - например, увеличивает ли (и насколько) прочность металла определенная присадка. Для этого надо измерить прочность исходного металла и прочность легированного металла у и сравнить эти две величины, т. е. найти

Сравниваемые величины являются случайными; так, свойства металла определенной марки меняются от плавки к плавке, поскольку сырье и режим плавки не строго одинаковы. Обозначим эти величины через . Величина исследуемого эффекта равна и требуется определить, выполняется ли условие

Таким образом, задача свелась к сравнению случайной величины с константой а, разобранному выше. Прямая и обратная задачи сравнения в этом случае формулируются следующим образом:

а) по результатам измерений найти константу а, которую превосходит с заданной вероятностью (т. е. оценить величину исследуемого эффекта);

б) определить вероятность того, что где а - желательная величина эффекта; при это означает, чтонадо определить вероятность, с которой

Для решения этих задач надо вычислить z и дисперсию этой величины. Рассмотрим два способа их нахождения.

Независимые измерения. Измерим величину в экспериментах, а величину экспериментах, независимых от первых экспериментов. Вычислим средние значения по обычным формулам:

Эти средние сами являются случайными величинами, причем их стандарты (не путать со стандартами единичных измерений!) приближенно определяются несмещенными оценками:

Поскольку эксперименты независимы, то случайные величины х и у также независимы, так что при вычислении их математические ожидания вычитаются, а дисперсии складываются:

Несколько более точная оценка дисперсии такова:

Таким образом, и ее дисперсия найдены, и дальнейшие вычисления производятся по формулам (23) или (24).

Согласованные измерения. Более высокую точность дает другой способ обработки, когда в каждом из экспериментов одновременно измеряют . Например, после выпуска половины плавки в оставшийся в печи металл добавляют присадку, а затем сравнивают образцы металла из каждой половины плавки.

При этом, по существу, в каждом эксперименте измеряют сразу значение одной случайной величины , которую надо сравнить с константой а. Обработка измерений тогда производится по формулам (21)-(24), где вместо надо всюду подставить z.

Дисперсия при согласованных измерениях будет меньше, чем при независимых, поскольку она обусловлена только частью случайных факторов: те факторы, которые согласованно меняют , не влияют на разброс их разности. Поэтому такой способ позволяет получить более достоверные выводы.

Пример. Любопытной иллюстрацией сравнения величин является определение победителя в тех видах спорта, где судейство ведется «на глазок» - гимнастика, фигурное катание и т. д.

Таблица 24. Судейские оценки в баллах

В таблице 24 приведен протокол соревнований по выездке на Олимпийских играх 1972 г. Видно, что разброс судейских оценок велик, причем ни одну оценку нельзя признать грубо ошибочной и откинуть. На первый взгляд кажется, что достоверность определения победителя невелика.

Рассчитаем, насколько правильно определен победитель, т. е. какова вероятность события . Поскольку оценки обеим всадницам выставлялись одними и теми же судьями, можно воспользоваться способом согласованных измерений. По таблице 24 вычисляем подставляя в формулу (24) эти значения и получим .

Выбирая в таблице 23 строку находим, что этому значению t соответствует Отсюда т. е. с вероятностью 90% золотая медаль присуждена правильно.

Сравнение по способу независимых измерений даст несколько худшую оценку, поскольку оно не использует информацию о том, что оценки выставляли одни и те же судьи.

Сравнение дисперсий. Пусть требуется сравнить две методики эксперимента. Очевидно, точнее та методика, у которой дисперсия единичного измерения меньше (разумеется, если при этом не увеличивается систематическая ошибка). Значит, надо установить, выполняется ли неравенство .

Относительная величина – это результат деления (сравнения) двух абсолютных величин. В числителе дроби стоит величина, которую сравнивают, а в знаменателе – величина, с которой сравнивают (база сравнения). Например, если сопоставить величины экспорта США и России, которые в 2005 году составили 904,383 и 243,569 млрд. долл. соответственно, то относительная величина покажет, что величина экспорта США в 3,71 раза (904,383/243,569) больше экспорта России, при этом базой сравнения является величина экспорта России. Полученная относительная величина выражена в виде коэффициента , который показывает, во сколько раз сравниваемая абсолютная величина больше базисной. В данном примере база сравнения принята за единицу. В случае если основание принимается за 100, относительная величина выражается в процентах (% ), если за 1000 – в промилле (‰ ). Выбор той или иной формы относительной величины зависит от ее абсолютного значения:

– если сравниваемая величина больше базы сравнения в 2 раза и более, то выбирают форму коэффициента (как в вышеприведенном примере);

– если относительная величина близка к единице, то, как правило, ее выражают в процентах (например, сравнив величины экспорта России в 2006 и 2005 годах, которые составили 304,5 и 243,6 млрд. долл. соответственно, можно сказать, что экспорт в 2006 году составляет 125% от 2005 года );

– если относительная величина значительно меньше единицы (близка к нулю), ее выражают в промилле (например, в 2004 году Россия экспортировала в страны-СНГ всего 4142 тыс. т нефтепродуктов, в том числе в Грузию 10,7 тыс. т, что составляет 0,0026 , или 2,6‰ от всего экспорта нефтепродуктов в страны СНГ).

Различают относительные величины динамики, структуры, координации, сравнения и интенсивности, для краткости именуемые в дальнейшем индексами .

Индекс динамики характеризует изменение какого-либо явления во времени. Он представляет собой отношение значений одной и той же абсолютной величины в разные периоды времени. Данный индекс определяется по формуле (2):

где цифры означают: 1 – отчетный или анализируемый период, 0 – прошлый или базисный период.

Критериальным значением индекса динамики служит единица (или 100%), то есть если >1, то имеет место рост (увеличение) явления во времени; если =1 – стабильность; если <1 – наблюдается спад (уменьшение) явления. Еще одно название индекса динамики – индекс изменения , вычитая из которого единицу (100%), получают темп изменения (динамики) с критериальным значением 0, который определяется по формуле (3):

Если T >0, то имеет место рост явления; Т =0 – стабильность, Т <0 – спад.

В рассмотренном выше примере про экспорт России в 2006 и 2005 году был рассчитан именно индекс динамики по формуле (2): i Д = 304,5/243,6*100% = 125%, что больше критериального значения 100%, что свидетельствует об увеличении экспорта. Используя формулу (3) получим темп изменения: Т = 125% – 100% = 25%, который показывает, что экспорт увеличился на 25%.

Разновидностями индекса динамики являются индексы планового задания и выполнения плана, рассчитываемые для планирования различных величин и контроля их выполнения.

Индекс планового задания – это отношение планового значения признака к базисному. Он определяется по формуле (4):

где X’ 1 – планируемое значение; X 0 – базисное значение признака.

Например, таможенное управление перечислило в федеральный бюджет в 2006 году 160 млрд.руб., а на следующий год запланировали перечислить 200 млрд.руб., значит по формуле (4): i пз = 200/160 = 1,25, то есть плановое задание для таможенного управления на 2007 год составляет 125% от предыдущего года.

Для определения процента выполнения плана необходимо рассчитать индекс выполнения плана , то есть отношение наблюдаемого значения признака к плановому (оптимальному, максимально возможному) значению по формуле (5):

Например, на январь-ноябрь 2006 года таможенные органы запланировали перечислить в федеральный бюджет 1,955 трлн. руб., но фактически перечислили 2,59 трлн. руб., значит по формуле (5): i ВП = 2,59/1,955 = 1,325, или 132,5%, то есть плановое задание выполнили на 132,5%.

Индекс структуры (доля ) – это отношение какой-либо части объекта (совокупности) ко всему объекту. Он определяется по формуле (6):

В рассмотренном выше примере про экспорт нефтепродуктов в страны СНГ, была рассчитана доля этого экспорта в Грузию по формуле (6): d =10,7/4142 = 0,0026, или 2,6‰ .

Индекс координации – это отношение какой-либо части объекта к другой его части, принятой за основу (базу сравнения). Он определяется по формуле (7):

Например, импорт России в 2006 году составил 163,9 млрд.долл., тогда, сравнив его с экспортом (база сравнения), рассчитаем индекс координации по формуле (7): i К = 163,9/304,5 = 0,538, который показывает соотношение между двумя составными частями внешнеторгового оборота, то есть величина импорта России в 2006 году составляет 53,8% от величины экспорта. Меняя базу сравнения на импорт, по той же формуле получим: i К = 304,5/163,9 = 1,858, то есть экспорт России в 2006 году в 1,858 раза больше импорта, или экспорт составляет 185,8% от импорта.

Индекс сравнения – это сравнение (соотношение) разных объектов по одинаковым признакам. Он определяется по формуле (8):

где А , Б – сравниваемые объекты.

В рассмотренном выше примере, в котором сопоставлялись величины экспорта США и России, был рассчитан именно индекс сравнения по формуле (8): i с = 904,383/243,569 = 3,71. Меняя базу сравнения (то есть экспорт России – объект А, а экспорт США – объект Б), по той же формуле получим: i с = 243,569/904,383 = 0,27, то есть экспорт России составляет 27% от экспорта США.

Индекс интенсивности – это соотношение разных признаков одного объекта между собой. Он определяется по формуле (9):

где X – один признак объекта; Y – другой признак этого же объекта

Например, показатели выработки продукции в единицу рабочего времени, затрат на единицу продукции, цены единицы продукции и т.д.

Средние величины

В клинической медицине и практике здравоохранения мы часто сталкиваемся с признаками, имеющими количественную характеристику (рост, число дней нетрудоспособности, уровень кровяного давления, посещения поликлиники, численность населения на участке и т.д.). Количественные значения могут быть дискретными или непрерывными. Пример дискретного значения – число детей в семье, пульс; пример непрерывного значения – артериальное давление, рост, вес (число может быть дробным, переходящим в следующее)

Каждое числовое значение единицы наблюдения называется вариантой (x). Если все варианты построить в возрастающем или убывающем порядке и указать частоту каждой варианты (p), то можно получить так называемый вариационный ряд .

Вариационный ряд, имеющий нормальное распределение, графически представляет собой колокол (гистограмма, полигон).

Для характеристики вариационного ряда, имеющего нормальное распределение (или распределение Гаусса-Ляпунова), всегда используются две группы параметров:

1. Параметры, характеризующие основную тенденцию ряда: средняя величина (`x), мода(Мо), медиана (Ме).

2. Параметры, характеризующие рассеянность ряда: среднее квадратичное отклонение (d), коэффициент вариации (V).

Средняя величина (`x) – это величина, определяющая одним числом количественную характеристику качественно однородной совокупности.

Мода (Мо) – чаще всего встречающаяся варианта вариационного ряда.

Медиана (Ме) – варианта, делящая вариационный ряд на равные половины.

Среднее квадратичное отклонение (d) показывает, как в среднем отклоняется каждая варианта от средней величины.

Коэффициент вариации (V ) определяет изменчивость вариационного ряда в процентах и дает возможность судить о качественной однородности изучаемой совокупности. Целесообразно использовать для сравнения вариации различных признаков (а также степени изменчивости сильно отличающихся групп, групп особей разных видов, например, вес новорожденных и семилетних детей).

Лимиты или пределы (lim) – минимальное и максимальное значение вариант. простейший способ дать характеристику вариационному ряду, указать его размах, минимальное и максимальное значение ряда, т.е. его лимиты. Однако лимиты не указывают на то, как распределяются по изучаемому признаку отдельные члены совокупности, поэтому используют указанные выше две группы параметров вариационного ряда.

Имеются разные модификации вычисления параметров вариационного ряда. Их выбор зависит от самого вариационного ряда и технических средств.

В зависимости от того как варьирует признак – дискретно или непрерывно, в широком или узком диапазоне различают простой невзвешенный, простой взвешенный (для дискретных величин) и интервальный вариационный ряд (для непрерывных величин).

Группировку рядов проводят при большом числе наблюдений следующим путем:

1. Определяют размах ряда вычитанием минимальной варианты из максимальной.

2. Полученное число делят на желаемое число групп (минимальное число – 7, максимальное – 15). Так определяется интервал.

3. Начиная с минимальной варианты, строят вариационный ряд. Границы интервалов должны быть четкие, исключающие попадание одной и той же варианты в разные группы.

Вычисление параметров вариационного ряда ведется от центральной варианты. Если ряд непрерывный, то центральная варианта вычисляется как полусумма начальных вариант предыдущей и последующей групп. Если это прерывный ряд, то центральная варианта вычисляется как полусумма начальной и конечной вариант в группе.

Вычисление параметров вариационного ряда

Алгоритм вычисления параметров простого невзвешенного вариационного ряда:

1. Располагают варианты в возрастающем порядке

2. Суммируют все варианты (Sx);

3. Разделив сумму на число наблюдений, получают невзвешенную среднюю ;

4. Вычисляют порядковый номер медианы (Ме);

5. Определяют варианту медианы (Ме)

6. Находят отклонение (d) каждой варианты от средней (d = x -`x)

7. Возводят отклонение в квадрат (d 2);

8. Суммируют d 2 (Sd 2);

9. Вычисляют среднее квадратичное отклонение по формуле: ± ;

10. Определяют коэффициент вариации по формуле: .

11. Делают вывод о полученных результатах.

Примечание: в однородной статистической совокупности коэффициент вариации бывает 5-10%, 11-20% - средняя вариации, более 20% - высокая вариация.

Пример:

В отделении реанимации и интенсивной терапии было проведено лечение 9 больных с сосудистым поражением мозга. Длительность лечения каждого больного в днях: 7, 8, 12, 6, 4, 10, 9, 5,11.

1. Строим вариационный ряд (x): 4,5,6,7,8,9,10,11,12

2. Вычисляем сумму вариант: Sx = 72

3. Вычисляем среднее значение вариационного ряда: =72/9=8 дней;

4. ;

5. Ме n =5 =8 дней;

9. (дней);

10. Коэффициент вариации равен: ;

Алгоритм вычисления параметров простого взвешенного вариационного ряда:

1. Располагают варианты в возрастающем порядке с указанием их частоты (p);

2. Перемножают каждую варианту на свою частоту (x*p);

3. Суммируют произведения xp (Sxp);

4. Вычисляют среднюю величину по формуле (`x)= ;

5. Находят порядковый номер медианы ;

6. Определяют варианту медианы (Ме);

7. Чаще всего встречающуюся варианту принимают за моду (Мо);

8. Находят отклонения d каждой варианты от средней (d = x - `x);

9. Возводят отклонения в квадрат (d 2);

10. Перемножают d 2 на p (d 2 *p);

11. Суммируют d 2 *p (Sd 2 *p);

12. Вычисляют среднее квадратичное отклонение (s) по формуле: ± ;

13. Определяют коэффициент вариации по формуле: .

Пример.

Измерялось систолическое артериальное давление у девушек в возрасте 16 лет.

мм рт.ст.;

Мм рт.ст.

;

Ме=108 мм рт.ст.; Мо=108 мм рт.ст.

Алгоритм вычисления параметров сгруппированного вариационного ряда способом моментов:

1. Расположить варианты в возрастающем порядке с указанием их частоты (р)

2. Провести группировку вариант

3. Вычислить центральную варианту

4. Варианту с самой высокой частотой принимают за условную среднюю (А)

5. Вычислить условное отклонение (а) каждой центральной варианты от условной средней (А)

6. Перемножают а на р (а*р)

7. Суммируют произведения ар

8. Определяют величину интервала y путем вычитания центральной варианты из предыдущей

9. Вычисляют среднюю величину по формуле:

;

10. Для вычисления условного квадратичного отклонения условные отклонения возводят в квадрат (а 2)

11. Перемножают а 2 *р

12. Суммируют произведения а*р 2

13. Вычисляют среднее квадратичное отклонение по формуле

Пример

Имеются данные мужчин в возрасте 30-39 лет

- средняя арифметическая

; - среднее квадратичное отклонение; - ошибка средней

Оценка достоверности

Статистическая оценка достоверности результатов медико-статистического исследования складывается из ряда этапов – точность результатов зависит отдельных этапов.

При этом встречаются две категории ошибок: 1) ошибки, которые нельзя заранее учесть математическими методами (ошибки точности, внимания, типичности, методические ошибки и т.д.); 2) ошибки репрезентативности, связанные с выборочным исследованием.

Величина ошибки репрезентативности определяется как объемом выборки, так и разнообразием признака и выражается средней ошибкой. Средняя ошибка показателя вычисляется по формуле:

где m – средняя ошибка показателя;

p – статистический показатель;

q – величина обратная p (1-p, 100-p, 1000-p, и т.д.)

n – число наблюдений.

При числе наблюдений менее 30 в формулу вводится поправка:

Ошибка средней величины исчисляется по формулам:

; ;

где s - среднее квадратичное отклонение;

n – число наблюдений.

Пример 1.

Из стационара выбыло 289 человек, умерло – 12.

Летальность составит:

; ;

При проведении повторных исследований средняя (М) в 68% случаев будет колебаться в пределах ±m, т.е. степень вероятности (p), с которой мы получим такие доверительные границы средней, равна 0,68. Однако такая степень вероятности обычно не удовлетворяет исследователей. Наименьшей степенью вероятности, с которой хотят получить определенные границы колебания средней (доверительные границы), является 0,95 (95%). В этом случае доверительные границы средней должны быть расширены путем умножения ошибки (m) на доверительный коэффициент (t).

Доверительный коэффициент (t) – число, показывающее, во сколько раз нужно увеличить ошибку средней величины, чтобы при данном числе наблюдений с желаемой степенью вероятности (p) утверждать, что средняя величина не выйдет за получаемые таким образом пределы.

При p=0.95 (95%) t=2, т.е. M±tm=M+2m;

При p=0.99 (99%) t=3, т.е. M±tm=M+3m;

Сравнение средних показателей

При сравнении двух средних арифметических (или двух показателей), вычисленных за различные периоды времени или в несколько отличающихся условиях, определяется существенность различий между ними. При этом применяется следующее правило: разница между средними (или показателями) считается существенной в том случае, если арифметическая разность между сравниваемыми средними (или показателями) будет больше, чем два квадратных корня из суммы квадратов ошибок этих средних (или показателей), т.е.

(для сравниваемых средних);

(для сравниваемых показателей).