В курсе математики 7 класса впервые встречаются с уравнениями с двумя переменными , но изучаются они лишь в контексте систем уравнений с двумя неизвестными. Именно поэтому из поля зрения выпадает целый ряд задач, в которых на коэффициенты уравнения введены некоторые условия, их ограничивающие. Кроме того, остаются без внимания и методы решения задач типа «Решить уравнение в натуральных или целых числах», хотя в материалах ЕГЭ и на вступительных экзаменах задачи такого рода встречаются все чаще и чаще.

Какое уравнение будет называться уравнением с двумя переменными?

Так, например, уравнения 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 или xy = 12 являются уравнениями с двумя переменными.

Рассмотрим уравнение 2x – y = 1. Оно обращается в верное равенство при x = 2 и y = 3, поэтому эта пара значений переменных является решением рассматриваемого уравнения.

Таким образом, решением любого уравнения с двумя переменными является множество упорядоченных пар (x; y), значений переменных, которые это уравнение обращают в верное числовое равенство.

Уравнение с двумя неизвестными может:

а) иметь одно решение. Например, уравнение x 2 + 5y 2 = 0 имеет единственное решение (0; 0);

б) иметь несколько решений. Например, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 имеет 4 решения: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; -2);

в) не иметь решений. Например, уравнение x 2 + y 2 + 1 = 0 не имеет решений;

г) иметь бесконечно много решений. Например, x + y = 3. Решениями этого уравнения будут являться числа, сумма которых равна 3. Множество решений данного уравнения можно записать в виде (k; 3 – k), где k – любое действительное число.

Основными методами решения уравнений с двумя переменными являются методы, основанные на разложении выражений на множители, выделение полного квадрата, использование свойств квадратного уравнения, ограниченности выражений, оценочные методы. Уравнение, как правило, преобразовывают к виду, из которого можно получить систему для нахождения неизвестных.

Разложение на множители

Пример 1.

Решить уравнение: xy – 2 = 2x – y.

Решение.

Группируем слагаемые с целью разложения на множители:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Из каждой скобки вынесем общий множитель:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Имеем:

y = 2, x – любое действительное число или x = -1, y – любое действительное число.

Таким образом, ответом являются все пары вида (x; 2), x € R и (-1; y), y € R.

Равенство нулю неотрицательных чисел

Пример 2.

Решить уравнение: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Решение.

Группируем:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Теперь каждую скобку можно свернуть по формуле квадрата разности.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю, только если 3x – 2 = 0 и 2y – 3 = 0.

А значит, x = 2/3 и y = 3/2.

Ответ: (2/3; 3/2).

Оценочный метод

Пример 3.

Решить уравнение: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Решение.

В каждой скобке выделим полный квадрат:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Оценим значение выражений, стоящих в скобках.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 и (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, тогда левая часть уравнения всегда не меньше 2. Равенство возможно, если:

(x + 1) 2 + 1 = 1 и (y – 2) 2 + 2 = 2, а значит x = -1, y = 2.

Ответ: (-1; 2).

Познакомимся с еще одним методом решения уравнений с двумя переменными второй степени. Этот метод заключается в том, что уравнение рассматривается как квадратное относительно какой-либо переменной .

Пример 4.

Решить уравнение: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Решение.

Решим уравнение как квадратное относительно x. Найдем дискриминант:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Уравнение будет иметь решение только при D = 0, т. е. в том случае, если y = 4. Подставляем значение y в исходное уравнение и находим, что x = 3.

Ответ: (3; 4).

Часто в уравнениях с двумя неизвестными указывают ограничения на переменные .

Пример 5.

Решить уравнение в целых числах: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Решение.

Перепишем уравнение в виде x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Правая часть полученного уравнения при делении на 5 дает в остатке 2. Следовательно, x 2 не делится на 5. Но квадрат числа, не делящегося на 5, дает в остатке 1 или 4. Таким образом, равенство невозможно и решений нет.

Ответ: нет корней.

Пример 6.

Решить уравнение: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Решение.

Выделим полные квадраты в каждой скобке:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Левая часть уравнения всегда больше или равна 3. Равенство возможно при условии |x| – 2 = 0 и y + 3 = 0. Таким образом, x = ± 2, y = -3.

Ответ: (2; -3) и (-2; -3).

Пример 7.

Для каждой пары целых отрицательных чисел (x; y), удовлетворяющих уравнению
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, вычислить сумму (x + y). В ответе указать наименьшую из сумм.

Решение.

Выделим полные квадраты:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Так как x и y – целые числа, то их квадраты также целые числа. Сумму квадратов двух целых чисел, равную 37, получим, если складываем 1 + 36. Следовательно:

(x – y) 2 = 36 и (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 и (y + 2) 2 = 36.

Решая эти системы и учитывая, что x и y – отрицательные, находим решения: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Ответ: -17.

Не стоит отчаиваться, если при решении уравнений с двумя неизвестными у вас возникают трудности. Немного практики, и вы сможете справиться с любыми уравнениями.

Остались вопросы? Не знаете, как решать уравнения с двумя переменными?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Генрих Г.Н. ФМШ №146 г. Пермь

54 ≡ 6× 5 ≡ 2(mod 7),

55 ≡ 2× 5 ≡ 3(mod 7), 56 ≡ 3× 5 ≡ 1(mod 7).

Возводя в степень k, получаем 56k ≡ 1(mod 7) при любом натуральном k. Поэтому 5555 =56 × 92 × 53 ≡ 6 (mod7).

(Геометрически это равенство означает, что мы проходим по кругу, стартуя от 5, девяносто два цикла и еще три числа). Таким образом, число 222555 дает при делении на 7 остаток 6.

Решение уравнений в целых числах.

Несомненно, одна из интересных тем математики – решение диофантовых уравнений. Эта тема изучается в 8, а затем и в 10 и 11 классе.

Любое уравнение, которое требуется решить в целых числах, называется диофантовым уравнением. Простейшим из них является уравнение вида ах+bу=с, где а, b и с Î Z. При решении этого уравнения используется следующая теорема.

Теорема. Линейное диофантово уравнение ах+bу=с, где а, b и сÎ Z имеет решение тогда и только тогда, когда с делится на НОД чисел а и b. Если d=НОД (а, b), a=a1 d, b=b1 d, c=c1 d и (x0 , y0 ) – некоторое решение уравнения ах+bу=с, то все решения задаются формулами х=x0 +b1 t, y=y0 –a1 t, где t ─ произвольное целое число.

1. Решить в целых числах уравнения:

2. Следующие задачи рассматривала с выпускниками при подготовке к ЕГЭ по математике по данной теме.

1). Решить в целых числах уравнение: ху+3у+2х+6=13. Рещение:

Разложим на множители левую часть уравнения. Получим:

Так как x,уÎ Z, то получим совокупность систем уравнений:

Генрих Г.Н.

ФМШ №146 г. Пермь

Ответ: (–2;11), (10; –1), (–4; –15), (–15, –3)

2). Решить в натуральных числах уравнение: 3х +4у =5z .

9). Найти все пары натуральных чисел m и n, для которых справедливо равенство 3m +7=2n .

10). Найти все тройки натуральных чисел k, m и n, для которых справедливо равенство: 2∙k!=m! –2∙n! (1!=1, 2!=1∙2, 3!= 1∙2∙3, …n!= 1∙2∙3∙…∙n)

11). Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, или в 14 раз больше, или в 14 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 4321.

в) Какое наибольшее число членов может иметь последовательность? Решение:

а) Пусть а1 =х, тогда а2 = 14х или а1 =14х, тогда а2 =х. Тогда по условию а1 + а2 = 4321. Получим: х+14х=4321, 15х=4321, но 4321 не кратно 15, значит, двух членов в последовательности быть не может.

б) Пусть а1 =х, тогда а2 = 14х, а3 =х, или 14х+х+14х=4321, или х+14х+х=4321. 29х=4321, тогда х=149, 14х=2086. Значит, последовательность может иметь три члена. Во втором случае 16х=4321, но тогда х не является натуральным числом.

Ответ: а) нет; б) да; в) 577.

12). Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, или в 10; раз больше, или в 10 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 1860.

а) Может ли последовательность иметь два члена? б) Может ли последовательность иметь три члена?

в) Какое наибольшее число членов может иметь последовательность?

Очевидно, что говорить о делимости целых чисел и рассматривать задачи по данной теме можно бесконечно. Я постаралась рассмотреть эту тему так, чтобы в большей степени заинтересовать учащихся, показать им красоту математики еще и с этой с точки зрения.

Список литературы:

1. А. Я. Каннель-Белов, А. К. Ковальджи. Как решают нестандартные задачи Москва МЦНМО 2001

2. А.В.Спивак. Приложение к журналу Квант№4/2000 Математический праздник, Москва 2000

3. А.В.Спивак. Математический кружок, «Посев» 2003

4. Санкт-Петербургский городской дворец творчества юных. Математический кружок. Задачник первого-второго года обучения. Санкт-Петербург. 1993

5. Алгебра для 8 класса. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Под редакцией Н.Я.Виленкина. Москва, 1995 г.

6. М.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Москва, Просвещение. 1994 г.

7. Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков. Алгебра 8 класс. Учебник для школ и классов с углубленным изучением математики. Москва, 2001 г.

8. М.И.Шабунин, А.А.Прокофьев УМК МАТЕМАТИКА Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень. Учебник для 11 класса. Москва Бином. Лаборатория знаний 2009

9. М.И.Шабунин, А.А.Прокофьев, Т.А.Олейник, Т.В.Соколова. УМК МАТЕМАТИКА Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень Задачник для 11 класса. Москва Бином. Лаборатория знаний 2009

10. А.Г.Клово, Д.А.Мальцев, Л.И.Абзелилова Математика. Сборник тестов по плану ЕГЕ 2010

11. ЕГЭ-2010. «Легион-М». Ростов-на-Дону 2009

12. ЕГЭ УМК «Математика. Подготовка к ЕГЭ». Под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова. Подготовка к ЕГЭ-2011. «Легион-М». Ростов-на-Дону 2010

13. УМК «Математика. ЕГЭ-2010». Под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова. МАТЕМАТИКА Подготовка к ЕГЭ-2010. Учебно-тренировочные тесты. «Легион-М». Ростов-на-Дону 2009

14. ФИПИ ЕГЭ. Универсальные материалы для подготовки учащихся МАТЕМАТИКА 2010 «Интеллект-Центр» 2010

15. А.Ж.Жафяров. Математика. ЕГЭ-2010 Экспресс-консультация. Сибирское университетское издательство, 2010

Решение уравнений в целых числах.

Неопределенные уравнения – уравнения, содержащие более одного неизвестного. Под одним решением неопределенного уравнения понимается совокупность значений неизвестных, которая обращает данное уравнение в верное равенство.

Для решения в целых числах уравнения вида ах + by = c , где а, b , c – целые числа, отличные от нуля, приведем ряд теоретических положений, которые позволят установить правило решения. Эти положения основаны также на уже известных фактах теории делимости.

Теорема 1. Если НОД(а, b ) = d , то существуют такие целые числа х и у , что имеет место равенство ах + b у = d . (Это равенство называется линейной комбинацией или линейным представлением наибольшего общего делителя двух чисел через сами эти числа.)

Доказательство теоремы основано на использовании равенства алгоритма Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (наибольший общий делитель выражается через неполные частные и остатки, начиная с последнего равенства в алгоритме Евклида).

Пример .

Найти линейное представление наибольшего общего делителя чисел 1232 и 1672.

Решение.

1. Составим равенства алгоритма Евклида:

1672 = 1232 ∙1 + 440,

1232 = 440 ∙ 2 + 352,

440 = 352 ∙ 1 + 88,

352 = 88 ∙ 4, т.е. (1672,352) = 88.

2) Выразим 88 последовательно через неполные частные и остатки, используя полученные выше равенства, начиная с конца:

88 = 440 - 352∙1 = (1672 - 1232) - (1232 - 1672∙2 + 1232∙2) = 1672∙3 - 1232∙4, т.е. 88 = 1672∙3 + 1232∙(-4).

Теорема 2. Если уравнение ах + b у = 1 , если НОД(а, b ) = 1 , достаточно представить число 1 в виде линейной комбинации чисел а и b .

Справедливость этой теоремы следует из теоремы 1. Таким образом, чтобы найти одно целое решение уравнения ах + b у = 1, если НОД (а, в) = 1, достаточно представить число 1 в виде линейной комбинации чисел а и в .

Пример.

Найти целое решение уравнения 15х + 37у = 1.

Решение.

1. 37 = 15 ∙ 2 + 7,

15 = 7 ∙ 2 + 1.

2. 1 = 15 - 7∙2 = 15 - (37 - 15∙2) ∙2 = 15∙5 + 37∙(-2),

Теорема 3 . Если в уравнении ах + b у = с НОД(а, b ) = d >1 и с не делится на d , то уравнение целых решений не имеет.

Для доказательства теоремы достаточно предположить противное.

Пример .

Найти целое решение уравнения 16х - 34у = 7.

Решение .

(16,34)=2; 7 не делится на 2, уравнение целых решений не имеет

Теорема 4 . Если в уравнении ах + b у = с НОД(а, b ) = d >1 и с d , то оно

При доказательстве теоремы следует показать, что произвольное целое решение первого уравнения является также решением второго уравнения и обратно.

Теорема 5 . Если в уравнении ах + b у = с НОД(а, b ) = 1, то все целые решения этого уравнения заключены в формулах:

t – любое целое число.

При доказательстве теоремы следует показать, во-первых, что приведенные формулы действительно дают решения данного уравнения и, во-вторых, что произвольное целое решение этого уравнения заключено в приведенных формулах.

Приведенные теоремы позволяют установить следующее правило решения в целых числах уравнения ах+ b у = с НОД(а, b ) = 1:

1) Находится целое решение уравнения ах + b у = 1 путем представления 1 как линейной комбинации чисел а и b (существуют и другие способы отыскания целых решений этого уравнения, например при использовании цепных дробей);

Придавая t определенные целые значения, можно получить частные решения данного уравнения: наименьшие по абсолютной величине, наименьшие положительные (если можно) и т.д.

Пример .

Найти целые решения уравнения 407х - 2816у = 33 .

Решение.

1. Упрощаем данное уравнение, приводя его к виду 37х - 256у = 3.

2.Решаем уравнение 37х - 256у = 1.

256 = 37∙ 6 + 34,

37 = 34 ∙1 + 3,

34 = 3 ∙11 + 1.

1 = 34 - 3∙11 = 256 - 37∙6 - 11 (37 – 256 + 37∙6) = 256∙12 - 37∙83 =

37∙(-83) - 256∙(-12),

3. Общий вид всех целых решений данного уравнения:

х = -83∙3 - 256 t = -249 - 256 t ,

у = -12∙3 - 37 t = -36 - 37 t .

Метод полного перебора всех возможных значений переменных,

входящих в уравнение.

Найти множество всех пар натуральных чисел, которые являются решениями уравнения 49х + 51у = 602.

Решение:

Выразим из уравнения переменную х через у х = , так как х и у – натуральные числа, то х = 602 - 51у ≥ 49, 51у≤553, 1≤у≤10 .

Полный перебор вариантов показывает, что натуральными решениями уравнения являются х=5, у=7.

Ответ: (5;7).

Решение уравнений методом разложения на множители.

Диофант наряду с линейными уравнениями рассматривал квадратные и кубические неопределенные уравнения. Решение их, как правило, сложно.

Рассмотрим такой случай, когда в уравнениях можно применить формулу разности квадратов или другой способ разложения на множители.

Решить уравнение в целых числах: х 2 + 23 = у 2

Решение:

Перепишем уравнение в виде: у 2 - х 2 = 23, (у - х)(у + х) = 23

Так как х и у – целые числа и 23 – простое число, то возможны случаи:

Решая полученные системы, находим:

(-11;12),(11;12),(11;-12),(-11;-12)

Выражение одной переменной через другую и выделение целой части дроби.

Решить уравнение в целых числах: х 2 + ху – у – 2 = 0.

Решение:

Выразим из данного уравнения у через х:

у(х - 1) =2 - х 2 ,

Нелинейные уравнения с двумя неизвестными

Определение 1 . Пусть A - некоторое множество пар чисел (x ; y ) . Говорят, что на множестве A задана числовая функция z от двух переменных x и y , если указано правило, с помощью которого каждой паре чисел из множества A ставится в соответствие некоторое число.

Задание числовой функции z от двух переменных x и y часто обозначают так:

где f (x , y ) – любая функция, отличная от функции

f (x , y ) = ax +by + c ,

где a , b , c – заданные числа.

Определение 3 . Решением уравнения (2) называют пару чисел (x ; y ) , для которых формула (2) является верным равенством.

Пример 1 . Решить уравнение

Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то из формулы (4) вытекает, что неизвестные x и y удовлетворяют системе уравнений

решением которой служит пара чисел (6 ; 3) .

Ответ : (6 ; 3)

Пример 2 . Решить уравнение

Следовательно, решением уравнения (6) является бесконечное множество пар чисел вида

(1 + y ; y ) ,

где y – любое число.

линейное

Определение 4 . Решением системы уравнений

называют пару чисел (x ; y ) , при подстановке которых в каждое из уравнений этой системы получается верное равенство.

Системы из двух уравнений, одно из которых линейное , имеют вид

g (x , y )

Пример 4 . Решить систему уравнений

Решение . Выразим из первого уравнения системы (7) неизвестное y через неизвестное x и подставим полученное выражение во второе уравнение системы:

Решая уравнение

x 1 = - 1 , x 2 = 9 .

Следовательно,

y 1 = 8 - x 1 = 9 ,
y 2 = 8 - x 2 = - 1 .

Системы из двух уравнений, одно из которых однородное

Системы из двух уравнений, одно из которых однородное , имеют вид

где a , b , c – заданные числа, а g (x , y ) – функция двух переменных x и y .

Пример 6 . Решить систему уравнений

Решение . Решим однородное уравнение

3x 2 + 2xy - y 2 = 0 ,

3x 2 + 17xy + 10y 2 = 0 ,

рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного x :

.

В случае, когда x = - 5y , из второго уравнения системы (11) получаем уравнение

5y 2 = - 20 ,

которое корней не имеет.

В случае, когда

из второго уравнения системы (11) получаем уравнение

,

корнями которого служат числа y 1 = 3 , y 2 = - 3 . Находя для каждого из этих значений y соответствующее ему значение x , получаем два решения системы: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .

Ответ : (- 2 ; 3) , (2 ; - 3)

Примеры решения систем уравнений других видов

Пример 8 . Решить систему уравнений (МФТИ)

Решение . Введем новые неизвестные u и v , которые выражаются через x и y по формулам:

Для того, чтобы переписать систему (12) через новые неизвестные, выразим сначала неизвестные x и y через u и v . Из системы (13) следует, что

Решим линейную систему (14), исключив из второго уравнения этой системы переменную x . С этой целью совершим над системой (14) следующие преобразования.

С опушки леса в чащу ведет множество тропинок. Они извилисты, они сходятся, расходятся вновь и снова пересекаются одна с другой. На прогулке можно только заметить обилие этих тропинок, походить по некоторым из них и проследить их направление в глубь леса. Для серьезного изучения леса нужно идти по тропинкам, пока они вообще различимы среди сухой хвои и кустарников.

Поэтому мне захотелось написать проект, который можно рассматривать как описание одной из возможных прогулок по опушке современной математики.

Окружающий мир, потребности народного хозяйства, а зачастую, и повседневные хлопоты ставят перед человеком все новые и новые задачи, решение которых не всегда очевидно. Порою тот или иной вопрос имеет под собой множество вариантов ответа, из-за чего происходят затруднения в решении поставленных задач. Как выбрать правильный и оптимальный вариант?

С этим же вопросом напрямую связано решение неопределенных уравнений. Такие уравнения, содержащие две или более переменных, для которых требуется найти все целые или натуральные решения, рассматривались еще в глубокой древности. Например, греческий математик Пифагор (IV век до н. э.). александрийский математик Диофант (II-III век н. э.) и лучшие математики более близкой нам эпохи - П. Ферма (XVII век), Л. Эйлер (XVIII век), Ж. Л. Лагранж (XVIII век) и другие.

Участвуя в Российском заочном конкурсе > г. Обнинска, Международном конкурсе - игре > и олимпиаде Уральского Федерального округа часто сталкиваюсь с такими задачами. Это связано с тем, что их решение носит творческий характер. Проблемы, возникающие при решении уравнений в целых числах, вызваны как сложностью, так и тем, что в школе им уделяется мало времени.

Диофант представляет одну из наиболее трудных загадок в истории науки. Нам не известно ни время, когда он жил, ни предшественники, которые работали бы в той же области. Труды его подобны сверкающему огню среди непроницаемой тьмы.

Промежуток времени, когда мог жить Диофант, составляют полтысячелетия! Нижняя грань определяется без труда: в своей книге о многоугольных числах Диофант неоднократно упоминает математика Гипсикла Александрийского который жил в середине 2-ого в. до н. э.

С другой стороны, в комментариях Теона Александрийского к > знаменитого астронома Птолемея помещен отрывок из сочинения Диофанта. Теон жил в середине 4-ого в. н. э. Этим определяется верхняя грань этого промежутка. Итак, 500 лет!

Французский историк науки Поль Таннри, издатель наиболее полного текста Диофанта, попытался сузить этот промежуток. В библиотеке Эскуриала он нашел отрывки из письма Михаила Пселла, византийского ученого Х1 в. , где говорится, что ученейший Анатолий после того как собрал наиболее существенные части этой науки речь идет о введении степеней неизвестного и об их (обозначении), посвятил их своему другу Диофанту. Анатолий Александрийский действительно составил >, отрывки которой приводят в дошедшей до нас сочинений Ямблих и Евсений. Но Анатолий жил в Александрии в середине 111-го в до н. э и даже более точно - до 270 года, когда он стал епископом Лаодакийским. Значит, его дружба с Диофантом, которого все называют Александрийским, должна была иметь место до этого. Итак, если знаменитый Александрийский математик и друг Анатолия по имени Диофант составляют одно лицо, то время жизни Диофанта - середина 111-го века нашей эры.

Зато место жительства Диофанта хорошо известно - Александрия, центр научной мысли и эллинистического мира.

До наших времен дошла одна из эпиграмм Палатинской Антологии:

Прах Диофанта гробница покоит: дивись ей - и камень

Мудрым искусством его скажет усопшего век.

Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком

И половину шестой встретил с пушком на щеках.

Только минула седьмая, с подругою он обручился.

С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец.

Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.

Отнят он был у отца ранней могилой своей.

Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе.

Тут и увидел предел жизни печальной своей.

Используя современные методы решения уравнений можно сосчитать, сколько лет прожил Диофант.

Пусть Диофант прожил x лет. Составим и решим уравнение:

Умножим уравнение на 84, чтобы избавиться от дробей:

Таким образом, Диофант прожил 84 года.

Наиболее загадочным представляется творчество Диофанта. До нас дошло шесть из тринадцати книг, которые были объединены в >, стиль и содержание этих книг резко отличаются от классических античных сочинений по теории чисел и алгебры, образцы которых мы знаем по > Евклида, его >, леммам из сочинений Архимеда и Аполлония. >, несомненно, явилась результатом многочисленных исследований, которые остались совершенно неизвестными.

Мы можем только гадать о её корнях, и изумляться богатству и красоте её методов и результатов.

> Диофанта это сборник задач (всего 189), каждая из которых снабжена решением. Задачи в ней тщательно подобраны и служат для иллюстрации вполне определенных, строго продуманных методах. Как это было принято в древности, методы не формулируются в общем виде, а повторяются для решения однотипных задач.

Достоверно известно своеобразное жизнеописание Диофанта, которое по преданию было высечено на его надгробии и представляло задачу-головоломку:

Эта головоломка служит примером тех задач, которые решал Диофант. Он специализировался на решении задач в целых числах. Такие задачи в настоящее время известны под названием диофантовых.

Исследования диофантовых уравнений обычно связано с большими трудностями.

В 1900 году на всемирном конгрессе математиков в Париже один из крупнейших математиков мира Давид Гильберт выделил 23 проблемы из различных областей математики. Одной из этих проблем была проблема решения диофантовых уравнений. В проблеме заключалось следующее: можно ли разрешить уравнение с произвольным числом неизвестных и целыми коэффициентами, определённым способом - с помощью алгоритма. Задача состоит в следующем: для заданного уравнения надо найти все целые или натуральные значения переменных, входящих в уравнение, при которых оно превращается в истинное равенство. Диофант придумал для таких уравнений много разнообразных приёмов решения. Ввиду бесконечного разнообразия диофантовых уравнений общего алгоритма для их решения не существует, и практически для каждого уравнения приходится изобретать индивидуальный приём.

Диофантовым уравнением 1-ой степени или линейным диофантовым уравнением с двумя неизвестными называется уравнение вида: ax+by=c, где a,b,c-целые, НОД(a,b)=1.

Приведу формулировки теорем, на основании которых может быть составлен алгоритм решения неопределенных уравнений первой степени от двух переменных в целых числах.

Теорема 1. Если в уравнении, то уравнение имеет, по крайней мере, одно решение.

Доказательство:

Можно считать, что а >0. Решив уравнение относительно х, получим: х=с-вуа. Докажу, что если в эту формулу вместо у подставлять все натуральные числа, меньшие а и 0, т. е. числа 0;1;2;3;. ;а-1, и каждый раз совершать деление, то все а остатков будут различны. Действительно, подставлю вместо у числа m1 и m2, меньшие а. В результате получу две дроби: с-вm1а и с-вm2а. Выполнив деление и обозначив неполные частные через q1и q2, а остатки через r1 и r2, найду с-вm1а=q1+ r1а, с-вm2а= q2+ r2а.

Предположу, что остатки r1 и r2 равны. Тогда вычитая из первого равенства второе получу: с-вm1а- с-вm2а= q1-q2, или в(m1 - m2)а=q1-q2.

Т. к. q1-q2 - целое число, то и левая часть должна быть целой. Стало быть, вm1 - m2 должно делиться на а, т. е. разность двух натуральных чисел, каждое из которых меньше а, должна делиться на а, что невозможно. Значит, остатки r1 и r2 равны. Т. е. все остатки различны.

Т. о. я получила а различных остатков, меньших а. Но различные а натуральных чисел, не превосходящие а - это числа, 0;1;2;3;. ;а-1. Следовательно, среди остатков непременно найдется один и только один, равный нулю. Значение у, подстановка которого в выражение (с-ву)а дает остаток 0, и превращает х=(с-ву)а в целое число. Что и требовалось доказать.

Теорема 2. Если в уравнении, и с не делится на, то уравнение целых решений не имеет.

Доказательство:

Пусть d=НОД(а;в), так, что а=md, b=nd, где m и n- целые числа. Тогда уравнение примет вид: mdх+ ndу=с, или d(mх+ nу)=с.

Допустив, что существуют целые числа х и у, удовлетворяющие уравнению, получаю, что коэффициент с делится на d. Полученное противоречие доказывает теорему.

Теорема 3. Если в уравнении, и, то оно равносильно уравнению, в котором.

Теорема 4. Если в уравнении, то все целые решения этого уравнения заключены в формулах:

где х0, у0 - целое решение уравнения, - любое целое число.

Сформулированные теоремы позволяют составить следующий алгоритм решения в целых числах уравнения вида.

1. Найти наибольший общий делитель чисел a и b, если и с не делится на, то уравнение целых решений не имеет; если и, то

2. Разделить почленно уравнение на, получив при этом уравнение, в котором.

3. Найти целое решение (х0, у0) уравнения путем представления 1 как линейной комбинации чисел и;

4. Составить общую формулу целых решений данного уравнения где х0, у0 - целое решение уравнения, - любое целое число.

2. 1 МЕТОД СПУСКА

Многие > основаны на методах решения неопределенных уравнений. Например, фокус с угадыванием даты рождения.

Предложите Вашему знакомому угадать его день рождения по сумме чисел равных произведению даты его рождения на 12 и номера месяца рождения на 31.

Для того чтобы угадать день рождения Вашего знакомого нужно решить уравнение: 12х + 31y = А.

Пусть Вам назвали число 380, т. е. имеем уравнение 12х + 31y = 380. Для того чтобы найти х и y можно рассуждать так: число 12х + 24y делится на 12, следовательно, по свойствам делимости (теорема 4. 4), числа 7y и 380 должны иметь одинаковые остатки при делении на 12. Число 380 при делении на 12 дает остаток 8, следовательно 7y при делении на 12 тоже должно давать в остатке 8, а так как y - это номер месяца, то 1

Уравнение, которое мы решили, является диофантовым уравнением 1-ой степени с двумя неизвестными. Для решения таких уравнений может быть использован, так называемый метод спуска. Алгоритм этого метода рассмотрю на конкретном уравнении 5x + 8y = 39.

1. Выберу неизвестное, имеющее наименьший коэффициент (в нашем случае это х), и выражу его через другое неизвестное:. Выделю целую часть:. Очевидно, что х будет целым, если выражение окажется целым, что, в свою очередь, будет иметь место тогда, когда число 4 - 3y без остатка делится на 5.

2. Введу дополнительную целочисленную переменную z следующим образом: 4 - 3y = 5z. В результате получу уравнение такого же типа, как и первоначальное, но уже с меньшими коэффициентами. Решать его буду уже относительно переменной y:. Выделяя целую часть, получу:

Рассуждая аналогично предыдущему, ввожу новую переменную u: 3u = 1 - 2z.

3. Выражу неизвестную с наименьшим коэффициентом, в этом случае переменную z: =. Требуя, чтобы было целым, получу: 1 - u = 2v, откуда u = 1 - 2v. Дробей больше нет, спуск закончен.

4. Теперь необходимо >. Выражу через переменную v сначала z, потом y и затем x: z = = = 3v - 1; = 3 - 5v.

5. Формулы x = 3+8v и y = 3 - 5v, где v - произвольное целое число, представляют общее решение исходного уравнения в целых числах.

Замечание. Таким образом, метод спуска предполагает сначала последовательное выражение одной переменой чрез другую, пока в представлении переменной не останется дробей, а затем, последовательное > по цепочке равенств для получения общего решения уравнения.

2. 2 МЕТОД ПЕРЕБОРА

В клетке сидят кролики и фазаны, всего у них 18 ног. Узнать, сколько в клетке тех и других?

Составлю уравнение с двумя неизвестными, в котором х - число кроликов, а у - число фазанов:

4х + 2у = 18, или 2х + у = 9.

Ответ. 1)1 кролик и 7 фазанов; 2) 2 кролика и 5 фазанов; 3) 3 кролика и 3 фазана; 4) 4 кролика и 1 фазан.

1. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

3. 1 Решение линейных уравнений с двумя неизвестными

1. Решить уравнение 407х - 2816y = 33 в целых числах.

Воспользуюсь составленным алгоритмом.

1. Используя алгоритм Евклида, найду наибольший общий делитель чисел 407 и 2816:

2816 = 407·6 + 374;

407 = 374·1 + 33;

374 = 33·11 + 11;

Следовательно (407,2816) = 11, причем 33 делится на 11.

2. Разделю обе части первоначального уравнения на 11, получим уравнение 37х - 256y = 3, причем (37, 256) = 1

3. С помощью алгоритма Евклида найду линейное представление числа 1 через числа 37 и 256.

256 = 37·6 + 34;

Выражу 1 из последнего равенства, затем последовательно поднимаясь по равенствам буду выражать 3; 34 и полученные выражения подставлю в выражение для 1.

1 = 34 - 3·11 = 34 - (37 - 34·1) ·11 = 34·12 - 37·11 = (256 - 37·6) ·12 - 37·11 =

83·37 - 256·(- 12)

Таким образом, 37·(- 83) - 256·(- 12) = 1, следовательно пара чисел х0 = - 83 и у0 = - 12 есть решение уравнения 37х - 256y = 3.

4. Запишу общую формулу решений первоначального уравнения где t - любое целое число.

Ответ. (-83c+bt; -12с-at), t є Z.

Замечание. Можно доказать, что если пара (х1,y1) - целое решение уравнения, где, то все целые решения этого уравнения находятся по формулам: х=х1+bty=y1-at

2. Решить уравнение 14x - 33y=32 в целых числах.

Решение: x = (32 + 33y) : 14

(14 [. ] 2+ 5)y + (14 [. ] 2 + 4) = 14 [. ] 2y + 5y + 14[. ] 2 + 4 = 14(2y + 2) + 5y + 4; 2y + 2 = p; p є Z

Перебор от 1 до 13

При y = 2; (5 [. ] 2 + 4): 14

Подставлю в исходное уравнение y = 2

14x = 32 +33 [. ] 2

14x = 32 + 66 x = 98: 14 = 7

Найду все целые решения по найденному частному:

14(x - 7) + 98 - 33 (y -2) - 66 = 32

14(x - 7) - 33(y - 2)=0

14(x - 7) = 33(y - 2) -> 14(x - 7) : 33 -> (x - 7): 33 -> x = 33k + 7; k є Z

Подставлю в исходное уравнение:

14(33k + 7) - 33y = 32

14. 33k + 98 - 33y = 32 y = 14k + 2; x = 33k + 7, где k є Z. Эти формулы задают общее решение исходного уравнения.

Ответ. (33k + 7; 14k + 2), k є Z.

3. Решить уравнение x - 3y = 15 в целых числах.

Найду НОД(1,3)=1

Определю частное решение: x=(15+3y):1 используя метод перебора, нахожу значение y=0 тогда x=(15+3 [. ] 0) =15

(15; 0) - частное решение.

Все остальные решения находятся по формулам: x=3k + 15, k є Z y=1k+0=k, k є Z при k=0, получаю частное решение (15;0)

Ответ: (3k+15; k), k є Z.

4. Решить уравнение 7x - y = 3в целых числах.

Найду НОД(7; -1)=1

Определю частное решение: x = (3+y):7

Используя метод перебора, находим значение y є y = 4, x = 1

Значит, (1;4) - частное решение.

Все остальные решения нахожу по формулам: x = 1k + 1, k є Z y = 7k + 4, k є Z

Ответ: (k+1;7k+4); k є Z.

5. Решить уравнение 15x+11 y = 14 целых числах.

Найду НОД(15; -14)=1

Определю частное решение: x = (14 - 11y):15

Используя метод перебора, нахожу значение y є y = 4, x = -2

(-2;4) - частное решение.

Все остальные решения нахожу по формулам: x = -11k - 2, k є Z y =15k + 4, k є Z

Ответ: (-11k-2; 15k+4); k є Z.

6. Решить уравнение 3x - 2y = 12 целых числах.

Найду НОД(3; 2)=1

Определю частное решение: x = (12+2y):3

Используя метод перебора, нахожу значение y є y = 0, x = 4

(4;0) - частное решение.

Все остальные решения нахожу по формулам: x = 2k + 4, k є Z y = 3k, k є Z

Ответ: (2k+4; 3k); k є Z.

7. Решите в целых числах уравнение xy = x + y.

Имею ху - х - у + 1 = 1 или (х - 1)(у - 1) = 1

Поэтому х - 1 = 1, у - 1 = 1, откуда х = 2, у = 2 или х - 1 = - 1, у - 1 = - 1, откуда х = 0, у = 0 других решений в целых числах данное уравнение не имеет.

Ответ. 0;0;(2;2).

8. Решите в целых числах уравнение 60х - 77у = 1.

Разрешу это уравнение относительно х: х = (77у + 1) / 60 = (60у + (17у +1)) / 60 = у + (17у + 1) / 60.

Пусть (17у + 1) / 60 = z, тогда у = (60z - 1) / 17 = 3z + (9z - 1) / 17. Если обозначить (9z - 1) / 17 через t, то z = (17t + 1) / 9 = 2t + (- t + 1) / 9. Наконец, пусть (- t + 1) / 9 = n, тогда t = 1- 9n. Так как я нахожу только целые решения уравнения, то z, t, n должны быть целыми числами.

Таким образом, z = 2 - 18n + 2 = 2 - 17n, а поэтому у = 6 - 51n + 1 - 9n = 7 - 60n, х = 2 - 17n +7 - 60n = 9 - 77n. Итак, если х и у - целые решения данного уравнения, то найдется такое целое число n, что х = 9 - 77n, y = 7 - 60n. Обратно если у = 9 - 77n, х = 7 - 60n, то, очевидно, х, у - целые. Проверка показывает, что они удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ. (9 - 77n; 7 - 60n)); n є Z.

9. Решить уравнение 2x+11y =24 в целых числах.

Найду НОД(2; 11)=1

Определю частное решение: x = (24-11y):2

Используя метод перебора, нахожу значение y є y = 0, x = 12

(12;0) - частное решение.

Все остальные решения нахожу по формулам: x = -11k + 12, k є Z y = 2k + 0=2k, k є Z

Ответ:(-11k+12; 2k); k є Z.

10. Решить уравнение 19x - 7y = 100 в целых числах.

Найду НОД(19; -7)=1

Определю частное решение: x = (100+7y):19

Используя метод перебора, нахожу значение y є y = 2, x = 6

(6;2) - частное решение.

Все остальные решения нахожу по формулам: x = 7k + 6, k є Z y = 19k + 2, k є Z

Ответ:(7k+6; 19k+2); kє Z.

11. Решить уравнение 24x - 6y = 144 в целых числах

Найду НОД(24; 6)=3.

Уравнение не имеет решений, потому что НОД(24; 6)!=1.

Ответ. Решений нет.

12. Решить уравнение в целых числах.

Преобразую отношение коэффициентов при неизвестных.

Прежде всего, выделю целую часть неправильной дроби;

Правильную дробь заменю равной ей дробью.

Тогда получу.

Проделаю такие же преобразования с полученной в знаменателе неправильной дробью.

Теперь исходная дробь примет вид:

Повторяя те же рассуждения для дроби,получаю.

Выделяя целую часть неправильной дроби, приду к окончательному результату:

Я получила выражение, которое называется конечной цепной или непрерывной дробью. Отбросив последнее звено этой цепной дроби - одну пятую, превращу получающуюся при этом новую цепную дробь в простую и вычту ее из исходной дроби.

Приведу полученное выражение к общему знаменателю и отброшу его, тогда

Из сопоставления полученного равенства с уравнением следует, что, будет решением этого уравнения и согласно теореме все его решения будут содержаться в,.

Ответ. (9+52t; 22+127t), t є Z.

Полученный результат наводит на мысль о том, что и в общем случае для нахождения решения уравнения надо разложить отношение коэффициентов при неизвестных в цепyую дробь, отбросить ее последнее звено и проделать выкладки, подобные тем, которые были проведены выше.

13. Решить уравнение 3ху + 2х + 3у = 0 в целых числах.

3ху + 2х + 3у =3ху + 2х + 3у + 2 - 2 = 3у(х + 1) + 2(х + 1) - 2 =

=(х + 1)(3у + 2) - 2,

(х + 1)(3у + 2) = 2,

3у + 2 = 1 или 3у + 1 = 2 или 3у + 1 = -1 или 3у + 1 = -2 х + 1 = 2, х + 1 =1, х + 1 = -2, х + 1 = -1; х = 2 или х = 0 или х = -3 или х = -2 у cent z, у = 0, у = -1, у cent z.

Ответ: (0;0);(-3;-1).

14. Решить уравнение у - х - ху = 2 в целых числах.

Решение: у - ху - х + 1 = 3, (у + 1)(1 - х) = 3,

3 = 1·3 = 3·1 = (-1)·(-3) = (-3)·(-1).

у + 1 = 1 или у + 1 = 3 или у + 1 = -1 или у + 1 = -3

1 - х =3, 1 - х =1, 1 - х = -3, 1 - х = -1.

у = 0 или у = 2 или у = -2 или у = -4 х =-2, х = 0, х = 4, х = 2

Ответ: (-2;0);(0;2);(2;-4);(4;-2).

15. Решить уравнение у + 4х + 2ху = 0 в целых числах.

Решение: у + 4х + 2ху + 2 - 2 = 0, (2х + 1)(2 + у) = 2,

2 = 1∙2 = 2∙1 = (-2)∙(-1) = (-1)∙(-2).

2х + 1= 1 или 2х + 1= 2 или 2х + 1= -1 или 2х + 1= -2

2 + у = 2, 2 + у = 1, 2 + у = -2, 2 + у = -1; у = 0 или у = -1 или у = -4 или у = -3 х = 0, х cent Z, х = -1, х cent Z.

Ответ: (-1;-4);(0;0).

16. Решить в целых числах уравнение 5х + 10у = 21.

5(х + 2у) = 21, т. к. 21 != 5n, то корней нет.

Ответ. Корней нет.

17. Решить уравнение 3х + 9у = 51в натуральных числах.

3(х + 3у) = 3∙17, х = 17 - 3у, у = 1, х = 14; у = 2, х = 11; у = 3, х = 8; у = 4, х = 5; у = 5, х = 2; у = 6, х = -1, -1cent N.

Ответ:(2;5);(5;4);(8;3);(11;2; (14;1).

18. Решить уравнение 7х+5у=232 в целых числах.

Решу это уравнение относительно того из неизвестных, при котором находится наименьший (по модулю) коэффициент, т. е. в данном случае относительно у: у=232-7х5.

Подставлю в это выражение вместо х числа: 0;1;2;3;4. Получаю: х=0, у=2325=4625, х=1, у=232-75=45, х=2, у=232-145=43,6, х=3, у=232-215=42,2, х=4, у=232-285=40,8

Ответ. (1;45).

19. Решить в целых числах уравнение 3x + 4y + 5xy = 6.

Имею 3∙4 + 5∙6 = 42 = mn

Делители 42: - +- (1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42).

x = m - 45, y = n - 35 нахожу, что при m = -1, -6, 14, -21 n = -42, -7, 3, -2 решениями будут: x = -1, -2, 2, -5 y = -9, -2, 0, -1.

Итак, данное уравнение имеет 4 решения в целых числах и ни одного в натуральных.

Ответ. -1;-9;-2;-2;2;0;(-5;-1).

20. Решить уравнение 8х+65у=81в натуральных числах.

81⋮НОД(8;65)=>

8х=81-65у х=81-65у8=16+65-65у8=2+65(1-у)8.

Пусть 1-у8=t, t Є Z. х=2+65t>0у=1-8t>0

65t>-2-8t>-1 t>-265 t t=0.

При t=0 х=2у=1

Ответ. (2;1).

21. Найти целые неотрицательные решения уравнения 3х+7у=250.

250⋮НОД(3;7) =>уравнение можно решить в целых числах.

х=250-7у3=243+7-7у3=81+7(1-у)3.

Пусть 1-у3=t, t Є Z.

х=81+7t>=0у=1-3t>=0

7t>=-81-3t>=-1 t>=-817t=-1147t t=-11;-10;. ;0.

х=81+7tу=1-3t t=-11 х=4у=34 t=-10 х=11у=31 t=-9 х=18у=28 t=-8 х=25у=25 t=-7 х=32у=22 t=-6 х=39у=19 t=-5 х=46у=16 t=-4 х=53у=13 t=-3 х=60у=10 t=-2 х=67у=7 t=-1 х=74у=4 t=0 х=81у=1

Ответ. 11;31;18;28;25;25;32;22;39;19;46;16;53;13;60;10;67;7;74;4;81;1.

22. Решить уравнение ху+х+у3=1988 в целых числах.

Умножим обе части уравнения на 3. Получим:

3х+3ху+у=5964

3х+3ху+у+1=5965

(3х+1)+(3ух+у)=5965

(3х+1) + у(3х+1)=5965

(3х+1)(у+1)=5965

5965=1∙5965 или 5965=5965∙1 или 5965=-1∙(-5965) или 5965=-5965∙(-1) или 5965=5∙1193 или 5965=1193∙1 или 5965=-5∙(-1193) или 5965=-1193∙(-5)

1)3х+1=1у+1=5965 2) 3х+1=5965у+1=1 х=0у=5964 х=1988у=0

3) 3х+1=5у+1=1193 4) 3х+1=1193у+1=5 решений в целых числах нет решений в целых числах нет

5) 3х+1=-1у+1=-5965 6) 3х+1=-5965у+1=-1 решений в целых числах нет решений в целых числах нет

7) 3х+1=-5у+1=-1193 8) 3х+1=-1193у+1=-5 х=-2у=1194 х=-398у=-6

Ответ. 0;5964;1988;0;-2;-1194;(-398;-6).

3. 2 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Существует несколько типов задач, чаще всего это задачи олимпиадного характера, которые сводятся к решению диофантовых уравнений. Например: а) Задачи по размену суммы денег определённого достоинства.

б) Задачи на переливание, на деление предметов.

1. Купили 390 цветных карандашей в коробках по 7 и по 12 карандашей. Сколько тех и других коробок купили?

Обозначу: x коробок по 7 карандашей, y коробок по 12 карандашей.

Составлю уравнение:7x + 12y = 390

Найду НОД(7; 12)=1

Определю частное решение: x = (390 - 12y):7

Используя метод перебора, нахожу значение y є y = 1, x = 54

(54;1) - частное решение.

Все остальные решения нахожу по формулам: x = -12k + 54, k є Z y = 7k + 1, k є Z

Я нашла множество решений уравнения. Учитывая условия задачи, определю возможное количество тех и других коробок.

Ответ. Можно купить: 54 коробки по7 карандашей и 1 коробку по 12 карандашей или 42 коробки по 7карандашей и 8 коробок по 12 карандашей, или 30 коробок по 7 карандашей и 15 коробок по 12 карандашей, или 28 коробок по 7 карандашей и 22 коробки по 12 карандашей, или 6 коробок по 7 карандашей и 29 коробок по 12 карандашей.

2. Один катет прямоугольного треугольника на 7 см больше другого, а периметр треугольника равен 30 см. Найдите все стороны треугольника.

Обозначу: x см - один катет, (x+7) см - другой катет, y см - гипотенуза

Составлю и решу диофантово уравнение: x+(x+7)+y=30

Найду НОД(2; 1)=1

Определю частное решение: x = (23 - y):2

Используя метод перебора, нахожу значение y =1 y = 1, x = 11

(11;1) - частное решение.

Все остальные решения уравнения нахожу по формулам: x = -k + 11, k є Z y = 2k + 1, k є Z k

Учитывая, что любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон, приходим к выводу, что существует три треугольника со сторонами 7, 9 и 14; 6, 11 и 13; 5, 13 и 12. По условию задачи дан прямоугольный треугольник. Это треугольник со сторонами 5, 13 и 12 (выполняется теорема Пифагора).

Ответ: Один катет равен 5см, другой - 12 см, гипотенуза - 13 см.

3. Несколько детей собирали яблоки. Каждый мальчик собрал по 21 кг, а девочка по 15 кг. Всего они собрали 174 кг. Сколько мальчиков и сколько девочек собирали яблоки?

Пусть мальчиков x, а девочек y, при этом x и y - натуральные числа. Составлю уравнение:

Решаю методом подбора: x

6 Только при x = 4 второе неизвестное получает целое положительное значение (y = 6). При любом другом значении x число y будет либо дробным, либо отрицательным. Следовательно, задача имеет одно единственное решение.

Ответ. 4 мальчика и 6 девочек.

4. Можно ли сформировать набор из карандашей стоимостью 3 рубля и ручек стоимостью 6 рублей на сумму 20 рублей?

Пусть количество карандашей в наборе x, а ручек - y.

Составлю уравнение:

При любых целых числах x и y левая часть уравнения должна делиться на 3; правая часть при этом не делится на 3. Это означает, что не существует таких целых x и y, которые удовлетворяли бы нашему уравнению. Это уравнение неразрешимо в целых числах. Сформировать такой набор невозможно.

Ответ. Решений нет.

5. Найти натуральное число, которое при делении на 3 дает остаток 2, а при делении на 5 - остаток 3.

Обозначу искомое число через x. Если частное от деления x на 3 обозначу через y, а частное от деления на 5 - через z, то получу: х=3у+2х=5z+3

По смыслу задачи x, y и z должны быть натуральными числами. Значит, нужно решить в целых числах неопределенную систему уравнений.

При любых целых y и z , будет целым и x. Вычту из второго уравнения первое и получу:

5z - 3y + 1 = 0.

Найдя все целые положительные y и z, сразу получу и все целые положительные значения x.

Из этого уравнения нахожу:

Одно решение очевидно: при z = 1 получим y = 2, и x и y целые. Им соответствует решение x = 8.

Найду остальные решения. Для этого введу вспомогательное неизвестное u, полагая z = 1 + u. Получу:

5(1 + u) - 3y + 1 = 0, т. е. 5u = 3y - 6 или 5u = 3(y - 2).

Правая часть последнего уравнения при любом целом y делится на 3. Значит, и левая часть должна делиться на 3. Но число 5 - взаимно-простое с числом 3; поэтому u должно разделиться на 3, т. е. иметь вид 3n, где n - целое число. В этом случае y будет равняться

15n/3 + 2 = 5n + 2, т. е. тоже целому числу. Итак, z = 1 + u = 1 + 3n, откуда x = 5z + 3 = 8 + 15n.

Получилось не одно, а бесконечное множество значений для x: x = 8 + 15n, где n - целое число (положительное или ноль):

Ответ. х=8+15n; n є 0;1;2;.

6. Подданные привезли в дар шаху 300 драгоценных камней: в маленьких шкатулках по 15 штук в каждой и в больших - по 40 штук. Сколько было тех и других шкатулок, если известно, что маленьких было меньше, чем больших?

Обозначу за х количество маленьких шкатулок, а за у - количество больших.

15х+40у=300. Сокращу на 5.

3х+8у=60 х=60-8у3 х=60-6у-2у3

Х=20-2у-2у3

Чтобы значение дроби было целым числом, надо чтобы 2у было кратным 3, т. е. 2у=3с.

Выражу переменную у и выделю целую часть:

Z должно быть кратно 2, т. е. z=2u.

Выражу переменные х и у через u:

Х=20-2у-2у3

Х=20-2∙3u-2∙3u3

Составлю и решу систему неравенств:

Выпишу целые решения: 1; 2. Теперь найду значения х и у при u=1; 2.

1) х1=20-8∙1=20-8=12 у1=3∙1=3

2) х2=20-8∙2=20-16=4 у2=3∙2=6

Ответ. 4 маленькие шкатулки; 6 больших шкатулок.

7. Даны два автомобиля Урал 5557, автомобили отправили в рейс Краснотурьинск - Пермь - Краснотурьинск. Всего понадобилось 4 т дизельного топлива и 2 водителя, чтобы выполнить этот рейс. Нужно определить транспортные затраты, а именно стоимость 1 т дизельного топлива и оплату труда водителей, выполняющих этот рейс, если известно, что всего затрачено 76000 р.

Пусть х рублей - стоимость 1 т дизельного топлива, а у рублей - оплата труда водителей. Тогда (4х + 2у) рублей - затрачено на выполнение рейса. А по условию задачи затрачено 76000 р.

Получу уравнение:

Для решения этого уравнения метод перебора окажется трудоемким процессом. Так что воспользуюсь методом >.

Выражу переменную у через х: , выделю целую часть, получу: (1).

Чтобы значение дроби было целым числом, нужно чтобы, 2х было кратно 4. Т. е. 2х = 4z, где z - целое число. Отсюда:

Значение х подставлю в выражение (1):

Т. к. х, у 0, то 19000 z 0, следовательно, придавая z целые значения от 0 до 19000, получу следующие значения x и y: z

Из настоящих данных о транспортных затратах известно, что 1 т дизельного топлива (х) стоит 18000 р. , а оплата труда водителей, выполняющих рейс (у) составляет 10000 р. (данные взяты приближенно). По таблице найдем, что значению х, равному 18000 и значению у, равному 10000 соответствует значение z, равное 9000, действительно: ;.

8. Сколькими способами можно набрать сумму 27р. , имея достаточно много двухрублёвых и пятирублёвых монет?

Обозначу: x двухрублёвых монет и y пятирублёвых монет

Составлю уравнение, учитывая условие задачи 2x +5y = 27.

Найду НОД(2;5)=1

Определю частное решение: x = (27-5y):2

Используя метод перебора, нахожу значение y є y = 1, x = 11

(11;1) - частное решение.

Все остальные решения находятся по формулам: x = -5k + 11, k є Z y = 2k + 1, k є Z

Данное уравнение имеет множество решений. Найдём все способы, с помощью которых можно набрать сумму 27 рублей предложенными монетами. k

Ответ. Существует три способа, которыми можно набрать данную сумму, имея достаточно много двухрублёвых и пятирублёвых монет.

9. Допустим, в аквариуме живут осьминоги и морские звёзды. У осьминогов по 8 ног, а у морских звёзд - по 5. Всего конечностей насчитывается 39. Сколько в аквариуме животных?

Пусть х - количество морских звёзд, у - количество осьминогов. Тогда у всех осьминогов по 8у ног, а у всех звёзд 5х ног.

Составлю уравнение: 5х + 8у = 39.

Замечу, что количество животных не может выражаться нецелым или отрицательным числами. Следовательно, если х - целое неотрицательное число, то и у=(39 - 5х)/8 должно быть целым и неотрицательным, а, значит, нужно, чтобы выражение 39 - 5х без остатка делилось на 8. Простой перебор вариантов показывает, что это возможно только при х = 3, тогда у = 3.

Ответ: (3; 3).

10. На мебельной фабрике изготовляют табуреты с тремя и с четырьмя ножками. Мастер сделал 18 ножек. Какое количество табуретов можно изготовить так, чтобы использовать все ножки?

Пусть x - количество трехногих табуретов, а у - количество четырехногих. Тогда, 3x + 4y = 18.

Имею, 4y =18 - 3x; y = 3(6 - x):4.

Получаю: x = 2; y = 3 или x = 6; y = 0.

Других решений нет, так как x 6.

Ответ. 2;3;(6;0).

11. Можно ли разместить 718 человек в 4-х и 8 - ми местных каютах, так что бы в каютах не было свободных мест?

Пусть 4-х местных кают - х, а 8-ми местных - у, тогда:

2(х + 2у) = 309

Ответ. Нельзя.

12. Доказать, что на прямой 124х + 216у = 515 нет ни одной точки с целочисленными координатами.

НОД(124;216) = 4, 515 != 4n, значит, целочисленных решений нет.

Ответ. Решений нет.

13. Стоимость товара 23 рубля, покупатель имеет только 2-х рублевые, а кассир 5-ти рублевые монеты. Можно ли осуществить покупку без предварительного размена денег?

Пусть х - количество 2-х рублевых монет, у - количество 5-ти рублевых монет, тогда 2х - 5у = 23, где х,у є N.

Получаю: 2х = 23 + 5у, откуда х =23 + 5у2 =11 + 2у + (1 + у)2 х будет целым, если 1 + у2 есть число целое.

1 + у2 = t, где t Euro Z, тогда у = 2t - 1.

x = 11 + 2y + 1 + у2 = 11 + 4t - 2 + 1 + 2t-12 = 5t + 9.

T. o. x = 5t + 9, a y = 2t - 1, где t є z.

Задача имеет множество целочисленных решений. Простейшее из них при t = 1, x =14, y = 1, т. е. покупатель даст четырнадцать 2-х рублёвых монет и получит сдачу одну 5-ти рублёвую монету.

Ответ. Можно.

14. При ревизии торговых книг магазина одна из записей оказалась залитой чернилами и имела такой вид:

> Невозможно было разобрать число проданных метров, но было несомненно, что число это не дробное; в вырученной сумме можно было различить только три последние цифры, да установить еще, что перед ними были три какие-то другие цифры. Можно ли по этим данным восстановить запись?

Пусть число метров было х, тогда стоимость товара в копейках - 4936х. Три залитые цифры в сумме обозначим за у, это число тысяч копеек, а вся сумма в копейках выразится так (1000у + 728).

Получаю уравнение 4936х = 1000у + 728, поделю его на 8.

617х - 125у = 91, где х,у є z, x,y

125у =617х - 91 у = 5х - 1 +34 - 8х125 = 5х - 1 + 2 17 - 4х125 =

5х - 1 + 2t, где t = 17 - 4х125, t Euro Z.

Из уравнения t = (17 - 4х)/125 получаю х = 4 - 31t + 1 - t4 =

4 - 31t + t1, где t1 = 1 - t4, отсюда t = 1 - 4t1, a x = 125t1 - 27, y = 617t1 - 134.

По условию знаю, что 100

100 = 234/617 и t1

Значит, было отпущено 98 метров на сумму 4837,28 рублей. Запись восстановлена.

Ответ. Отпущено 98 метров.

15. Требуется на один рубль купить 40 штук почтовых марок - копеечных, 4- копеечных и 12 - копеечных. Сколько марок каждого достоинства можно купить?

Можно составить два уравнения: x + 4у + 12z = 100 и x + y + z = 40, где х - число копеечных марок, у - 4-копеечных, z - 12-копеечных. Вычитаю из первого уравнения второе получаю:

3у + 11z = 60, y = 60 - 11z3 = 20 - 11· z3.

Пусть z3 = t, z = 3t, где t Euro Z. Тогда получаю, если х + у + z = 40 и z = 3t, а у = 20 - 11t, х = 20 + 8t.

Т. к. х >= 0, у >= 0, z >= 0, то 0

Тогда соответственно получаю: t = 0, х = 20, у = 20, z= 0; t = 1, х = 28, у = 9, z = 3.

Итак, покупка марок может быть произведена только двумя способами, а если поставить условие, чтобы была куплена хотя бы одна марка каждого достоинства, - только одним способом.

Ответ. 28 марок по 1 копейке, 9 марок по 4 копейки и 3 марки по 12 копеек.

16. Ученику дали задание из 20 задач. За каждую верно решенную он получает 8 баллов, за каждую, не решенную, с него снимают 5 баллов. За задачу, за которую он не брался - 0 баллов. Ученик в сумме набрал 13 баллов. Сколько задач он брался решать?

Пусть верно решенных задач - х, а неверно решенных - у, не рассмотренных - z.

Тогда х + у + z = 20, а 8х - 5у = 13.

у = 8х - 135= х - 2 +3(х - 1)5 = х - 2 + 3t, где t = х - 15, а х = 5t + 1.

По условию х + у

Ответ: ученик брался решать 13 задач, 6 решил, с 7 не справился.

17. Иванушка Дурачок бьется со Змеем Горынычем, у которого 2001 голова. Махнув мечем налево, Иван срубает 10 голов, а взамен вырастают 16. Махнув, мечем направо - срубает15, вырастают - 6. Если все головы срублены - новых не вырастает. Махать можно в произвольном порядке, но если голов меньше 15, то только налево, а если меньше 10, то вообще нельзя. Может ли Иванушка Дурачок победить Змея Горыныча?

Переформулирую задачу: можно ли срубить 1986 голов? Тогда, оставшиеся 15, Иван срубит одним ударом направо и новых не вырастет.

Пусть х - число ударов направо, а у - число ударов налево, тогда 1986 - 9х + 6у = 0.

Поделю всё уравнение на 6, получу

3х - 2у = 662.

у = 3х - 6622= х - 331 + х2.

Пусть х2 = t, тогда x = 2t, a y = 3t - 331.

Т. к. х >= 0, у >= 0, то t >= 111, отсюда t = 111, х = 222, у = 2.

Получаю: ударив 220 раз направо, Иван срубает 1980 голов и у Змея остаётся 21 голова; затем 2 удара налево и у Змея вырастают 12 голов, всего их становится 33; следующие 2 удара направо лишают Змея 18 голов и оставшиеся 15 Иван срубает последним ударом направо и новых голов уже не вырастает.

Ответ: 220 ударов направо, 2 удара налево и ещё 3 удара направо.

18. У игрального кубика грани пронумерованы - 1, 2, 3, 4, 5, 6. Из 5 таких кубиков сложили башню и сосчитали сумму очков на всех видимых гранях, после того как сняли верхний куб сумма уменьшилась на 19, какое число оказалось на верхней грани верхнего куба?

Сумма очков одного куба - 21.

Пусть х - количество очков на нижней грани верхнего куба, а у - количество очков на верхней грани следующего куба. При снятии верхнего куба, пропадают очки 5 граней верхнего куба, сумма очков которых (21 - х), а появляется грань на которой у очков, значит, сумма очков уменьшилась на (21 - х) - у, а по условию это 19, отсюда:

(21 - х) - у = 19, х + у = 2.

Отсюда у = 2 - х, а по условию 1

19. Некто купил 30 птиц за 30 монет одного достоинства. За каждых 3 воробьёв уплачена одна монета, за 2 снегиря - 1 монета, за 1 голубя - 2 монеты. Сколько птиц каждого вида было?

Пусть воробьёв было - х, снегирей - у, а голубей - z. Тогда, согласно условию х + у + z = 30 и 13x + 12y + 2z = 30.

Получаю х + у + z = 30 и 2x + 3y + 12z = 180, или y + 10z = 120, y = 120 - 10z, где по условию х

Отсюда следующие варианты (0;20;10); (9;10;11); (18;0;12).

Ответ: воробьев - 0, снегирей - 20, голубей - 10; воробьев - 9, снегирей - 10, голубей - 11; воробьев - 18, снегирей - 0, голубей - 12.

20. Найти все двухзначные числа, каждое из которых, будучи уменьшено на 2, равно упятеренному произведению своих цифр.

Пусть ху искомые двузначные числа.

Для уравнения ху - 2 = 5ху, или (10х + у) - 5ху = 2 S = 0 и все натуральные решения найду из множества (х; 2).

Т. к. х - первая цифра двухзначных чисел, то она может принимать только 9 значений.

Т. о. , искомыми числами будут: 12, 22, 32,. , 92.

Ответ. 12; 22, 32; 42; 52; 62; 72; 82; 92.

21. Кусок проволоки длиной 102 см нужно разрезать на части длиной 15 см и 12 см так, чтобы была использована вся проволока. Как это сделать?

Пусть х- число частей проволоки длиной 15 см, у- число частей проволоки длиной 12 см. Составлю уравнение:

15х+12у=102 /:3

4х+3у=34 х=34-4у5=6+4-4у5=6+4(1-у)5.

Пусть 1-у5=t х=6+4t>0у=1-5t>0=> 4t>-6-5t>-1 => t>-1,5t t=0;-1.

Если t=0, то х=6у=1

Если t=-1, то х=2у=6

Ответ. Задача имеет два решения:

1) 102=15∙6+12∙1; 2) 102=15∙2+12∙6.

22. Пете в 1987 году было столько лет, какова сумма цифр года его рождения. В каком году он родился?

Пусть Петя родился в 19ху году. Тогда в 1987 году ему было 1987-19ху, или (1+9+х+у) лет. Имеем уравнение:

87-(10х+у)=10+х+у

77-11х=2у у=77-11х2=38-11х-12.

Учитывая, что х и у - цифры десятичной системы счисления, то подбором находим: х=3, у=1.

Ответ. Петя родился в 1970 году.

23. Некто покупает в магазине вещь стоимостью 19 р. У него имеются лишь 15-трехрублевок, у кассира же лишь 20-пятирублевок. Можно ли расплатиться и как?

Задача сводится к решению в целых положительных числах диофантова уравнения: 3x - 5y = 19, где x

Ввиду того, что x>0 и y > 0 и учитывая условия задачи, легко установить, что 0

Отсюда вытекает 2 возможных значения: x

Ответ. 1) 19=3∙8-1∙5 2) 19=3∙13-4∙5.

24. Можно ли отвесить 28 г некоторого вещества на чашечных весах, имея только 4 гири весом в 3 г и 7 гирь весом в 5г?

Для этого нужно решить уравнение:

x = 9 - 2(3y1 - 1) + y1 = 11-5y1.

Итак, x = 11 - 5 y1 y = 3 y1 - 1.

Из условий задачи вытекает, что y1 нельзя давать отрицательные значения. Далее должно быть y1

Ответ. 1 гиря в 3 г и 5 гирь в 5 г.

25. Покупатель приобрел в магазине на 21 р. товара. Но у него в наличии денежные знаки только 5 - рублевого достоинства, а у кассира - 3 - рублевого. Требуется знать, можно ли при наличии денег расплатиться с кассиром и как именно?

Пусть x - число 5 - рублевок, y - 3 - рублевок.

По условию x > 0, y > 0, значит.

Кроме того, t - четное, иначе ни x, ни y не будет целыми.

При t = 4, 6, 8,. имеем: t

Ответ. 6;3;8;8;12;13;15;18;18;23;21;28;24;33;27;38;(30;43).

26. Имеется 110 листов бумаги. Требуется из них сшить тетради по 8 листов и по 10 листов в каждой. Сколько надо сшить тех и других?

Пусть x - число 8 - листовых тетрадей, y - число 10 - листовых тетрадей.

Значит t = 0 или t = - 1

Ответ. 5;7;(10;3).

27. Многие старинные способы отгадывания чисел и дат рождения основываются на решении диофантовых уравнений. Тех, например, чтобы отгадать дату рождения (месяц и число) собеседника, достаточно узнать у него сумму, получаемую от сложения двух произведений: числа даты (x) на 12 и номера месяца (y) на 31.

Пусть сумма произведений, о которых идет речь, равна 330. Найти дату рождения.

Решим неопределенное уравнение: y = 2y1 + y2 = 2(2y2 + y3) + y2 = 5y2 + 2y3 = 5(2y3 - 6) + 2y3 = 12y3 - 30 x = 27 - 3(12y3 - 30) + 2y2 + y3 = 27 - 36y3 + 90 + 2(2y3 - 6) + y3 =

27 - 36y3 + 90 + 5y3 - 12 = 105 - 31y3 x = 12y3 - 30, y = 105 - 31y3

Итак, дата рождения: 12 число 6 - го месяца.

28. Можно ли двухрублевыми и пятирублевыми монетами набрать сумму в 51 рубль? Если можно, то сколько существует способов?

Пусть было х - двухрублевых монет, а пятирублевых - у монет.

Пусть 1+у2=z, тогда

=> z = 1, 2, 3, 4, 5

Ответ: 5 способов.

29. Можно ли разложить две сотни яиц в коробки по 10 и по 12 штук? Если можно, то найдите все такие способы.

Пусть было х коробок по 10 штук и у коробок по 12 штук. Составлю уравнение: z = 1, 2, 3

Ответ: 14;5;8;10;(2;15)

30. Представьте число 257 в виде суммы двух натуральных слагаемых: а) одно из которых кратное 3, а другое - 4; б) одно из которых кратное 5, а другое - 8.

Ответ: 1) 249 и 8; 2) 225 и 32.

В задачах на неопределенные уравнения я столкнулась с самыми разнообразными случаями: задача может быть совсем неразрешимой (Задача 4), может иметь бесконечное множество решений (Задача 2), может иметь несколько определенных решений; в частности, она может иметь одно единственное решение (Задача 1).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Цель, которую я поставила перед собой, мной реализована. Работа над проектом вызвала интерес и увлекла меня. Эта работа потребовала от меня не только определенных математических знаний и настойчивости, но и дала мне возможность почувствовать огромную радость самостоятельного открытия.

Диофантовы уравнения встречаются в олимпиадных заданиях, поэтому они развивают логическое мышление, повышают уровень математической культуры, прививают навыки самостоятельной исследовательской работы в математике.

При решении уравнений и задач, сводящихся к диофантовым уравнениям, применяются свойства простых чисел, метод разложения многочлена на множители, метод перебора, метод спуска и алгоритм Евклида. На мой взгляд, метод спуска самый сложный. А симпатичнее для меня оказался метод перебора.

В работе мною решено 54 задачи.

Эта работа способствовала более глубокому пониманию школьной программы и расширению кругозора.

Данный материал будет полезен учащимся, интересующихся математикой. Его можно использовать на некоторых уроках и на факультативных занятиях.