Разделы: Математика

Класс: 10

Цель урока. Обобщение, систематизация и углубление знаний по теме “Геометрический смысл производной.”.

Задачи урока.

• Развивать умения применять теоретические знания при решении заданий различной сложности.
• Подготовка к ЕГЭ
• Развивать умение распределять время урока, оценивать свою учебную деятельность.

Оборудование: Интерактивная доска, презентация, чертежные инструменты, мел, учебники, тетради. У каждого на столе кроссворд.

Тип урока. Урок систематизации и углубления знаний по теме.(подготовка к ЕГЭ.).

Ход урока

1. Повторение теоретического материала. Решение кроссворда (Слайд - 3)

2. Повторить алгоритм составления уравнения касательной . (Слайд - 6.7)

Чтобы составить уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x 0 , надо найти

2) у"(x0) =f"(x 0)

3) у(x0) =f(x 0)

4) Подставим найденные числа, в формулу

3. Решение примеров. Взаимопроверка. Самопроверка. Составить уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x 0.

а) , х 0 =1 (Слайд - 7,8)

б) у=-х 2 +4, х 0 =-1 (Слайд - 9,10)

в)у=х 3 , х 0 =1 (Слайд - 12-15)

г) х 0 =4 (Слайд - 16,17)

д) у = tgx в точке x 0 =0 (Слайд - 20-22)

4. Решение сложных задач.

Второй тип уравнения касательной. (Слайд - 23)

• Напишите уравнение касательной к графику функции y=f(x0), если касательная параллельна прямой y= kx+b.

Алгоритм нахождения.

1. Найдем производную функции.

2. Так как угловой коэффициент касательной к графику функции y= f(x0) равен значению производной функции, т.е. k=f " (x0), то абсциссу точки касания найдем, решив уравнение f "(х0) = k.

3. Найдем значение функции в точке x0 .

4. Подставив найденные значения в формулу получим уравнение касательной.

Третий тип уравнения касательной. (Слайд - 27)

Написать уравнение касательной к графику функции у=f(x), если известно, что эта касательная проходит через точку A(x 0 ,y 0).

Алгоитм решения.

• Написать уравнение касательной к графику функции у=f(x), если известно, что эта касательная проходит через точку A(x 0 ,y 0).

У=(х-2) 2 -1 ; А(3;-1) (Слайд - 28-30)

Четвертый тип уравнения касательной. (Слайд - 31)

• Составить уравнение общей касательной к графикам функций y= f(X) и y = g (x).

Алгоритм решения.

1. Введем предполагаемые точки касания х1 - для функции y= f(x) и х2 - для функции y= g(x).
2. Найдем производные данных функций.
3. Найдем значения производных в этих точках f "(х1) и g " (х2).
4. Найдем значения функций в этих точках y = f(х1) и y = g(х2).
5. Составим уравнения касательных соответственно для каждой функции.
6. Выпишем угловые коэффициенты k1, k2 и b1, b2.
   Так как касательная общая, то угловые коэффициенты равны и равны значения b. k1 = k2 и b1= b2
7. Составим систему уравнений и решив ее, найдем значения х1 и х2
8. Найденные значения подставим в общие уравнения касательных.
9. Уравнения получились одинаковые. Получили уравнение общей касательной к графикам

• Составить уравнение общей касательной к графикам функций y=f(x) и y= g(x).
  У-(х-+2) 2 - 3 и у=х 2 (Слайд - 32-36)

Решение заданий в формате ЕГЭ (Слайд - 37-40)

План-конспект урока в 10 классе

«Уравнение касательной к графику функции»

Тип урока: Урок первичного предъявления новых знаний и формирования первоначальных предметных навыков, овладения предметными умениями.

Дидактическая задача урока: Обеспечение осознания и усвоения понятий, правил, алгоритмов; формирование умений применения теоретических положений в условиях решения учебных задач.

Цели урока: вывести уравнение касательной к графику функции, научить составлять уравнение касательной для заданной функции в заданной точке.

Планируемые результаты:

ЗУНы. Учащиеся должны

знать: уравнение касательной к графику функции в точке х 0 ;

уметь: составлять уравнение касательной к графику заданной функции в заданной точке.

формирование навыка составления уравнения касательной к графику заданной функции в заданной точке.

Оборудование: доска, компьютер, проектор, экран, учебники, тетради учащихся, письменные принадлежности.

Учитель: Нестерова Светлана Юрьевна

1 слайд. «Касательная к графику функции»

Устная работа, направленная на подготовку учащихся к восприятию новой темы (повторение ранее изученного материала)

10.01 – 10.03

Фронтальная

Устная работа

Для того чтобы качественно разобраться с темой сегодняшнего урока, нам необходимо вспомнить то, что мы с вами ранее изучали.

Ответьте на следующие вопросы.

2 слайд.

Графиком какой функции является прямая? (линейной)

Каким уравнением задается линейная функция? (у = k х + b )

Как называется число, стоящее перед « х »? (угловой коэффициент прямой)

По-другому уравнение у = k х + b называют уравнением прямой с угловым коэффициентом.

3 слайд.

Чему равен угловой коэффициент прямой? (тангенсу угла наклона прямой, который эта прямая образует с положительным направлением оси Ох).

Сформулируйте определение касательной: (прямая, проходящая через точку (х о ; f (х о )), с отрезком которой практически сливается график дифференцируемой в точке х о функции f при значениях х близких к х о ).

4 слайд.

Если в точке x o существует производная , то существует касательная (невертикальная) к графику функции в точке x o .

5 слайд.

Если же f ’ ( x 0 ) не существует, то касательная либо

не существует (как у функции у = |х|),

либо вертикальная (как у графика у = 3 √х).

6 слайд.

Вспоминаем, каким может быть взаимное расположение касательной с осью абсцисс?

Прямая возрастающая => угловой коэффициент k >0, tg > 0 => угол острый.

Прямая // оси ОХ => угловой коэффициент k =0, tg = 0 => угол = 0 0

Прямая убывающая => угловой коэффициент k <0, tg < 0 => угол тупой.

7 слайд.

Геометрический смысл производной:

Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке проведения касательной k = f `( x o ).

Хорошо, молодцы, повторение окончено.

Тема урока. Постановка цели урока

10.03-10.05

Обсуждение, беседа

Выполните следующее задание:

Дана функция у = х 3 . Напишите уравнение касательной к графику этой функции в точке х 0 = 1.

ПРОБЛЕМА ? Да. Каким образом её решать? Ваши варианты? Где вы сможете найти помощь в решении этой проблемы? В каких источниках? Но проблема решаема? Так как вы думаете, какова будет тема нашего урока?

Тема сегодняшнего урока «Уравнение касательной» .

Ну а теперь сформулируйте цели нашего урока (ДЕТИ ):

1. Вывести уравнения касательной к графику функции в точке х о .

2. Научиться составлять уравнение касательной для заданной функции.

Открываем тетради, записываем на полях число, «классная работа», тема урока.

Первичное восприятие и усвоение нового теоретического учебного материала

10.06- 10.12

Фронтальная

Поисково - исследовательская

8 слайд.

Решим эту практическую задачу. Я пишу на доске – вы смотрите, рассуждаете вместе со мной.

Дана функция у = х 3 . Необходимо написать уравнение касательной к графику этой функции в точке х 0 = 1.

Рассуждаем: уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид: у = k х + b .

Для того чтобы его написать, нам необходимо знать значение k и b .

Найдем k (из геометрического смысла производной):

k = f `( x o ) = f `(1) = 3 * 1 2 = 3, т.е. k = 3 .

Наше уравнение приобретает вид: у = 3х + b .

Вспомните: если прямая проходит через заданную точку, то при подстановке координат этой точки в уравнение прямой должно получиться верное равенство. Значит, нам необходимо найти ординату точки – значение функции в точке х 0 = 1: f (1) =1 3 =1. Точка касания имеет координаты (1; 1).

Подставляем найденные значения в уравнение прямой, получаем:

1 = 3 . 1+ b ; значит b = - 2 .

Подставим найденные значения k = 3 и b = - 2 в уравнение прямой: у = 3х - 2.

Задача решена.

9 слайд.

А теперь решим эту же задачу в общем виде.

Дана функция у = f ( x ), необходимо написать уравнение касательной к графику этой функции в точке х 0 .

Рассуждаем по той же схеме: уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид: у = k х + b .

Из геометрического смысла производной: k = f `( x o )=> у = f `( x o ) * х + b .

Значение функции в точке х 0 есть f ( x o ), значит касательная проходит через точку с координатами ( х 0 ; f ( x o ))=> f ( x o )= f `( x o ) * x o + b .

Выразим из данной записи b : b = f ( x o ) - f `( x o ) * x o .

Подставим все выражения в уравнение прямой:

у = f `( x o ) * х + b = f `( x o ) * х + f ( x o ) - f `( x o ) * x o = f `( x o ) * ( х - x o )+ f ( x o ).

СРАВНИТЬ С УЧЕБНИКОМ (стр. 131)

Найдите, пожалуйста, в тексте учебника запись уравнения касательной и сравните с тем, что у нас получилось.

Запись немного отличается (чем?), но она верна.

Принято записывать уравнение касательной в следующем виде:

у = f ( x o ) + f `( x o )( х - x o )

Запишите эту формулу себе в тетрадь и выделите – вы должны её знать!

9 слайд.

А теперь давайте составим алгоритм нахождения уравнения касательной. Все «подсказки» у нас в формуле.

Найти значение функции в точке х о

Вычислить производную функции

Найти значение производной функции в точке х о

Подставить полученные числа в формулу

y = f ( x o ) + f `( x o )( x – x o )

Привести уравнение к стандартному виду

Отработка первичных навыков

10.12-10.14

Фронтальная

Письменная + совместное обсуждение

Каким образом эта формула работает? Рассмотрим на примере. Записываем пример в тетрадь.

Напишите уравнение касательной к графику функции f (x ) = х 3 – 2х 2 + 1 в точке с абсциссой 2.

Выполняем вывод уравнения с записью на доске и в тетрадях.

Ответ: у = 4х – 7.

Работа с источником информации

10.14-10.15

Индивидуальная

Чтение текста, обсуждение

Посмотрите в учебник на с. 131, пример 2. Прочитайте до п.3. О чем идет речь в данном примере? (можно составить уравнение для заданной функции в общем виде и потом найти уравнение касательной при любом значении х 0 , а ещё можно найти точку пересечения касательной к стандартной параболе с осью Ох

Динамическая пауза

10.15-10.16

Отдых

Минутка отдыха.

Слайд – зарядка для тела, зарядка для глаз.

Применение теоретических положений в условиях выполнения упражнений и решения задач

10.16- 10.30

Фронтальная, индивидуальная

Письменная (доска + тетрадь)

Ну а теперь приступим к практической работе, цель которой – сформировать навык составления уравнения касательной.

На доске записать №№ 255(а, б), 256(а, б), резерв 257 (а, б), * .

* – задание следующего уровня сложности для наиболее подготовленных учеников: На параболе у = 3х 2 - 4х + 6 найти точку, в которой касательная к ней // прямой у =2х+4 и написать уравнение касательной к параболе в этой точке.

Для работы к доске приглашаются учащиеся (поочерёдно).

Ответы:

№255

а) у = - 3х – 6, у = - 3х + 6 б) у = 2х, у = - 2х +4

№256

а) у = 3, у = - 3х + 3π б) у = 2х + 1 – π/ 2 , у = 4х + √3 - 4 π/ 3

№257 (резерв)

а) х = 1, у = 1, в т. (1; 1) касательная // Ох

б) х = - 2, у = - 24, в т. (-2; -24) касательная // Ох

Задание *ответы:

А (1; 5), уравнение касательной у = 2х + 3.

Самостоятельное использование навыков

10.30-10.35

Групповая, индивидуальная, самостоятельная

Письменная (тетрадь), обсуждение работы в парах

Итак, чем мы занимались? Кому был понятен материал? У кого остались вопросы? Проведем самоконтроль понимания темы урока.

Работать вы будете в парах - на столах у вас лежат карточки с заданиями. Внимательно прочитайте задание, на выполнение работы даётся 4-5 минут.

Задание: Написать уравнение касательной к заданной функции f (x ) в точке с заданной абсциссой.

I : f ( x ) = х 2 – 2х – 8, в точке с абсциссой -1 . Ответ: у = -4х – 9.

II : f ( x ) = 2х 2 – 4х + 12, в точке с абсциссой 2 . Ответ: у = 4х + 4.

III : f ( x ) = 3х 2 – х – 9, в точке с абсциссой 1 . Ответ: у = 5х –12.

IV : f ( x ) = 4х 2 + 2х + 3, в точке с абсциссой -0,5 . Ответ: у = -2х + 2.

Проверка выполнения самостоятельной работы

10.35-10.37

Фронтальная, групповая

Осуществление самоконтроля по образцу, обсуждение

На доске (поворотной) ответы. Учащиеся проводят самоконтроль.

У кого получились такие же ответы?

У кого ответы не сошлись?

Где вы допустили ошибку?

Вопросы учащимся на закрепление геометрического смысла производной:

Назовите прямые, которые пересекают ось Ох под острым углом.

Назовите прямые, которые // оси Ох.

Назовите прямые, которые образуют с осью Ох угол, тангенс которого является отрицательным числом.

Рефлексия деятельности

10.37-10.39

Фронтальная

Беседа

Подведение итогов урока.

Какая ПРОБЛЕМА возникла перед нами в ходе урока? (нужно было написать уравнение касательной, а мы не знали, как это сделать)

Какие цели мы с вами ставили на этот урок? (вывести уравнение касательной, научиться составлять уравнение касательной для заданной функции в заданной точке)

Достигли ли вы цели урока?

Кто из вас может сказать с уверенностью, что научился составлять уравнение касательной?

У кого ещё остались вопросы? Мы обязательно ещё будем работать над этой темой и, я надеюсь, проблемы Ваши будут решены на 100%!

Домашнее задание

10.39-10.40

Запишите домашнее задание - №№ 255(вг), 256(вг), 257(вг), * , формула!!!

Посмотрите в учебник на задания вашей домашней работы.

№№ 255(вг), 256(вг) – продолжение классной работы по отработке навыка написания уравнения касательной.

* – задание следующего уровня сложности для тех, кто хочет себя проверить:

На параболе у = х 2 + 5х – 16 найти точку, в которой касательная к ней // прямой 5х+у+4 =0.

Спасибо за работу. Урок окончен.

Класс: 10

Презентация к уроку

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Тип урока: изучение нового материала.

Методы обучения: наглядный, частично поисковый.

Цель урока.

1. Ввести понятие касательной к графику функции в точке, выяснить в чем состоит геометрический смысл производной, вывести уравнение касательной и научить находить его для конкретных функций.
2. Развивать логическое мышление, математическую речь.
3. Воспитывать волю и упорство для достижения конечных результатов.

Оборудование: интерактивная доска, компьютер.

План урока

I. Организационный момент

Проверка готовности учащихся к уроку. Сообщение темы урока и целей.

II. Актуализация знаний.

(Вспомнить с учащимися геометрическое определение касательной к графику функции. Привести примеры, показывающие, что данное утверждение не полно.)

Вспомним, что же такое касательная?

“Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку”. (Слайд № 2)

Обсуждение правильности данного определения. (После обсуждения, учащиеся приходят к выводу, что данное определение неверно.) Для наглядного доказательства их умозаключения приводим следующий пример.

Рассмотрим пример. (Слайд № 3)

Пусть дана парабола и две прямые , имеющая с данной параболой одну общую точку М (1;1). Проводится обсуждение, почему первая прямая не является к данной параболе касательной (Рис. 1), а вторая является (Рис.2).

На данном уроке, мы с вами должны выяснить, что же такое касательная к графику функции в точке, как составить уравнение касательной?

Рассмотреть основные задачи на составление уравнения касательной.

Для этого, вспомнить общий вид уравнения прямой, условия параллельности прямых, определение производной и правила дифференцирования. (Слайд № 4)

III. Подготовительная работа к изучению нового материала.

1. Сформулировать определение производной. (Слайд № 5)
2. Заполнить таблицу произвольных элементарных функций. (Слайд № 6)
3. Вспомнить правила дифференцирования. (Слайд № 7)
4. Какие из указанных прямых параллельны и почему? (Убедиться наглядно) (Слайд №8)

IV Изучение нового материала.

Чтобы задать уравнение прямой на плоскости нам достаточно знать угловой коэффициент и координаты одной точки.

Пусть дан график функции . На нем выбрана точка , в этой точке к графику функции проведена касательная (мы предполагаем, что она существует). Найти угловой коэффициент касательной.

Дадим аргументу приращение и рассмотрим на графике (Рис. 3) точку P с абциссой . Угловой коэффициент секущей MP, т.е. тангенс угла между секущей и осью x, вычисляется по формуле .

Если мы теперь устремим к нулю, то точка Р начнет приближаться по кривой к точке М. Касательную мы охарактеризовали как предельное положение секущей при этом приближении. Значит, естественно считать, что угловой коэффициент касательной будет вычисляться по формуле .

Следовательно, .

Если к графику функции y = f (x) в точке х = а можно провести касательную, непараллельную оси у , то выражает угловой коэффициент касательной. (Слайд № 10)

Или по другому. Производная в точке х = а равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке .

Это и есть геометрический смысл производной. (Слайд № 11)

Причем, если:

Выясним общий вид уравнения касательной.

Пусть, прямая задана уравнением . Мы знаем, что . Для вычисления m воспользуемся тем, что прямая проходит через точку . Подставим в уравнение. Получим , т.е. . Подставим найденные значения k и m в уравнение прямой:

Рассмотрим примеры:

Составим уравнение касательной:

(Слайд № 14)

Решая эти примеры мы воспользовались очень простым алгоритмом, который заключается в следующем: (Слайд № 15)

Рассмотрим типичные задания и их решение.

№1 Составить уравнение касательной к графику функции в точке .

(Слайд № 16)

Решение. Воспользуемся алгоритмом, учитывая, что в данном примере .

2)

3) ;

4) Подставим найденные числа ,, в формулу.

№2 К графику функции провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой . (Слайд № 17)

Решение. Уточним формулировку задачи. Требование “провести касательную” обычно означает “составить уравнение касательной”. Воспользуемся алгоритмом составления касательной, учитывая, что в данном примере .

Искомая касательная должна быть параллельна прямой . Две прямые параллельны, тогда и только тогда, когда равны их угловые коэффициенты. Значит угловой коэффициент касательной должен быть равен угловому коэффициенту заданной прямой: .Но . Следовательно: ; ., т.е.

V. Решение задач.

1. Решение задач на готовых чертежах (Слайд № 18 и Слайд № 19)

2. Решение задач из учебника: № 29.3 (а,в), № 29.12 (б,г), № 29.18, № 29.23 (а) (Слайд № 20)

VI. Подведение итогов.

1. Ответьте на вопросы:

• Что называется касательной к графику функции в точке?
• В чем заключается геометрический смысл производной?
• Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной?

2. В чем были трудности на уроке, какие моменты урока наиболее понравились?

3. Выставление отметок.

VII. Комментарии к домашней работе

№ 29.3 (б,г), № 29.12 (а,в), № 29.19, № 29.23 (б) (Слайд №22)

Литература. (Слайд 23)

1. Алгебра и начала математического анализа: Учеб. Для 10-11 кл. для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / Под редакцией А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала математического анализа: Задачник, Для 10-11 кл. для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / Под редакцией А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
3. Алгебра и начала анализа. Самостоятельные и контрольные работы для 10-11 классов. / Ершова А.П., Голобородько В.В. – М.: ИЛЕКСА, 2010.
4. ЕГЭ 2010. Математика. Задача В8. Рабочая тетрадь / Под редакцией А.Л.Семенова и И.В.Ященко – M.: Издательство МЦНМО, 2010.

Уроки 70-71. Уравнение касательной к графику функции

Цель: получить уравнение касательной к графику функции.

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (тест).

Вариант 1

1. Найдите производную функции у = 3х4 – 2 cos x .

Ответ:

в точке х = π.

Ответ:

3. Решите уравнение y ’(x ) = 0, если

Ответ:

Вариант 2

1. Найдите производную функции у = 5хб + 3 sin x .

Ответ:

2. Вычислите значение производной функции в точке х = π.

Ответ:

3. Решите уравнение y ’(х) = 0, если

Ответ:

III. Изучение нового материала

Наконец перейдем к заключительному этапу изучения производной и рассмотрим на оставшихся занятиях применение производной. На этом занятии обсудим касательную к графику функции.

Понятие касательной уже рассматривалось ранее. Было показано, что график дифференцируемой в точке а функции f (х) вблизи а практически не отличается от графика касательной, а значит, он близок к секущей, проходящей через точки (а; f (а)) и (а + Δх; f (а + Δх)). Любая из таких секущих проходит через точку М(а; f (а)). Чтобы написать уравнение касательной, надо задать ее угловой коэффициент. Угловой коэффициент секущей Δ f /Δ x при Δх → 0 стремится к числу f "(а), которое является угловым коэффициентом касательной. Поэтому говорят, что касательная есть предельное положение секущей при Δх → 0.

Теперь получим уравнение касательной к графику функции f (х). Так как касательная является прямой и ее угловой коэффициент f "(а), то можно записать ее уравнение у = f "(a ) · x + b . Найдем коэффициент b из условия, что касательная проходит через точку М(а; f (а)). Подставим координаты этой точки в уравнение касательной и получим: f (а) = f "(a ) · a + b , откуда b = f (а) - f "(а) · а. Теперь подставим найденное значение b в уравнение касательной и получим: или Это и есть уравнение касательной. Обсудим применение уравнения касательной.

Пример 1

Под каким углом синусоида пересекает ось абсцисс в начале координат?

Угол, под которым график данной функции пересекает ось абсцисс, равен углу наклона а касательной, проведенной к графику функции f (x ) в этой точке. Найдем производную: Учитывая геометрический смысл производной, имеем: и a = 60°.

Пример 2

Напишем уравнение касательной графику функции f (х) = -х2 + 4х в точке a = 1.

f "(х) и самой функции f (x ) в точке a = 1 и получим: f "(a ) = f "(1) = -2 · 1 + 4 = 2 и f (a ) = f (1) = -12 + 4 · 1 = 3. Подставим эти величины в уравнение касательной. Имеем: у = 2(х - 1) + 3 или у = 2х + 1.

Для наглядности на рисунке приведены график функции f (x ) и касательная к этой функции. Касание происходит в точке M (1; 3).

На основе примеров 1 и 2 можно сформулировать алгоритм получения уравнения касательной к графику функции у = f (x ):

1) обозначить абсциссу точки касания буквой а;

2) вычислить f (а);

3) найти f "(x ) и вычислить f "(a );

4) подставить найденные числа a , f (a ), f "(a ) в формулу y = f ’(a )(x - a ) + f (a ).

Заметим, что изначально точка а может быть неизвестна и ее приходится искать из условий задачи. Тогда в алгоритме в п. 2 и 3 слово «вычислить» надо заменить словом «записать» (что иллюстрирует пример 3).

В примере 2 абсцисса а точки касания была задана напрямую. Во многих случаях точка касания определяется различными дополнительными условиями.

Пример 3

Напишем уравнения касательных, проведенных из точки A (0; 4) к графику функции f (x ) = - x 2 + 2х.

Легко проверить, что точка А не лежит на параболе. Вместе с тем неизвестны точки касания параболы и касательных, поэтому для нахождения этих точек будет использовано дополнительное условие - прохождение касательных через точку А.

Предположим, что касание происходит в точке а. Найдем производную функции: Вычислим значения производной f "(x ) и самой функции f (х) в точке касания а и получим: f ’(а) = -2а + 2 и f (a ) = -а2 + 2а. Подставим эти величины в уравнение касательной. Имеем: или Это уравнение касательной.

Запишем условие прохождения касательной через точку А, подставив координаты этой точки. Получим: 4 или 4 = а2, откуда а = ±2. Таким образом, касание происходит в двух точках В(-2; -8) и С(2; 0). Поэтому таких касательных будет две. Найдем их уравнения. Подставим значения а = ±2 в уравнение касательной. Получим: при a = 2 или ух = -2х + 4; при a = -2 или у2 = 6х + 4. Итак, уравнения касательных у1 = -2х + 4 и у2 = 6х + 4.

Пример 4

Найдем угол между касательными, используя условия предыдущей задачи.

Проведенные касательные у1 = -2х + 4 и у2 = 6х + 4 составляют с положительным направлением оси абсцисс углы а1 и а2 (причем tg a 1 = -2 и tg a 2 = 6) и между собой угол φ = a 1 - а2. Найдем, используя известную формулу, откуда φ = arctg 8/11.

Пример 5

Напишем уравнение касательной к графику функции параллельной прямой у = -х + 2.

Две прямые параллельны друг другу, если они имеют равные угловые коэффициенты. Угловой коэффициент прямой у = -х + 2 равен -1, угловой коэффициент искомой касательной равен f ’(a ), где a - абсцисса точки касания. Поэтому для определения а имеем дополнительное условие f ’(a ) = -1.

Используя формулу для производной частного функций, найдем производную: Найдем значение производной в точке a и получим:

Получим уравнение или (а - 2)2 = 4, или а - 2 = ±2, откуда а = 4 и а = 0. Таким образом, существуют две касательные, удовлетворяющие условию задачи. Подставим значения а = 4 и а = 0 в уравнение касательной у = f ’(a )(x - а) + f (а). При а = 4 имеем: и касательная у1 = -(х - 4) + 3 или у1 = -х + 7. При а = 0 получим: и касательная у2 = -(х - 0) – 1 или у2 = -х - 1. Итак, уравнения касательных у1 = -х + 7 и у2 = -х - 1.

Заметим, что если f "(a ) не существует, то касательная или не существует (как у функции f (х) = |х| в точке (0; 0) - рис. а, или вертикальна (как у функции в точке (0; 0) - рис. б.

Итак, существование производной функции f (х) в точке а эквивалентно существованию невертикальной касательной в точке (а; f (а)) графика. При этом угловой коэффициент касательной равен f "(а). В этом заключается геометрический смысл производной.

Понятие производной позволяет проводить приближенные вычисления. Уже неоднократно отмечалось, что при Δх → 0 значения функции f (x ) и касательной к ней у(х) практически совпадают. Поэтому при Δх → 0 поведение функции f (х) в окрестности точки х0 приближенно можно описать формулой (фактически уравнение касательной). Эта формула с успехом используется для приближенных вычислений.

Пример 6

Вычислим значение функции в точке х = 2,03.

Найдем производную данной функции: f "(х) = 12х2 - 4х + 3. Будем считать, что х = а + Δх, где а = 2 и Δх = 0,03. Вычислим значения функции и ее производной в точке а и получим: и Теперь определим значение функции в заданной точке х = 2,03. Имеем:

Разумеется, приведенную формулу удобно использовать, если значения f (а) и f "(a ) легко вычислить.

Пример 7

Вычислим

Рассмотрим функцию Найдем производную: Будем считать, что х = а + Δх, где а = 8 и Δх = 0,03. Вычислим значения функции и ее производной в точке а и получим: Теперь определим значение функции в заданной точке х = 8,03. Имеем:

Пример 8

Обобщим полученный результат. Рассмотрим степенную функцию f (х) = х n и будем считать, что х = а + Δх и Δх → 0. Найдем f "(х) = n х n -1 и вычислим значения функции и ее производной в точке а, получим: f (a ) = an и f ’(a ) = nan -1 . Теперь имеем формулу f (х) = а n + nan -1 Δх. Применим ее для вычисления числа 0,98-20. Будем считать, что a = 1, Δх = -0,02 и n = -20. Тогда получим:

Разумеется, приведенную формулу можно использовать и для любых других функций, в частности тригонометрических.

Пример 9

Вычислим tg 48°.

Рассмотрим функцию f (x ) = tg x и найдем производную: Будем считать, что х = a + Δ х, где a = 45° = π/4 и (еще раз обратим внимание на то, что в тригонометрии углы обычно измеряют в радианах). Найдем значения функции и ее производной в точке а и получим: Теперь вычислим (учтено, что π = 3,14).

IV. Контрольные вопросы

1. Уравнение касательной к графику функции.

2. Алгоритм выведения уравнения касательной.

3. Геометрический смысл производной.

4. Применение уравнения касательной для приближенных вычислений.

V. Задание на уроках

§ 29, № 1 (а); 2 (б); 5 (а, б); 6 (в, г); 9 (а); 10 (б); 12 (г); 14 (а); 17; 21 (а); 22 (а, в); 24 (а, б); 25 (а); 26.

VI. Задание на дом

§ 29, № 1 (б); 2 (в); 5 (в, г); 6 (а, б); 9 (б); 10 (а); 12 (б); 14 (б); 18; 21 (в); 22 (б, г); 24 (в, г); 25 (б); 27.

VII. Творческие задания

1. В каких точках х касательные к графикам функций параллельны?

Ответ: х = -1, х = 3.

2. При каких х касательные к графикам функций у = 3 cos 5 x - 7 и у = 5 cos 3 x + 4 параллельны?

Ответ:

3. Под какими углами пересекаются кривые у = х2 и

Ответ: π/2 и arctg 3/5.

4. Под какими углами пересекаются кривые у = cos x и у = sin х?

Ответ:

5. К параболе у = 4 - х2 в точке с абсциссой х = 1 проведена касательная. Найдите точку пересечения этой касательной с осью ординат.

Ответ: (0; 5).

6. К параболе у = 4х - х2 в точке с абсциссой х = 3 проведена касательная. Найдите точку пересечения этой касательной с осью абсцисс.

Ответ: (9/2; 0).

7. Найдите угол между двумя касательными, проведенными из точки (0; -2) к параболе у = х2.

Ответ:

8. К графику функции у = 3х2 + 3х + 2 проведены касательные с угловыми коэффициентами k 1 = 0 и k 2 = 15. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки касания.

Ответ: у = 12х - 4.

9. Найдите уравнения прямых, касающихся одновременно парабол у = х2 + х - 2 и у = -х2 + 7х - 11.

Ответ: у = 7х - 11 и у = х - 2.

10. Напишите уравнение общей касательной к параболам у = -3х2 + 4х + 4 и у = -3х2 + 16х - 20.

Ответ: у = -2х + 7.

11. Касательная к графику функции у = х2 - 4х - 3 проведена в точке х = 0. Найдите площадь треугольника, образованного касательной и осями координат.

Ответ: 9/8.

12. Найдите площадь треугольника, ограниченного осями координат и касательной к графику функции в точке х = 2.

Ответ: 1.

VIII. Подведение итогов уроков

Учитель: Горбунова С. В.

Тема урока: Уравнение касательной к графику функции.

Цели урока

1. 
   Уточнить понятие «касательной».
2. 
   Вывести уравнение касательной.
3. 
   Составить алгоритм «составления уравнения касательной к графику функции

1. 
   Начать отрабатывать умения и навыки в составлении уравнения касательной в различных математических ситуациях.
2. 
   Формировать умения анализировать, обобщать, показывать, использовать элементы исследования, развивать математическую речь.

Оборудование: компьютер, презентация, проектор, интерактивная доска, карточки с памяткой, карточки для рефлексии.

Структура урока:

1. 
   О.Н. У.
2. 
   Сообщение темы урока
3. 
   Повторение изученного материала
4. 
   Постановка проблемы.
5. 
   Объяснение нового материала.
6. 
   Создание алгоритма «составления уравнения касательной».
7. 
   Историческая справка.
8. 
   Закрепление. Отработка умений и навыков в составлении уравнения касательной.
9. 
   Домашнее задание.
10. 
    Самостоятельная работа с самопроверкой
11. 
    Подведение итогов урока.
12. 
    Рефлексия

1. О.Н.У.

2. Сообщение темы урока

Тема сегодняшнего урока: «Уравнение касательной к графику функции». Откройте тетради, запишите число и тему урока. (слайд 1)

Пусть слова, которые вы видите на экране, станут девизом сегодняшнего урока.(слайд 2)

• 
  Плохих идей не бывает
• 
  Мыслите творчески
• 
  Рискуйте
• 
  Не критикуйте

2. Повторение изученного материала (слайд 3).

Цель: проверить знание основных правил дифференцирования.

Найти производную функции:

У кого не одной ошибки? У кого одна?

3. Актуализация

Цель: Активизировать внимание, показать недостаточность знаний о касательной, сформулировать цели и задачи урока. (Слайд 4)

Давайте обсудим, что такое касательная к графику функции?

Согласны ли вы с утверждением, что «Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку»?
Идёт обсуждение. Высказывания детей (да и почему, нет и почему). В процессе обсуждения приходим к выводу, что данное утверждение не верно.

Давайте рассмотрим конкретные примеры:

Примеры. (слайд 5)
1) Прямая x = 1 имеет с параболой y = x 2 одну общую точку M(1; 1), однако не является касательной к параболе.

Прямая же y = 2x – 1, проходящая через ту же точку, является касательной к данной параболе.

Прямая x = π не является касательной к графику y = cos x , хотя имеет с ним единственную общую точку K(π; 1). С другой стороны, прямая y = - 1, проходящая через ту же точку, является касательной к графику, хотя имеет с ним бесконечно много общих точек вида (π+2 πk; 1), где k – целое число, в каждой из которых она касается графика.

^ 4. Постановка цели и задачи перед детьми на уроке: (слайд 6)

Попробуйте сами сформулировать цель урока.

Выяснить, что такое касательная к графику функции в точке, вывести уравнение касательной. Применять формулу при решении задач
^ 5. Изучение нового материала

Посмотрите, чем отличается положение прямой х=1 от положения у=2х-1? (слайд 7)

Сделайте вывод, что же такое касательная?

Касательная это предельное положение секущей.

Раз касательная это прямая линия, а нам нужно составить уравнение касательной, то что, как вы думаете, нам нужно вспомнить?

Вспомнить общий вид уравнения прямой.(у= кх+b)

Как еще называют число к? (угловой коэффициент или тангенс угла между этой прямой и положительным направлением оси Ох) к = tg α

В чем заключается геометрический смысл производной?

Тангенс угла наклона между касательной и положительным направлением оси оХ

Т. Е. я могу записать tg α = yˈ(x). (слайд 8)

Давайте проиллюстрируем это на чертеже. (слайд 9)

Пусть дана функция y = f (x) и точка М принадлежащая графику этой функции. Давайте определим её координаты следующим образом: х=а, у= f (а), т.е. М (а, f (а)) и пусть существует производная f "(а), т.е. в данной точке производная определена. Проведем через точку М касательную. Уравнение касательной – это уравнение прямой, поэтому оно имеет вид: y = kx + b. Следовательно, задача состоит в том, чтобы отыскать k и b. Обратите внимание на доску, из того что там записано, можно ли найти к? (да, k = f "(а).)

Как теперь найти b? Искомая прямая походит через точку М(а; f(a)), подставим эти координаты в уравнение прямой: f(a) = ka +b , отсюда b = f(a) – ka, т. к. к = tg α= yˈ(x), то b = f(a) – f "(а)а

Подставим значение b и к в уравнение y = kx + b.

y = f "(а)x + f(a) – f "(а)a, вынося за скобку общий множитель, получаем:

y = f(a) + f "(а) · (x-a).

Нами получено уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке х = а.

Чтобы уверенно решать задачи на касательную, нужно четко понимать смысл каждого элемента в данном уравнении. Давайте ещё раз остановимся на этом: (слайд 10)

1. 
   (а, f (а)) – точка касания
2. 
   f "(а) = tg α = к тангенс угла наклона или угловой коэффициент
3. 
   (х,у) – любая точка касательной

6. Составление алгоритма (слайд 11).

Предлагаю составить алгоритм самим учащимся:

1. 
   Обозначим абсциссу точки касания буквой а.
2. 
   Вычислим f(a).
3. 
   Найдем f "(х) и вычислим f "(а).
4. 
   Подставим найденные значения числа а, f(а), f "(а) в уравнение касательной.
5. 
   y = f(a) + f "(а) · (x-a).

1. 
   Историческая справка (слайд 12).

Какова история происхождения этого названия? (слайд 14,15)

Понятие производная возникло в связи с необходимостью решения ряда задач физики, механики и математики. Честь открытия основных законов математического анализа принадлежит английскому ученому Ньютону и немецкому математику Лейбницу. Лейбниц рассматривал задачу о проведении касательной к произвольной кривой.

Знаменитый физик Исаак Ньютон, родившейся в английской деревушке Вульстроп, внес немалый вклад и в математику. Решая задачи на проведение касательных к кривым, вычисляя площади криволинейных фигур, он создал общий метод решения таких задач – метод флюксий (производных), а саму производную называл флюентой .

Он вычислил производную и интеграл степенной функции. О дифференциальном и интегральном исчислениях он пишет в своей работе «Метод флюксий» (1665 – 1666гг.), послужившей одним из начал математического анализа, дифференциального и интегрального исчисления, которое ученый разработал независимо от Лейбница.

Многие ученые в разные годы интересовались касательной. Эпизодически понятие касательной встречалось в работах итальянского математика Н.Тартальи (ок. 1500 – 1557гг.) – здесь касательная появилась в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая данность полета снаряда. И. Кепплер рассматривал касательную в ходе решения задачи о наибольшем объеме параллелепипеда, вписанного в шар данного радиуса.

В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развилась кинематическая концепция производной. Различные варианты изложения встречаются у Р.Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Д.Грегори, в работах И. Барроу.

8. Закрепление (слайд 16-18).

1) Составить уравнение касательной к графику функции f(x) = х² - 3х + 5 в точке с абсциссой

Решение:

Составим уравнение касательной (по алгоритму). Вызвать сильного ученика.

1. 
   а = -1;
2. 
   f(a) = f(-1) = 1 + 3 + 5 = 9;
3. 
   f "(x) = 2х – 3,
   f "(a) = f "(-1) = -2 – 3 = -5;
4. 
   y = 9 – 5 · (x + 1),

Ответ: y = 4 – 5x.

Задания ЕГЭ 2011 года В-8

1.Функция у = f(x) определена на промежутке (-3; 4). На рисунке изображён её график и касательная к этому графику в точке с абсциссой а = 1. Вычислите значение производной f"(x) в точке а= 1.

Решение: для решения необходимо вспомнить, что если известны координаты каких-либо двух точек А и В, лежащих на данной прямой, то её угловой коэффициент можно вычислить по формуле: к = , где (x 1 ;у 1), (х 2 ; у 2)- координаты точек А, В соответственно. По графику видно, что эта касательная проходит через точки с координатами (1; -2) и (3; -1), значит к=(-1-(-2))/(3-1)= 0,5.

2. Функция у = f(x) определена на промежутке (-3;4). На рисунке изображён её график и касательная к этому графику в точке с абсциссой а = -2. Вычислите значение производной f"(x) в точке а = -2.

Решение: график проходит через точки (-2;1) (0;-1) . fˈ(-2)= -2

8.Домашнее задание (слайд 19).

Подготовка к ЕГЭ В-8 № 3 - 10

^ 9.Самостоятельная работа

Напишите уравнение касательной к графику функции у=f(x) в точке с абсциссой а.
вариант 1 вариант 2

f(x) = х²+ х+1, а=1 f(x)= х-3х², а=2

ответы: 1 вариант: у=3х; 2 вариант: у= -11х+12

10. Подведение итогов.

• 
  Что называется касательной к графику функции в точке?
• 
  В чём заключается геометрический смысл производной?
• 
  Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной в точке?

Выберете смайлик, соответствующий вашему настроению и состоянию после проведенного урока. Спасибо за урок.