Введение. Математика, давно став языком науки и техники, в настоящее время все шире проникает в повседневную жизнь и обиходный язык, все более внедряется в традиционно далекие от нее области. Как образно заметил великий Галилео Галилей (1564 – 1642 гг.), книга природы написана на математическом языке, и ее буквы – математические знаки и геометрические фигуры, без них невозможно понять ее слова, без них тщетно блуждание в бесконечном лабиринте. И именно функция является тем средством математического языка, которое позволяет описывать процессы движения, изменения, присущие природе. Изучая квадратичную функцию в 9 классе, мы выполняли преобразования графика этой функции. В результате этих преобразований построение графика выполнялось легко и просто. И я задумался: «А нельзя ли выполнять аналогичные преобразования с графиками других функций, например линейной функции, обратной пропорциональности, степенной функции?». Поэтому я выбрал тему своей работы «Класс элементарных функций и их графики», поставив перед собой цель: понять и изучить способы образования элементарных функций и преобразования их графиков.

Из истории развития функции. Впервые функция вошла в математику под именем «переменная величина» в знаменитом труде французского математика и философа Р. Декарта «Геометрия», и её появление послужило, по словам Ф. Энгельса, поворотным пунктом в математике, благодаря чему в неё вошли движение, диалектика. Без переменных величин И.Ньютон не смог бы выразить законы динамики, описывающие процессы механического движение тел – небесных и вполне земных, а современные ученые не могли бы рассчитывать траектории движения космических кораблей и решать бесконечное множество технических проблем нашей эпохи.

Из истории развития функции. С развитием науки понятие функции уточнялось и обобщалось. Сейчас оно стало настолько общим, что совпадает с понятием соответствия. Таким образом, функцией в общем понимании называется любой закон (правило), по которому каждому объекту из некоторого класса, области определения функции, поставлен в соответствие некоторый объект из другого (или того же) класса – области возможных значений функции. Но мы не рассматриваем понятие функции в столь общем понимании, а считаем, что как независимая, так и зависимая переменные – это величины. Таким образом функцией называется зависимость, связывающая с каждым значением одной переменной величины (аргумента) из некоторой области ее изменения определенное значение другой величины (функции). Если аргумент обозначить через х, значение функции - через у, а саму зависимость – функцию – символом f, то связь между значениями функции и аргументом так: y=f(x).

Способы задания функций. Существуют три основных способа выражения зависимостей между величинами: табличный, графический и аналитический («формульный»). Табличный способ важен потому, что является основным при обнаружении реальных зависимостей и может оказаться к томуже единственным средством их задания (формулу не всегда удается подобрать, а порой в ней и нет необходимости).К табличному заданию функции часто переходят при выполнении практических расчетов, с ней связанных: например, применение таблиц квадратных корней удобно при проведении расчетов, в которых участвуют такие корни. С математической точке зрения, табличное задание непрерывных зависимостей всегда неполно и дает лишь информацию о значениях функции в отдельных точках.

Способы задания функций Графический способ представления зависимостей также является одним из средств их фиксации при изучении реальных явлений. Это позволяет делать различные «самопишущие» приборы, такие, как сейсмограф, электрокардиограф, осциллограф и т.п., изображающие информацию об изменении измеряемых величин в виде графиков. Но если есть график, то значит, определена и соответствующая ему функция. В таких случаях говорят о графическом задании функции. Однако графический способ задания функции неудобен для расчетов; к тому же, подобно табличному, он является приближенным и неполным. Аналитическое (формульное) задание функции отличается своей компактностью, легко запоминается и содержит в себе полную информацию о зависимости. Функцию можно задать с помощью формулы, например: y=2x+5, S=at2/2, S=vt. Эти формулы можно вывести с помощью геометрических или физических рассуждений. Порой формулы получаются в результате обработки эксперимента, такие формулы называются эмпирическими.

Класс элементарных функции К элементарным функциям относятся практически все функции, встречающиеся в школьном учебнике. Прежде всего, имеется достаточно представительный набор широко известных и хорошо изученных функций, которые называются основными элементарными функциями. Это функции: y=C, называемая константой, y= xа - степенная (при а = 1 получается функция y=x, называемая тождественной). Графики этих функций прилагаются. (приложение 1-7) Имея в распоряжении основные элементарные функции, можно ввести ряд операций, позволяющих комбинировать их между собой как детали для получения более сложных и разнообразных конструкций. Допустимые арифметические действия над функциями. [+] – сложение, [-] – вычитание, [*] – умножение, [:] – деление. Все те функции, которые можно получить из основных элементов с помощью арифметических операций называются элементарными функциями составляют класс элементарных функций.

Образование класса элементарных функций Имея определенный набор базисных функций f1 , f2 ,f3 ,...fk и допустимых операций F1, F2, ... Fs над ними (их разрешается применять любое число раз), мы можем получать другие функции, подобно тому, как из деталей конструктора с помощью определенных правил их соединения можно получить разные модели. Класс всех получаемых таким образом функций обозначается так: < f1,f2,...fk; F1,F2,...Fs>. В частности, если принять за базисные все основные элементарные функции и допустить лишь арифметические операции, то получим класс элементарных функций. Беря в качестве базисных часть основных элементарных функций и допуская, возможно, лишь часть указанных операций, получим некоторые подклассы класса элементарных функций, некоторые семейства функций, порождаемые данным базисом и данными операциями. Вот несколько примеров таких семейств функций, где под (а) понимается операция умножения на любую константу: - семейство целых положительных степеней у=х, где n € N; - семейство линейных функций у= ах+в; - семейство многочленов у= ахn +...+an-1x +an, где n € N.

Построение графиков Для построения графика функции у= 3х2 надо график функции у= х2 умножить на 3. В результате график функции у= х2 растянется в 3 раза вдоль оси ординат, а если у=0,3 х2 , то произойдет сжатие графика в 0,3 раза вдоль оси Оу. (приложение 8, 9).

Построение графиков График функции у=3(х -4)2 можно получить, выполнив следующие действия: - сложить графики тождественной функции у=х и константы у=-4, получим график функции у=х-4; - перемножить графики функций у=х-4 и у=х-4, получим график функции у= (х -4)2 ; - умножить у= (х -4)2 на 3, получим график функции у=3(х -4)2. Или просто график функции у=3х2 сдвинуть по оси Ох на 4 единичных отрезка (Приложение10).

Преобразования исходного графика функции y= f(x). Из вышесказанного можно сделать следующий вывод, что выполняя различные действия с графиками элементарных функций, мы выполняем преобразования этих графиков, а именно: параллельный перенос, симметрию относительно прямой Ох и прямой Оу.

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

«Функции и графики» Презентация к уроку ГБОУ НПО Профессиональный лицей №80 Преподаватель математики Савицкая Галина Ивановна

«Функции и графики» 1. Что такое функция? Определение 2. Графики элементарных функций 3. Свойства функции 5. Преобразование графиков функций Упражнения: Указать свойства функции 4. Как построить график по заданным свойствам функции

Пусть есть множества X и Y . Если каждому элементу х из множества Х по некоторому правилу сопоставлен единственный элемент y из множества Y , то говорят, что задана функция у = f(x) ОПРЕДЕЛЕНИЕ Х У Y X 1 y 1 X 2 y 2 X 3 y 3 X 4 y 4 X f (закон)

Говорят, что у есть функция от х y=f(x) При этом: Х = – область определения функции ООФ или D(y) у – множество значений функции МЗФ или E(y) Х – независимая переменная или аргумент Y – зависимая переменная или функция

1) Формулой х 1 2 3 4 5 у 1 8 15 20 22 Способы задания функции у = х 2 + 2х – 4 у = 3х f(x) = log 2 (3x+4) f(x) = COS 2x 2) Таблицей

У= f (х) У Х 0 ось ординат ось абсцисс начало координат Способы задания функции 3) Графиком 1 2 3 -1 -2 -3 -1 -2 -3 1 2 3

У= f (х) У Х 0 1 2 3 -1 -2 -3 -1 -2 -3 1 2 3 А(-2;1) В(1;-2) М(х; У) Графиком функции У= f (х) называется множество точек координатной плоскости имеющих координаты (х; f (х)) или (х; У)

1. Линейная функция Графики элементарных функций у х У = х у = 2х у = - х y = к х + в к – угловой коэффициент 0 y = х к=1 y = 2 х к=2 y = - х к=-1 y = ½ х к = ½ 1 1 2 -1 y = ½ х

1. Линейная функция: Графики элементарных функций у х y = к х + в к – угловой коэффициент 0 y = х +2 y = х -2 1 1 2 -1 у = х-2 у = х+2 y = х -2

1. Линейная функция: Графики элементарных функций у х y = к х + в к – угловой коэффициент 0 y = х y = 2 х = 3 1 1 1 2 -1 -2 3 2 3 y = 2 Х = 3

2. Квадратичная функция у=ах 2 + b х + с Графики элементарных функций 0 у х х 0 у 0 парабола Координаты вершины параболы: х 0 = - b 2а у 0 = а (х 0) 2 + b х 0 + с если а > 0 Ветви параболы направлены вверх если а 0 а

Кубическая функция: у=ах 3 + b х 2 + сх + d Графики элементарных функций кубическая парабола у х 0 у=х 3 1 1 -1 -1 у=х 3

4. Обратно пропорциональная функция: У= Графики элементарных функций гипербола к х у х 0 1 -1 1 -1 у х 0 1 -1 1 -1 у = 1 х у = - 1 х

5. Модульная функция: у = | х | Графики элементарных функций у х 0 1 1 -1

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ Y = f (x) У х 0 а 1 а 2 а 3 а 4 а 5 а 6 а 7 а 8 а 9 в 1 в 2 в 3 в 4

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ у= f (х) У х 0 а 1 а 9 1 . Область определения функции – это множество значений аргумента Х при которых существует функция ООФ: Х є [ а 1 ; а 9 ]

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ У = f (х) У х 0 в 1 в 4 2 . Множество значений функции – это множество всех чисел, которые может принимать у МЗФ: у є [ в 4 ; в 1 ]

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ У = f (х) У х 0 а 2 а 4 а 6 а 8 3. Корни (или нули) функции – это такие значения х, при которых функция равна нулю (у=0) f (x) = 0 при Х = а 2 ; а 4 ; а 6 ; а 8

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ у= f (х) У х 0 а 1 а 2 а 4 а 6 а 8 а 9 4 . Участки знакопостоянства функции – это такие значений х при которых функция больше или меньше нуля (т.е. у > 0 или у 0 при Х є (а 1 ; а 2); (а 4 ; а 6); (а 8 ; а 9)

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ у= f (х) У х 0 а 2 а 4 а 6 а 8 4 . Участки знакопостоянства функции – это такие значений х при которых функция больше или меньше нуля (т.е. у > 0 или у

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ у= f (х) У х 0 а 3 а 5 а 7 а 9 5 . Монотонность функции – это участки возрастания и убывания функции Функция возрастает при Х є [ а 3 ; а 5 ] ; [ а 7 ; а 9 ] а 1 Функция убывает при Х є [ а 1 ; а 3 ] ; [ а 5 ; а 7 ]

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ у= f (х) У х 0 а 3 а 5 а 7 в 2 в 3 в 4 Экстремумы функции F max (x) F min (x) F min (x) F max (х) = в 2 в точке экстремума х = а 5 F min (х) = в 3 в точке экстремума х = а 3 F min (x) = в 4 в точке экстремума х = а 7

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ у= f (х) у х 0 а 7 а 9 в 1 в 4 7. Наибольшее и наименьшее значения функции (это самая высокая и самая низкая точки на графике функции) наибольшее значение F (х) = в 1 в точке х = а 9 наименьшее значение F (x) = в 4 в точке х = а 7

у х F(x) = x 2 у х F(x) = cos x х 0 0 Х -Х СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ Четные и нечетные функции Функция называется четной, если для любого Х из ее области определения выполняется правило f(x) = f(- x) График четной функции симметричен относительно оси У f(x) Х -Х f(x)

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ Четные и нечетные функции Функция называется нечетной, если для любого Х из ее области определения выполняется правило f(x) = - f(x) График нечетной функции симметричен относительно начала координат у х 0 у=х 3 х f(x) - f(x) - х у х 0 у = 1 х 1 -1 1 -1

2 2 4 6 8 10 х -2 -4 -6 -8 -10 0 4 6 у -2 -4 у= f (х) Т = 4 Периодичность функций Если рисунок графика функции повторяется, то такая функция называется периодической, а длина отрезка по оси Х называется периодом функции (T) Периодическая функция подчиняется правилу f(x) = f(x+T) СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ

2 2 4 6 х -2 -4 -6 0 4 6 у -2 -4 -6 у= f (х) Т = 6 СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ Функция y=f(x) - периодическая с периодом Т = 6

1 1 2 3 4 5 х -1 -2 -3 -4 -5 0 2 3 4 у -1 -2 -3 -4 Указать свойства функции 1) ООФ 2) МЗФ 3) Нули функции 4) Функция положительная Функция отрицательная 5) Функция возрастает Функция убывает 6) Экстремумы функции F max (х) F min (х) 7) Наибольшее значение функции Наименьшее значение функции у= f (х)

1 1 2 3 4 5 х -1 -2 -3 -4 -5 0 2 3 4 у -1 -2 -3 -4 Указать свойства функции у= f (х)

2 2 4 6 8 10 х -2 -4 -6 -8 -10 0 4 6 8 у -2 -4 -6 -8 Указать свойства функции у= f (х)

2 2 х -2 0 у -2 Указать свойства функции у= f (х)

3 3 х -1 0 у -1 -4 -5 Построить график функции Дано: а) Область определения – есть промежуток [-4;3] б) Значения функции составляют промежуток [- 5 ;3] в) Функция убывает на промежутках [-4; 1 ] и [ 2 ;3] возрастает на промежутке [- 1 ; 2 ] г) Нули функции: -2 и 2

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ Зная график элементарной функции, например f(x) = x 2 можно построить график «сложной» функции, например f(x) = 3(x +2) 2 - 16 с помощью правил преобразования графиков

Правила преобразования графиков 1 правило: Смещение вдоль оси Х Если к аргументу Х прибавить или отнять число, то график сместится влево или вправо по оси Х f(x) f(x ± a) преобразовать в 0 у х 0 у х 4 -4 F(x) = x 2 F(x) = (x+4) 2 F(x) = (x-4) 2

Если к функции Y прибавить или отнять число, то график сместится вверх или вниз по оси Y f(x) f(x) =Х ± a преобразовать в Правила преобразования графиков 2 правило: смещение вдоль оси У у х 4 - 4 0 у х F(x) = x 2 F(x) = x 2 + 4 F(x) = x 2 - 4

Если аргумент Х умножить или разделить на число К, то график сожмется или растянется в К раз по оси Х f(x) f(к· x) преобразовать в Правила преобразования графиков 3 правило: сжатие (растяжение) графика вдоль оси Х у х F(x) = sin x F(x) = sin 2x

Если к функции Y прибавить или отнять число, то график сместится вверх или вниз по оси Y f(x) f(x) ± a преобразовать в у х F(x) = sin x F(x) = sin х 2 Правила преобразования графиков 3 правило: C жатие (растяжение) графика вдоль оси Х

Если функцию умножить или разделить на число К, то график растянется или сожмется в К раз по оси У f(x) к · f(x) преобразовать в Правила преобразования графиков 4 правило: сжатие (растяжение) графика вдоль оси У у х F(x) = cos x F(x) = cos x 1 2

Если функцию умножить или разделить на число К, то график растянется или сожмется в К раз по оси У f(x) к · f(x) преобразовать в Правила преобразования графиков 4 правило: сжатие (растяжение) графика вдоль оси У у х F(x) = cos x F(x) = 2cos x

Если перед функцией изменить знак на противоположный, то график симметрично перевернется относительно оси Х f(x) - f(x) преобразовать в Правила преобразования графиков 5 правило: переворот графика относительно оси Х у х F(x) = x 2 F(x) = - x 2

Презентация «Степенные функции, их свойства и графики» - наглядное пособие для проведения школьного урока по данной теме. Изучив особенности и свойства степени с рациональным показателем, можно сделать полный анализ свойств степенной функции и ее поведения на координатной плоскости. В ходе данной презентации рассматривается понятие степенной функции, различные ее виды, поведение графика на координатной плоскости функции с отрицательным, положительным, четным, нечетным показателем, делается анализ свойств графика, описываются примеры решения задач с использованием изученного теоретического материала.

Применяя данную презентацию, учитель имеет возможность повысить эффективность урока. На слайде хорошо видны построения графика, с помощью цветного выделения и анимации выделяются особенности поведения функции, формируя глубокое понимание материала. Яркая, понятная и последовательная подача материала предусматривает лучшее запоминание его.

Демонстрация начинается с изученного на предыдущих занятиях свойства степени с рациональным показателем. Отмечается, что она преобразуется в корень a p/q = q √a p для неотрицательного а и неравного единице q. Напоминается, как это выполняется на примере 1,3 3/7 = 7 √1,3 3 . Далее дается определение степенной функции y=x k , в которой k является рациональным дробным показателем. Определение выделено в рамку для запоминания.

На слайде 3 демонстрируется поведение функции y=x 1 на координатной плоскости. Это функция вида у=х, а графиком является прямая, проходящая через начало координат и расположенная в первой и третьей четверти системы координат. На рисунке демонстрируется изображение графика функции, выделенного красным цветом.

Далее рассматривается степень 2 степенной функции. На слайде 4 представлено изображение графика функции y=x 2 . Школьники уже знакомы с данной функций и ее графиком - параболой. На слайде 5 рассматривается кубическая парабола - график функции y=x 3 . Ее поведение также уже изучено, поэтому ученики могут вспомнить свойства графика. Также рассматривается график функции y=x 6 . Он также представляет собой параболу - ее изображение прилагается к описанию функции. На слайде 7 изображен график функции y=x 7 . Это также кубическая парабола.

Затем описываются свойства функций с отрицательными показателями степени. На слайде 8 описывается вид степенной функции с целым отрицательным показателем y=x -n =1/х n . Примером графика такой функции служит график y=1/х 2 . Он имеет разрыв в точке х=0, состоит из двух частей, расположенных в первой и второй четвертях системы координат, каждая из которых при стремлении к бесконечности прижимается к оси абсцисс. Отмечается, что такое поведение функции характерно для четного n.

На слайде 10 строится график функции y=1/х 3 ., части которого лежат в первой и третьей четвертях. График также разрывается в точке х=0 и имеет асимптоты у=0 и х=0. Отмечается, что такое поведение графика характерно для функции, в которой степень является нечетным числом.

На слайде 11 описано поведение графика функции y=х 0 . Это прямая у=1. Она также демонстрируется на прямоугольной плоскости координат.

Далее анализируется разница между расположением ветви функции y=х n при увеличении показателя степени n. для наглядной демонстрации функциональные зависимости отмечены тем же цветом, что и графики. В результате этого видно, что при увеличении показателя функции ветвь графика сильнее прижимается к оси ординат, график становится более крутым. При этом график функции y=х 2,3 занимает среднее положение между y=х 2 и y=х 3 .

На слайде 13 рассмотренное поведение степенной функции обобщается в закономерности. Отмечается, что при 0<х<1 при увеличении показателя степени, уменьшается значение выражения х 5 < х 4 < х 3 , следовательно и √х 5 < √х 4 < √х 3 . Для х, большего 1, верно обратное утверждение - при увеличении показателя степени значение степенной функции увеличивается, то есть х 5 > х 4 > х 3 , следовательно, √х 5 > √х 4 > √х 3 .

Далее следует детальное рассмотрение поведения на координатной плоскости степенной функции y=х k , в которой показателем степени является неправильная дробь m/n, где m>n. на рисунке к описанию данной функции прилагается построенный график в первой четверти системы координат, который представляет собой ветвь параболы y=х 7/2 . Свойства функции для m/n>1 описаны на слайде 15 на примере графика y=х 7/2 . Отмечено, что она имеет область определения - луч . 6.Функция возрастает от 0 до + при х }