В статье ниже будут освещены вопросы нахождения координат середины отрезка при наличии в качестве исходных данных координат его крайних точек. Но, прежде чем приступить к изучению вопроса, введем ряд определений.

Определение 1

Отрезок – прямая линия, соединяющая две произвольные точки, называемые концами отрезка. В качестве примера пусть это будут точки A и B и соответственно отрезок A B .

Если отрезок A B продолжить в обе стороны от точек A и B , мы получим прямую A B . Тогда отрезок A B – часть полученной прямой, ограниченный точками A и B . Отрезок A B объединяет точки A и B , являющиеся его концами, а также множество точек, лежащих между. Если, к примеру, взять любую произвольную точку K , лежащую между точками A и B , можно сказать, что точка K лежит на отрезке A B .

Определение 2

Длина отрезка – расстояние между концами отрезка при заданном масштабе (отрезке единичной длины). Длину отрезка A B обозначим следующим образом: A B .

Определение 3

Середина отрезка – точка, лежащая на отрезке и равноудаленная от его концов. Если середину отрезка A B обозначить точкой C , то верным будет равенство: A C = C B

Исходные данные: координатная прямая O x и несовпадающие точки на ней: A и B . Этим точкам соответствуют действительные числа x A и x B . Точка C – середина отрезка A B: необходимо определить координату x C .

Поскольку точка C является серединой отрезка А В, верным будет являться равенство: | А С | = | С В | . Расстояние между точками определяется модулем разницы их координат, т.е.

| А С | = | С В | ⇔ x C - x A = x B - x C

Тогда возможно два равенства: x C - x A = x B - x C и x C - x A = - (x B - x C)

Из первого равенства выведем формулу для координаты точки C: x C = x A + x B 2 (полусумма координат концов отрезка).

Из второго равенста получим: x A = x B , что невозможно, т.к. в исходных данных - несовпадающие точки. Таким образом, формула для определения координат середины отрезка A B с концами A (x A) и B (x B):

Полученная формула будет основой для определения координат середины отрезка на плоскости или в пространстве.

Исходные данные: прямоугольная система координат на плоскости О x y , две произвольные несовпадающие точки с заданными координатами A x A , y A и B x B , y B . Точка C – середина отрезка A B . Необходимо определить координаты x C и y C для точки C .

Возьмем для анализа случай, когда точки A и B не совпадают и не лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей. A x , A y ; B x , B y и C x , C y - проекции точек A , B и C на оси координат (прямые О х и О y).

Согласно построению прямые A A x , B B x , C C x параллельны; прямые также параллельны между собой. Совокупно с этим по теореме Фалеса из равенства А С = С В следуют равенства: А x С x = С x В x и А y С y = С y В y , и они в свою очередь свидетельствуют о том, что точка С x – середина отрезка А x В x , а С y – середина отрезка А y В y . И тогда, опираясь на полученную ранее формулу, получим:

x C = x A + x B 2 и y C = y A + y B 2

Этими же формулами можно воспользоваться в случае, когда точки A и B лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей. Проводить детальный анализ этого случая не будем, рассмотрим его лишь графически:

Резюмируя все выше сказанное, координаты середины отрезка A B на плоскости с координатами концов A (x A , y A) и B (x B , y B) определяются как :

(x A + x B 2 , y A + y B 2)

Исходные данные: система координат О x y z и две произвольные точки с заданными координатами A (x A , y A , z A) и B (x B , y B , z B) . Необходимо определить координаты точки C , являющейся серединой отрезка A B .

A x , A y , A z ; B x , B y , B z и C x , C y , C z - проекции всех заданных точек на оси системы координат.

Согласно теореме Фалеса верны равенства: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z

Следовательно, точки C x , C y , C z являются серединами отрезков A x B x , A y B y , A z B z соответственно. Тогда, для определения координат середины отрезка в пространстве верны формулы:

x C = x A + x B 2 , y c = y A + y B 2 , z c = z A + Z B 2

Полученные формулы применимы также в случаях, когда точки A и B лежат на одной из координатных прямых; на прямой, перпендикулярной одной из осей; в одной координатной плоскости или плоскости, перпендикулярной одной из координатных плоскостей.

Определение координат середины отрезка через координаты радиус-векторов его концов

Формулу для нахождения координат середины отрезка также можно вывести согласно алгебраическому толкованию векторов.

Исходные данные: прямоугольная декартова система координат O x y , точки с заданными координатами A (x A , y A) и B (x B , x B) . Точка C – середина отрезка A B .

Согласно геометрическому определению действий над векторами верным будет равенство: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Точка C в данном случае – точка пересечения диагоналей параллелограмма, построенного на основе векторов O A → и O B → , т.е. точка середины диагоналей.Координаты радиус-вектора точки равны координатам точки, тогда верны равенства: O A → = (x A , y A) , O B → = (x B , y B) . Выполним некоторые операции над векторами в координатах и получим:

O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

Следовательно, точка C имеет координаты:

x A + x B 2 , y A + y B 2

По аналогии определяется формула для нахождения координат середины отрезка в пространстве:

C (x A + x B 2 , y A + y B 2 , z A + z B 2)

Примеры решения задач на нахождение координат середины отрезка

Среди задач, предполагающих использование полученных выше формул, встречаются, как и те, в которых напрямую стоит вопрос рассчитать координаты середины отрезка, так и такие, что предполагают приведение заданных условий к этому вопросу: зачастую используется термин «медиана», ставится целью нахождение координат одного из концов отрезка, а также распространены задачи на симметрию, решение которых в общем также не должно вызывать затруднений после изучения настоящей темы. Рассмотрим характерные примеры.

Пример 1

Исходные данные: на плоскости – точки с заданными координатами А (- 7 , 3) и В (2 , 4) . Необходимо найти координаты середины отрезка А В.

Решение

Обозначим середину отрезка A B точкой C . Координаты ее буду определяться как полусумма координат концов отрезка, т.е. точек A и B .

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Ответ : координаты середины отрезка А В - 5 2 , 7 2 .

Пример 2

Исходные данные: известны координаты треугольника А В С: А (- 1 , 0) , В (3 , 2) , С (9 , - 8) . Необходимо найти длину медианы А М.

Решение

1. По условию задачи A M – медиана, а значит M является точкой середины отрезка B C . В первую очередь найдем координаты середины отрезка B C , т.е. точки M:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. Поскольку теперь нам известны координаты обоих концов медианы (точки A и М), можем воспользоваться формулой для определения расстояния между точками и посчитать длину медианы А М:

A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

Ответ: 58

Пример 3

Исходные данные: в прямоугольной системе координат трехмерного пространства задан параллелепипед A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 . Заданы координаты точки C 1 (1 , 1 , 0) , а также определена точка M , являющаяся серединой диагонали B D 1 и имеющая координаты M (4 , 2 , - 4) . Необходимо рассчитать координаты точки А.

Решение

Диагонали параллелепипеда имеют пересечение в одной точке, которая при этом является серединой всех диагоналей. Исходя из этого утверждения, можно иметь в виду, что известная по условиям задачи точка М является серединой отрезка А С 1 . Опираясь на формулу для нахождения координат середины отрезка в пространстве, найдем координаты точки А: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 · x M - x C 1 = 2 · 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 · y M - y C 1 = 2 · 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 · z M - z C 1 = 2 · (- 4) - 0 = - 8

Ответ: координаты точки А (7 , 3 , - 8) .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Каждая точка поверхности планеты имеет определенное положение, которому соответствует собственная координата по широте и долготе. Она находится на пересечении сферических дуг меридиана, отвечающего за долготу, с параллелью, что соответствует широте. Обозначается парой угловых величин, выраженных в градусах, минутах, секундах, что имеет определение системы координат.

Широта и долгота - это географический аспект плоскости или сферы, перенесенный на топографические изображения. Для более точного нахождения какого-либо пункта берется во внимание также его высота над уровнем моря, что позволяет найти его в трехмерном пространстве.

Широта и долгота

Необходимость найти точку по координатам широты и долготы возникает по долгу службы и по роду занятий у спасателей, геологов, военных, моряков, археологов, летчиков и водителей, но может понадобиться и туристам, путешественникам, искателям, исследователям.

Что такое широта и как ее найти

Широтой называют расстояние от объекта до линии экватора. Измеряется в угловых единицах (таких как градус, град, минута, секунда и т.д.). Широта на карте либо глобусе обозначается горизонтальными параллелями - линиями, описывающими окружность параллельно экватору и сходящимися в виде ряда сужающихся колец к полюсам.

Линии широты

Поэтому различают широту северную - это вся часть земной поверхности севернее экватора, а также южную - это вся часть поверхности планеты южнее экватора. Экватор - нулевая, самая длинная параллель.

• Параллели от линии экватора к северному полюсу принято считать положительной величиной от 0° до 90°, где 0° - это собственно сам экватор, а 90° - это вершина северного полюса. Они считаются как северная широта (с.ш.).
• Параллели, исходящие от экватора в сторону южного полюса, обозначены отрицательной величиной от 0° до -90°, где -90° - это место южного полюса. Они считаются как южная широта (ю.ш.).
• На глобусе параллели изображаются опоясывающими шар окружностями, которые уменьшаются с их приближением к полюсам.
• Все пункты на одной параллели будут обозначаться единой широтой, но различной долготой.
  На картах, исходя из их масштаба, параллели имеют форму горизонтальных, изогнутых дугой, полос - чем меньше масштаб, тем прямее изображена полоса параллели, а чем крупнее - тем она более изогнута.

Запомните! Чем ближе к экватору располагается заданная местность, тем меньшей будет ее широта.

Что такое долгота и как ее найти

Долгота - это величина, на которую удалено положение заданной местности относительно Гринвича, то есть нулевого меридиана.

Линии долготы

Долготе аналогично присуще измерение в угловых единицах, только с 0° до 180° и с приставкой - восточная либо западная.

• Нулевой меридиан Гринвича вертикально опоясывает шар Земли, проходя через оба полюса, разделяя его на западное и восточное полушария.
• Каждая из частей, находящихся к западу от Гринвича (в западном полушарии) , будет носить обозначение западной долготы (з.п.).
• Каждая из частей, удаленная от Гринвича на восток и расположенная в восточном полушарии, будет носить обозначение восточной долготы (в.п.).
• Нахождение каждой точки по одному меридиану имеют единую долготу, но различную широту.
• Меридианы нанесены на карты в виде вертикальных полос, изогнутых в форме дуги. Чем мельче масштаб карты, тем прямее будет полоса меридиана.

Как найти координаты заданной точки по карте

Зачастую приходится узнавать координаты пункта, который расположен на карте в квадрате между двумя ближайшими параллелями и меридианами. Приблизительные данные можно получить на глазок, оценив последовательно шаг в градусах между нанесенными на карту линиями в интересующем районе, а затем сопоставив удаленность от них искомой местности. Для точных вычислений понадобятся карандаш с линейкой, или же циркуль.

• За исходные данные берем обозначения ближайших к нашей точке параллели с меридианом.
• Далее смотрим шаг между их полосами в градусах.
• Потом смотрим величину их шага по карте в см.
• Измеряем линейкой в см расстояние от заданной точки до ближайшей параллели, а также расстояние между этой линией и соседней, переводим в градусы и берем во внимание разницу - вычитая от большей, либо прибавляя к меньшей.
• Таким образом получаем широту.

Пример! Расстояние между параллелями 40° и 50°, среди которых находится наша местность, составляет 2 см либо 20 мм, а шаг между ними - 10°. Соответственно, 1° равен 2 мм. Наша точка удалена от сороковой параллели на 0,5 см либо 5 мм. Находим градусы до нашей местности 5/2 = 2,5°, которые нужно прибавить к значению ближайшей параллели: 40° + 2,5° = 42,5° - это наша северная широта заданной точки. В южном полушарии вычисления аналогичны, но результат имеет отрицательный знак.

Аналогично находим долготу - если ближайший меридиан находится дальше от Гринвича, а заданный пункт ближе - то разницу вычитаем, если меридиан к Гринвичу ближе, а пункт дальше - то прибавляем.

Если под рукой нашелся только циркуль, то его его кончиками фиксируется каждый из отрезков, а распор переносится на масштаб.

Похожим образом производятся вычисления координат на поверхности глобуса.

Лучшие сервисы для поиска места по координатам

Проще всего узнать своё местоположение можно, зайдя в ПК-версию сервиса, работающего непосредственно с Google Maps. Многие утилиты упрощают процесс ввода широты и долготы в браузере. Рассмотрим лучшие из них.

Map & Directions

Кроме того, Maps & Directions позволяет бесплатно определить координаты своего положения на карте, нажав всего на одну кнопку. Щелкните на «Найти мои координаты», и сервис тут же поставит маркер и определит широту, долготу до многих тысячных, а также высоту.

На этом же сайте можно измерить расстояние между населенными пунктами или площадь любой заданной территории, нарисовать маршрут или рассчитать время передвижения. Сервис пригодится как путешественникам, так и просто любопытным пользователям.

Mapcoordinates.net

Полезная утилита Mapcoordinates.net позволяет узнать координату точки в любом регионе мира. Сервис также интегрирован с Google Картами, но обладает упрощенным интерфейсом, благодаря которому его сможет использовать даже неподготовленный пользователь.

В адресной строке утилиты, где написано «Искать», введите адрес места, широту и долготу которого Вы хотите получить. Карта с координатами появится вместе с маркером на нужном месте. Над маркером будет отображена широта, долгота, а также высота выбранной точки.

К сожалению, Mapcoordinates.net не подходит для того, чтобы искать пункты, зная их координаты. Однако для обратной процедуры это очень удобная утилита. Сервис поддерживает множество языков, в том числе и русский.

Поиск по координатам на карте через браузер с помощью сервиса Google Maps

Если по каким-либо причинам Вы предпочитаете работать не с упрощенными сервисами, а непосредственно с Google Maps , то эта инструкция будет полезной для Вас. Процесс поиска по координатам через Google Карты чуть более сложен, чем в описанных ранее способах, но им можно овладеть быстро и без особого труда.

Чтобы узнать точные координаты места, придерживайтесь следующей простой инструкции:

Откройте сервис на ПК. Важно, что должен быть включен полный, а не облегченный (отмечается специальным значком молнии) режим, иначе получить информацию не получится;

Щелкните на участок карты, где расположен нужный Вам пункт или точка, правой кнопкой мыши;

Отметьте в появившемся меню вариант «Что здесь?»;

Посмотрите на вкладку, которая отобразится внизу экрана. На ней будут отображены широта, долгота и высота.

Чтобы определить место по известным географическим координатам, потребуется другой порядок действий:

1. Откройте Google Карты в полном режиме на компьютере;

   В строке поиска в верхней части экрана Вы можете ввести координаты. Сделать это допускается в следующих форматах: градусы, минуты и секунды; градусы и десятичные минуты; десятичные градусы;

Нажмите клавишу «Enter», и на карте на требуемом месте появится специальный маркер.

Важнее всего при использовании сервиса Google Maps правильно указывать географические координаты. Карты распознают только несколько форматов данных, поэтому обязательно учитывайте следующие правила ввода:

При вводе градусов используйте специальный символ, обозначающий его «°», а не «d»;

В качестве разделителя между целой и дробной частями необходимо использовать точку, а не запятую, иначе строка поиска не сможет выдать место;

Сначала указывается широта, затем — долгота. Первый параметр необходимо записывать в диапазоне от -90 до 90, второй — от -180 до 180.

Найти специальный символ на клавиатуре ПК затруднительно, да и чтобы придерживаться необходимого списка правил, нужно прикладывать достаточно много усилий. Гораздо проще пользоваться специальными утилитами — лучшие из них мы привели в разделе выше.

Нахождение места по широте и долготе на ОС Андроид

Нередко требуется найти место по координатам вдали от ноутбука или персонального компьютера. Выручит мобильное приложение Google Maps, работающее на платформе Андроид. Обычно оно используется для того, чтобы проложить маршрут или узнать график движения транспортных средств, однако программа подойдет и для нахождения местоположения пункта или точки.

Скачать приложение на на Андроид можно на официальной странице в Google Play. Оно доступно как на русском, так и на английском языках. После установки программы придерживайтесь следующей инструкции:

Откройте Google Maps на устройстве и дождитесь появления карты;

Найдите интересующее Вас место. Нажмите на него и держите до тех пор, пока не отобразится специальный маркер;

Вверху экрана появится вкладка с окном поиска и полными координатами места;

Если Вам нужно найти место по координатам, а не наоборот, то способ на мобильном устройстве ничем не отличается от своего аналога на ПК.

Мобильная версия сервиса, как и работающая на ПК, позволит детально изучить нужное место, узнать его точные координаты, или наоборот, распознать адрес по известным данным. Это — удобный способ как для дома, так и для дороги.

1. Чтобы найти координаты точки пересечения графиков функций нужно приравнять обе функции друг к другу, перенести в левую часть все члена, содержащие $ x $, а в правую остальные и найти корни, полученного уравнения.
2. Второй способ заключается в том, что нужно составить систему уравнений и решить её путём подстановки одной функции в другую
3. Третий способ подразумевает графическое построение функций и визуальное определение точки пересечения.

Случай двух линейных функций

Рассмотрим две линейные функции $ f(x) = k_1 x+m_1 $ и $ g(x) = k_2 x + m_2 $. Эти функции называются прямыми. Построить их достаточно легко, нужно взять любые два значения $ x_1 $ и $ x_2 $ и найти $ f(x_1) $ и $ (x_2) $. Затем повторить тоже самое и с функцией $ g(x) $. Далее визуально найти координату точки пересечения графиков функций.

Следует знать, что линейные функции имеют только одну точку пересечения и только тогда, когда $ k_1 \neq k_2 $. Иначе, в случае $ k_1=k_2 $ функции параллельны друг другу, так как $ k $ - это коэффициент угла наклона. Если $ k_1 \neq k_2 $, но $ m_1=m_2 $, тогда точкой пересечения будет $ M(0;m) $. Это правило желательно запомнить для ускоренного решения задач.

Случай двух нелинейных функций

Если на координатной плоскости задана некая точка A и требуется определить ее координаты, то это делается следующим образом. Через точку A проводятся две прямые: одна параллельная оси y , другая - x . Прямая, параллельная оси y , пересекает ось x (ось абсцисс). Точка пересечения оси и прямой и есть координата x точки A . Прямая, параллельная оси x , пересекает ось y . Точка пересечения оси и прямой - есть координата y точки A . Например, если прямая, параллельная y , пересекает ось x в точке –5, а прямая, параллельная x , пересекает ось y в точке 2.3, то координаты точки A записываются так: A (–5; 2.3).

Обратная задача, когда надо по заданным координатам нарисовать точку, решается похожим образом. Через точки, значения которых равны заданным координатам, на осях x и y проводятся прямые, параллельные друг другу: через координату x - прямая параллельная y , через координату y - прямая параллельная x . Точка пересечения этих прямых и будет искомой точкой с заданными координатами. Например, дана точка B (–1.5; –3), требуется изобразить ее на координатной плоскости. Для этого через точку (–1.5; 0), которая лежит на оси x , проводится прямая, параллельная оси y . Через точку (0; –3) проводится прямая, параллельная оси x . Там, где эти прямые пересекутся, и будет находится точка B (–1.5; –3).

Чтобы по координатам найти точку на карте в онлайн-режиме, используя технологии Яндекса, Гугла или OSM, данная карта использует технологии OSM карт: - нужно ввести в поля: широта и долгота ваши данные координат и нажать кнопку «Найти», после этого сервис вычислит место, точку на карте, как России, так и мира. Данный сервис поможет узнать улицу, адрес, город и определит точные координаты.

Поиск географических координат широта и долгота по адресу

Чтобы найти координаты на карте широты и долготы точки по адресу онлайн: нужно ввести в поле поиска точный адрес, город, страну, выбрать из списка нужный и сервис произведет определение широты и долготы данного места, которые Вы сможете скопировать из спец.поля.

Также показать точку на карте и вычислить ее координаты, можно просто кликая на карту в любом месте, сервис вычислит: адрес объекта и поле покажет данные координат, которые также можно будет скориповать.